Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fclsopni Structured version   Unicode version

Theorem fclsopni 18052
 Description: An open neighborhood of a cluster point of a filter intersects any element of that filter. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Apr-2015.) (Revised by Stefan O'Rear, 8-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
fclsopni

Proof of Theorem fclsopni
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2438 . . . . . . . . 9
21fclsfil 18047 . . . . . . . 8
3 fclstopon 18049 . . . . . . . 8 TopOn
42, 3mpbird 225 . . . . . . 7 TopOn
5 fclsopn 18051 . . . . . . 7 TopOn
64, 2, 5syl2anc 644 . . . . . 6
76ibi 234 . . . . 5
87simprd 451 . . . 4
9 eleq2 2499 . . . . . 6
10 ineq1 3537 . . . . . . . 8
1110neeq1d 2616 . . . . . . 7
1211ralbidv 2727 . . . . . 6
139, 12imbi12d 313 . . . . 5
1413rspccv 3051 . . . 4
158, 14syl 16 . . 3
16 ineq2 3538 . . . . 5
1716neeq1d 2616 . . . 4
1817rspccv 3051 . . 3
1915, 18syl8 68 . 2
20193imp2 1169 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 178   wa 360   w3a 937   wceq 1653   wcel 1726   wne 2601  wral 2707   cin 3321  c0 3630  cuni 4017  cfv 5457  (class class class)co 6084  TopOnctopon 16964  cfil 17882   cfcls 17973 This theorem is referenced by:  fclsneii  18054  supnfcls  18057  flimfnfcls  18065  cfilfcls  19232 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4323  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-iin 4098  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-id 4501  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-fbas 16704  df-top 16968  df-topon 16971  df-cld 17088  df-ntr 17089  df-cls 17090  df-fil 17883  df-fcls 17978
 Copyright terms: Public domain W3C validator