MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fclsrest Structured version   Unicode version

Theorem fclsrest 18056
Description: The set of cluster points in a restricted topological space. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Oct-2015.)
Assertion
Ref Expression
fclsrest  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
)  /\  Y  e.  F )  ->  (
( Jt  Y )  fClus  ( Ft  Y ) )  =  ( ( J  fClus  F )  i^i  Y ) )

Proof of Theorem fclsrest
Dummy variables  s 
t  u  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp1 957 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
)  /\  Y  e.  F )  ->  J  e.  (TopOn `  X )
)
2 filelss 17884 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  Y  e.  F )  ->  Y  C_  X )
323adant1 975 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
)  /\  Y  e.  F )  ->  Y  C_  X )
4 resttopon 17225 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  Y  C_  X )  ->  ( Jt  Y )  e.  (TopOn `  Y ) )
51, 3, 4syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
)  /\  Y  e.  F )  ->  ( Jt  Y )  e.  (TopOn `  Y ) )
6 filfbas 17880 . . . . . . . 8  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  F  e.  ( fBas `  X )
)
763ad2ant2 979 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
)  /\  Y  e.  F )  ->  F  e.  ( fBas `  X
) )
8 simp3 959 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
)  /\  Y  e.  F )  ->  Y  e.  F )
9 fbncp 17871 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  X )  /\  Y  e.  F )  ->  -.  ( X  \  Y )  e.  F )
107, 8, 9syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
)  /\  Y  e.  F )  ->  -.  ( X  \  Y )  e.  F )
11 simp2 958 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
)  /\  Y  e.  F )  ->  F  e.  ( Fil `  X
) )
12 trfil3 17920 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  Y  C_  X )  ->  (
( Ft  Y )  e.  ( Fil `  Y )  <->  -.  ( X  \  Y
)  e.  F ) )
1311, 3, 12syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
)  /\  Y  e.  F )  ->  (
( Ft  Y )  e.  ( Fil `  Y )  <->  -.  ( X  \  Y
)  e.  F ) )
1410, 13mpbird 224 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
)  /\  Y  e.  F )  ->  ( Ft  Y )  e.  ( Fil `  Y ) )
15 fclsopn 18046 . . . . 5  |-  ( ( ( Jt  Y )  e.  (TopOn `  Y )  /\  ( Ft  Y )  e.  ( Fil `  Y ) )  ->  ( x  e.  ( ( Jt  Y ) 
fClus  ( Ft  Y ) )  <->  ( x  e.  Y  /\  A. y  e.  ( Jt  Y ) ( x  e.  y  ->  A. z  e.  ( Ft  Y ) ( y  i^i  z )  =/=  (/) ) ) ) )
165, 14, 15syl2anc 643 . . . 4  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
)  /\  Y  e.  F )  ->  (
x  e.  ( ( Jt  Y )  fClus  ( Ft  Y ) )  <->  ( x  e.  Y  /\  A. y  e.  ( Jt  Y ) ( x  e.  y  ->  A. z  e.  ( Ft  Y ) ( y  i^i  z )  =/=  (/) ) ) ) )
17 in32 3553 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( u  i^i  s )  i^i  Y )  =  ( ( u  i^i 
Y )  i^i  s
)
18 ineq2 3536 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( s  =  t  ->  (
( u  i^i  Y
)  i^i  s )  =  ( ( u  i^i  Y )  i^i  t ) )
1917, 18syl5eq 2480 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( s  =  t  ->  (
( u  i^i  s
)  i^i  Y )  =  ( ( u  i^i  Y )  i^i  t ) )
2019neeq1d 2614 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( s  =  t  ->  (
( ( u  i^i  s )  i^i  Y
)  =/=  (/)  <->  ( (
u  i^i  Y )  i^i  t )  =/=  (/) ) )
2120rspccv 3049 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. s  e.  F  (
( u  i^i  s
)  i^i  Y )  =/=  (/)  ->  ( t  e.  F  ->  ( ( u  i^i  Y )  i^i  t )  =/=  (/) ) )
22 inss1 3561 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( u  i^i  Y )  C_  u
23 ssrin 3566 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( u  i^i  Y ) 
C_  u  ->  (
( u  i^i  Y
)  i^i  t )  C_  ( u  i^i  t
) )
2422, 23ax-mp 8 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( u  i^i  Y )  i^i  t )  C_  ( u  i^i  t
)
25 ssn0 3660 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( u  i^i 
Y )  i^i  t
)  C_  ( u  i^i  t )  /\  (
( u  i^i  Y
)  i^i  t )  =/=  (/) )  ->  (
u  i^i  t )  =/=  (/) )
2624, 25mpan 652 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( u  i^i  Y
)  i^i  t )  =/=  (/)  ->  ( u  i^i  t )  =/=  (/) )
2721, 26syl6 31 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. s  e.  F  (
( u  i^i  s
)  i^i  Y )  =/=  (/)  ->  ( t  e.  F  ->  ( u  i^i  t )  =/=  (/) ) )
2827ralrimiv 2788 . . . . . . . . 9  |-  ( A. s  e.  F  (
( u  i^i  s
)  i^i  Y )  =/=  (/)  ->  A. t  e.  F  ( u  i^i  t )  =/=  (/) )
2911ad3antrrr 711 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X
)  /\  F  e.  ( Fil `  X )  /\  Y  e.  F
)  /\  x  e.  Y )  /\  u  e.  J )  /\  s  e.  F )  ->  F  e.  ( Fil `  X
) )
30 simpr 448 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X
)  /\  F  e.  ( Fil `  X )  /\  Y  e.  F
)  /\  x  e.  Y )  /\  u  e.  J )  /\  s  e.  F )  ->  s  e.  F )
318ad3antrrr 711 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X
)  /\  F  e.  ( Fil `  X )  /\  Y  e.  F
)  /\  x  e.  Y )  /\  u  e.  J )  /\  s  e.  F )  ->  Y  e.  F )
32 filin 17886 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  s  e.  F  /\  Y  e.  F )  ->  (
s  i^i  Y )  e.  F )
3329, 30, 31, 32syl3anc 1184 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X
)  /\  F  e.  ( Fil `  X )  /\  Y  e.  F
)  /\  x  e.  Y )  /\  u  e.  J )  /\  s  e.  F )  ->  (
s  i^i  Y )  e.  F )
34 ineq2 3536 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( t  =  ( s  i^i 
Y )  ->  (
u  i^i  t )  =  ( u  i^i  ( s  i^i  Y
) ) )
35 inass 3551 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( u  i^i  s )  i^i  Y )  =  ( u  i^i  (
s  i^i  Y )
)
3634, 35syl6eqr 2486 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( t  =  ( s  i^i 
Y )  ->  (
u  i^i  t )  =  ( ( u  i^i  s )  i^i 
Y ) )
3736neeq1d 2614 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( t  =  ( s  i^i 
Y )  ->  (
( u  i^i  t
)  =/=  (/)  <->  ( (
u  i^i  s )  i^i  Y )  =/=  (/) ) )
3837rspcv 3048 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( s  i^i  Y )  e.  F  ->  ( A. t  e.  F  ( u  i^i  t
)  =/=  (/)  ->  (
( u  i^i  s
)  i^i  Y )  =/=  (/) ) )
3933, 38syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X
)  /\  F  e.  ( Fil `  X )  /\  Y  e.  F
)  /\  x  e.  Y )  /\  u  e.  J )  /\  s  e.  F )  ->  ( A. t  e.  F  ( u  i^i  t
)  =/=  (/)  ->  (
( u  i^i  s
)  i^i  Y )  =/=  (/) ) )
4039ralrimdva 2796 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X )  /\  Y  e.  F )  /\  x  e.  Y
)  /\  u  e.  J )  ->  ( A. t  e.  F  ( u  i^i  t
)  =/=  (/)  ->  A. s  e.  F  ( (
u  i^i  s )  i^i  Y )  =/=  (/) ) )
4128, 40impbid2 196 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X )  /\  Y  e.  F )  /\  x  e.  Y
)  /\  u  e.  J )  ->  ( A. s  e.  F  ( ( u  i^i  s )  i^i  Y
)  =/=  (/)  <->  A. t  e.  F  ( u  i^i  t )  =/=  (/) ) )
4241imbi2d 308 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X )  /\  Y  e.  F )  /\  x  e.  Y
)  /\  u  e.  J )  ->  (
( x  e.  u  ->  A. s  e.  F  ( ( u  i^i  s )  i^i  Y
)  =/=  (/) )  <->  ( x  e.  u  ->  A. t  e.  F  ( u  i^i  t )  =/=  (/) ) ) )
4342ralbidva 2721 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
)  /\  Y  e.  F )  /\  x  e.  Y )  ->  ( A. u  e.  J  ( x  e.  u  ->  A. s  e.  F  ( ( u  i^i  s )  i^i  Y
)  =/=  (/) )  <->  A. u  e.  J  ( x  e.  u  ->  A. t  e.  F  ( u  i^i  t )  =/=  (/) ) ) )
44 vex 2959 . . . . . . . . 9  |-  u  e. 
_V
4544inex1 4344 . . . . . . . 8  |-  ( u  i^i  Y )  e. 
_V
4645a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X )  /\  Y  e.  F )  /\  x  e.  Y
)  /\  u  e.  J )  ->  (
u  i^i  Y )  e.  _V )
47 elrest 13655 . . . . . . . . 9  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  Y  e.  F )  ->  (
y  e.  ( Jt  Y )  <->  E. u  e.  J  y  =  ( u  i^i  Y ) ) )
48473adant2 976 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
)  /\  Y  e.  F )  ->  (
y  e.  ( Jt  Y )  <->  E. u  e.  J  y  =  ( u  i^i  Y ) ) )
4948adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
)  /\  Y  e.  F )  /\  x  e.  Y )  ->  (
y  e.  ( Jt  Y )  <->  E. u  e.  J  y  =  ( u  i^i  Y ) ) )
50 eleq2 2497 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  ( u  i^i 
Y )  ->  (
x  e.  y  <->  x  e.  ( u  i^i  Y ) ) )
51 elin 3530 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( u  i^i 
Y )  <->  ( x  e.  u  /\  x  e.  Y ) )
5251rbaib 874 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  Y  ->  (
x  e.  ( u  i^i  Y )  <->  x  e.  u ) )
5352adantl 453 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
)  /\  Y  e.  F )  /\  x  e.  Y )  ->  (
x  e.  ( u  i^i  Y )  <->  x  e.  u ) )
5450, 53sylan9bbr 682 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X )  /\  Y  e.  F )  /\  x  e.  Y
)  /\  y  =  ( u  i^i  Y ) )  ->  ( x  e.  y  <->  x  e.  u
) )
55 vex 2959 . . . . . . . . . . . 12  |-  s  e. 
_V
5655inex1 4344 . . . . . . . . . . 11  |-  ( s  i^i  Y )  e. 
_V
5756a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X )  /\  Y  e.  F )  /\  x  e.  Y
)  /\  s  e.  F )  ->  (
s  i^i  Y )  e.  _V )
58 elrest 13655 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  Y  e.  F )  ->  (
z  e.  ( Ft  Y )  <->  E. s  e.  F  z  =  ( s  i^i  Y ) ) )
59583adant1 975 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
)  /\  Y  e.  F )  ->  (
z  e.  ( Ft  Y )  <->  E. s  e.  F  z  =  ( s  i^i  Y ) ) )
6059adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
)  /\  Y  e.  F )  /\  x  e.  Y )  ->  (
z  e.  ( Ft  Y )  <->  E. s  e.  F  z  =  ( s  i^i  Y ) ) )
61 ineq2 3536 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  ( s  i^i 
Y )  ->  (
y  i^i  z )  =  ( y  i^i  ( s  i^i  Y
) ) )
6261adantl 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X )  /\  Y  e.  F )  /\  x  e.  Y
)  /\  z  =  ( s  i^i  Y
) )  ->  (
y  i^i  z )  =  ( y  i^i  ( s  i^i  Y
) ) )
6362neeq1d 2614 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X )  /\  Y  e.  F )  /\  x  e.  Y
)  /\  z  =  ( s  i^i  Y
) )  ->  (
( y  i^i  z
)  =/=  (/)  <->  ( y  i^i  ( s  i^i  Y
) )  =/=  (/) ) )
6457, 60, 63ralxfr2d 4739 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
)  /\  Y  e.  F )  /\  x  e.  Y )  ->  ( A. z  e.  ( Ft  Y ) ( y  i^i  z )  =/=  (/) 
<-> 
A. s  e.  F  ( y  i^i  (
s  i^i  Y )
)  =/=  (/) ) )
65 ineq1 3535 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  ( u  i^i 
Y )  ->  (
y  i^i  ( s  i^i  Y ) )  =  ( ( u  i^i 
Y )  i^i  (
s  i^i  Y )
) )
66 inindir 3559 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( u  i^i  s )  i^i  Y )  =  ( ( u  i^i 
Y )  i^i  (
s  i^i  Y )
)
6765, 66syl6eqr 2486 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  ( u  i^i 
Y )  ->  (
y  i^i  ( s  i^i  Y ) )  =  ( ( u  i^i  s )  i^i  Y
) )
6867neeq1d 2614 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  ( u  i^i 
Y )  ->  (
( y  i^i  (
s  i^i  Y )
)  =/=  (/)  <->  ( (
u  i^i  s )  i^i  Y )  =/=  (/) ) )
6968ralbidv 2725 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  ( u  i^i 
Y )  ->  ( A. s  e.  F  ( y  i^i  (
s  i^i  Y )
)  =/=  (/)  <->  A. s  e.  F  ( (
u  i^i  s )  i^i  Y )  =/=  (/) ) )
7064, 69sylan9bb 681 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X )  /\  Y  e.  F )  /\  x  e.  Y
)  /\  y  =  ( u  i^i  Y ) )  ->  ( A. z  e.  ( Ft  Y
) ( y  i^i  z )  =/=  (/)  <->  A. s  e.  F  ( (
u  i^i  s )  i^i  Y )  =/=  (/) ) )
7154, 70imbi12d 312 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X )  /\  Y  e.  F )  /\  x  e.  Y
)  /\  y  =  ( u  i^i  Y ) )  ->  ( (
x  e.  y  ->  A. z  e.  ( Ft  Y ) ( y  i^i  z )  =/=  (/) )  <->  ( x  e.  u  ->  A. s  e.  F  ( (
u  i^i  s )  i^i  Y )  =/=  (/) ) ) )
7246, 49, 71ralxfr2d 4739 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
)  /\  Y  e.  F )  /\  x  e.  Y )  ->  ( A. y  e.  ( Jt  Y ) ( x  e.  y  ->  A. z  e.  ( Ft  Y ) ( y  i^i  z )  =/=  (/) )  <->  A. u  e.  J  ( x  e.  u  ->  A. s  e.  F  ( ( u  i^i  s )  i^i  Y
)  =/=  (/) ) ) )
731adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
)  /\  Y  e.  F )  /\  x  e.  Y )  ->  J  e.  (TopOn `  X )
)
7411adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
)  /\  Y  e.  F )  /\  x  e.  Y )  ->  F  e.  ( Fil `  X
) )
753sselda 3348 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
)  /\  Y  e.  F )  /\  x  e.  Y )  ->  x  e.  X )
76 fclsopn 18046 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
) )  ->  (
x  e.  ( J 
fClus  F )  <->  ( x  e.  X  /\  A. u  e.  J  ( x  e.  u  ->  A. t  e.  F  ( u  i^i  t )  =/=  (/) ) ) ) )
7776baibd 876 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
) )  /\  x  e.  X )  ->  (
x  e.  ( J 
fClus  F )  <->  A. u  e.  J  ( x  e.  u  ->  A. t  e.  F  ( u  i^i  t )  =/=  (/) ) ) )
7873, 74, 75, 77syl21anc 1183 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
)  /\  Y  e.  F )  /\  x  e.  Y )  ->  (
x  e.  ( J 
fClus  F )  <->  A. u  e.  J  ( x  e.  u  ->  A. t  e.  F  ( u  i^i  t )  =/=  (/) ) ) )
7943, 72, 783bitr4d 277 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
)  /\  Y  e.  F )  /\  x  e.  Y )  ->  ( A. y  e.  ( Jt  Y ) ( x  e.  y  ->  A. z  e.  ( Ft  Y ) ( y  i^i  z )  =/=  (/) )  <->  x  e.  ( J  fClus  F ) ) )
8079pm5.32da 623 . . . 4  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
)  /\  Y  e.  F )  ->  (
( x  e.  Y  /\  A. y  e.  ( Jt  Y ) ( x  e.  y  ->  A. z  e.  ( Ft  Y ) ( y  i^i  z )  =/=  (/) ) )  <->  ( x  e.  Y  /\  x  e.  ( J  fClus  F ) ) ) )
8116, 80bitrd 245 . . 3  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
)  /\  Y  e.  F )  ->  (
x  e.  ( ( Jt  Y )  fClus  ( Ft  Y ) )  <->  ( x  e.  Y  /\  x  e.  ( J  fClus  F ) ) ) )
82 elin 3530 . . . 4  |-  ( x  e.  ( ( J 
fClus  F )  i^i  Y
)  <->  ( x  e.  ( J  fClus  F )  /\  x  e.  Y
) )
83 ancom 438 . . . 4  |-  ( ( x  e.  ( J 
fClus  F )  /\  x  e.  Y )  <->  ( x  e.  Y  /\  x  e.  ( J  fClus  F ) ) )
8482, 83bitri 241 . . 3  |-  ( x  e.  ( ( J 
fClus  F )  i^i  Y
)  <->  ( x  e.  Y  /\  x  e.  ( J  fClus  F ) ) )
8581, 84syl6bbr 255 . 2  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
)  /\  Y  e.  F )  ->  (
x  e.  ( ( Jt  Y )  fClus  ( Ft  Y ) )  <->  x  e.  ( ( J  fClus  F )  i^i  Y ) ) )
8685eqrdv 2434 1  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( Fil `  X
)  /\  Y  e.  F )  ->  (
( Jt  Y )  fClus  ( Ft  Y ) )  =  ( ( J  fClus  F )  i^i  Y ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2599   A.wral 2705   E.wrex 2706   _Vcvv 2956    \ cdif 3317    i^i cin 3319    C_ wss 3320   (/)c0 3628   ` cfv 5454  (class class class)co 6081   ↾t crest 13648   fBascfbas 16689  TopOnctopon 16959   Filcfil 17877    fClus cfcls 17968
This theorem is referenced by:  relcmpcmet  19269
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-iin 4096  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-oadd 6728  df-er 6905  df-en 7110  df-fin 7113  df-fi 7416  df-rest 13650  df-topgen 13667  df-fbas 16699  df-fg 16700  df-top 16963  df-bases 16965  df-topon 16966  df-cld 17083  df-ntr 17084  df-cls 17085  df-fil 17878  df-fcls 17973
  Copyright terms: Public domain W3C validator