Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fclsss2 Structured version   Unicode version

Theorem fclsss2 18055
 Description: A finer filter has fewer cluster points. (Contributed by Jeff Hankins, 11-Nov-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
fclsss2 TopOn

Proof of Theorem fclsss2
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl3 962 . . . . . 6 TopOn
2 ssralv 3407 . . . . . 6
31, 2syl 16 . . . . 5 TopOn
4 simpl1 960 . . . . . 6 TopOn TopOn
5 fclstopon 18044 . . . . . . . 8 TopOn
65adantl 453 . . . . . . 7 TopOn TopOn
74, 6mpbid 202 . . . . . 6 TopOn
8 isfcls2 18045 . . . . . 6 TopOn
94, 7, 8syl2anc 643 . . . . 5 TopOn
10 simpl2 961 . . . . . 6 TopOn
11 isfcls2 18045 . . . . . 6 TopOn
124, 10, 11syl2anc 643 . . . . 5 TopOn
133, 9, 123imtr4d 260 . . . 4 TopOn
1413ex 424 . . 3 TopOn
1514pm2.43d 46 . 2 TopOn
1615ssrdv 3354 1 TopOn
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 177   wa 359   w3a 936   wcel 1725  wral 2705   wss 3320  cfv 5454  (class class class)co 6081  TopOnctopon 16959  ccl 17082  cfil 17877   cfcls 17968 This theorem is referenced by:  fclsfnflim  18059  ufilcmp  18064  cnpfcfi  18072 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-iin 4096  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-id 4498  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-fbas 16699  df-topon 16966  df-fil 17878  df-fcls 17973
 Copyright terms: Public domain W3C validator