MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fclstopon Unicode version

Theorem fclstopon 17967
Description: Reverse closure for the cluster point predicate. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
fclstopon  |-  ( A  e.  ( J  fClus  F )  ->  ( J  e.  (TopOn `  X )  <->  F  e.  ( Fil `  X
) ) )

Proof of Theorem fclstopon
StepHypRef Expression
1 fclstop 17966 . . 3  |-  ( A  e.  ( J  fClus  F )  ->  J  e.  Top )
2 istopon 16915 . . . 4  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  <->  ( J  e. 
Top  /\  X  =  U. J ) )
32baib 872 . . 3  |-  ( J  e.  Top  ->  ( J  e.  (TopOn `  X
)  <->  X  =  U. J ) )
41, 3syl 16 . 2  |-  ( A  e.  ( J  fClus  F )  ->  ( J  e.  (TopOn `  X )  <->  X  =  U. J ) )
5 eqid 2389 . . . . 5  |-  U. J  =  U. J
65fclsfil 17965 . . . 4  |-  ( A  e.  ( J  fClus  F )  ->  F  e.  ( Fil `  U. J
) )
7 fveq2 5670 . . . . 5  |-  ( X  =  U. J  -> 
( Fil `  X
)  =  ( Fil `  U. J ) )
87eleq2d 2456 . . . 4  |-  ( X  =  U. J  -> 
( F  e.  ( Fil `  X )  <-> 
F  e.  ( Fil `  U. J ) ) )
96, 8syl5ibrcom 214 . . 3  |-  ( A  e.  ( J  fClus  F )  ->  ( X  =  U. J  ->  F  e.  ( Fil `  X
) ) )
10 filunibas 17836 . . . . 5  |-  ( F  e.  ( Fil `  U. J )  ->  U. F  =  U. J )
116, 10syl 16 . . . 4  |-  ( A  e.  ( J  fClus  F )  ->  U. F  = 
U. J )
12 filunibas 17836 . . . . 5  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  U. F  =  X )
1312eqeq1d 2397 . . . 4  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  ( U. F  =  U. J  <->  X  =  U. J ) )
1411, 13syl5ibcom 212 . . 3  |-  ( A  e.  ( J  fClus  F )  ->  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  X  =  U. J ) )
159, 14impbid 184 . 2  |-  ( A  e.  ( J  fClus  F )  ->  ( X  =  U. J  <->  F  e.  ( Fil `  X ) ) )
164, 15bitrd 245 1  |-  ( A  e.  ( J  fClus  F )  ->  ( J  e.  (TopOn `  X )  <->  F  e.  ( Fil `  X
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    = wceq 1649    e. wcel 1717   U.cuni 3959   ` cfv 5396  (class class class)co 6022   Topctop 16883  TopOnctopon 16884   Filcfil 17800    fClus cfcls 17891
This theorem is referenced by:  fclsopni  17970  fclselbas  17971  fclsss1  17977  fclsss2  17978  fclscf  17980
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2370  ax-sep 4273  ax-nul 4281  ax-pow 4320  ax-pr 4346  ax-un 4643
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2376  df-cleq 2382  df-clel 2385  df-nfc 2514  df-ne 2554  df-nel 2555  df-ral 2656  df-rex 2657  df-rab 2660  df-v 2903  df-sbc 3107  df-csb 3197  df-dif 3268  df-un 3270  df-in 3272  df-ss 3279  df-nul 3574  df-if 3685  df-pw 3746  df-sn 3765  df-pr 3766  df-op 3768  df-uni 3960  df-int 3995  df-iun 4039  df-iin 4040  df-br 4156  df-opab 4210  df-mpt 4211  df-id 4441  df-xp 4826  df-rel 4827  df-cnv 4828  df-co 4829  df-dm 4830  df-rn 4831  df-res 4832  df-ima 4833  df-iota 5360  df-fun 5398  df-fn 5399  df-fv 5404  df-ov 6025  df-oprab 6026  df-mpt2 6027  df-fbas 16625  df-topon 16891  df-fil 17801  df-fcls 17896
  Copyright terms: Public domain W3C validator