MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fclstopon Structured version   Unicode version

Theorem fclstopon 18034
Description: Reverse closure for the cluster point predicate. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
fclstopon  |-  ( A  e.  ( J  fClus  F )  ->  ( J  e.  (TopOn `  X )  <->  F  e.  ( Fil `  X
) ) )

Proof of Theorem fclstopon
StepHypRef Expression
1 fclstop 18033 . . 3  |-  ( A  e.  ( J  fClus  F )  ->  J  e.  Top )
2 istopon 16980 . . . 4  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  <->  ( J  e. 
Top  /\  X  =  U. J ) )
32baib 872 . . 3  |-  ( J  e.  Top  ->  ( J  e.  (TopOn `  X
)  <->  X  =  U. J ) )
41, 3syl 16 . 2  |-  ( A  e.  ( J  fClus  F )  ->  ( J  e.  (TopOn `  X )  <->  X  =  U. J ) )
5 eqid 2435 . . . . 5  |-  U. J  =  U. J
65fclsfil 18032 . . . 4  |-  ( A  e.  ( J  fClus  F )  ->  F  e.  ( Fil `  U. J
) )
7 fveq2 5720 . . . . 5  |-  ( X  =  U. J  -> 
( Fil `  X
)  =  ( Fil `  U. J ) )
87eleq2d 2502 . . . 4  |-  ( X  =  U. J  -> 
( F  e.  ( Fil `  X )  <-> 
F  e.  ( Fil `  U. J ) ) )
96, 8syl5ibrcom 214 . . 3  |-  ( A  e.  ( J  fClus  F )  ->  ( X  =  U. J  ->  F  e.  ( Fil `  X
) ) )
10 filunibas 17903 . . . . 5  |-  ( F  e.  ( Fil `  U. J )  ->  U. F  =  U. J )
116, 10syl 16 . . . 4  |-  ( A  e.  ( J  fClus  F )  ->  U. F  = 
U. J )
12 filunibas 17903 . . . . 5  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  U. F  =  X )
1312eqeq1d 2443 . . . 4  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  ( U. F  =  U. J  <->  X  =  U. J ) )
1411, 13syl5ibcom 212 . . 3  |-  ( A  e.  ( J  fClus  F )  ->  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  X  =  U. J ) )
159, 14impbid 184 . 2  |-  ( A  e.  ( J  fClus  F )  ->  ( X  =  U. J  <->  F  e.  ( Fil `  X ) ) )
164, 15bitrd 245 1  |-  ( A  e.  ( J  fClus  F )  ->  ( J  e.  (TopOn `  X )  <->  F  e.  ( Fil `  X
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    = wceq 1652    e. wcel 1725   U.cuni 4007   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   Topctop 16948  TopOnctopon 16949   Filcfil 17867    fClus cfcls 17958
This theorem is referenced by:  fclsopni  18037  fclselbas  18038  fclsss1  18044  fclsss2  18045  fclscf  18047
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-iin 4088  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-id 4490  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-fbas 16689  df-topon 16956  df-fil 17868  df-fcls 17963
  Copyright terms: Public domain W3C validator