MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fcnvres Unicode version

Theorem fcnvres 5418
Description: The converse of a restriction of a function. (Contributed by NM, 26-Mar-1998.)
Assertion
Ref Expression
fcnvres  |-  ( F : A --> B  ->  `' ( F  |`  A )  =  ( `' F  |`  B ) )

Proof of Theorem fcnvres
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 relcnv 5051 . 2  |-  Rel  `' ( F  |`  A )
2 relres 4983 . 2  |-  Rel  ( `' F  |`  B )
3 opelf 5404 . . . . . . 7  |-  ( ( F : A --> B  /\  <.
x ,  y >.  e.  F )  ->  (
x  e.  A  /\  y  e.  B )
)
43simpld 445 . . . . . 6  |-  ( ( F : A --> B  /\  <.
x ,  y >.  e.  F )  ->  x  e.  A )
54ex 423 . . . . 5  |-  ( F : A --> B  -> 
( <. x ,  y
>.  e.  F  ->  x  e.  A ) )
65pm4.71d 615 . . . 4  |-  ( F : A --> B  -> 
( <. x ,  y
>.  e.  F  <->  ( <. x ,  y >.  e.  F  /\  x  e.  A
) ) )
7 vex 2791 . . . . . 6  |-  y  e. 
_V
8 vex 2791 . . . . . 6  |-  x  e. 
_V
97, 8opelcnv 4863 . . . . 5  |-  ( <.
y ,  x >.  e.  `' ( F  |`  A )  <->  <. x ,  y >.  e.  ( F  |`  A ) )
107opelres 4960 . . . . 5  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  ( F  |`  A )  <-> 
( <. x ,  y
>.  e.  F  /\  x  e.  A ) )
119, 10bitri 240 . . . 4  |-  ( <.
y ,  x >.  e.  `' ( F  |`  A )  <->  ( <. x ,  y >.  e.  F  /\  x  e.  A
) )
126, 11syl6bbr 254 . . 3  |-  ( F : A --> B  -> 
( <. x ,  y
>.  e.  F  <->  <. y ,  x >.  e.  `' ( F  |`  A ) ) )
133simprd 449 . . . . . 6  |-  ( ( F : A --> B  /\  <.
x ,  y >.  e.  F )  ->  y  e.  B )
1413ex 423 . . . . 5  |-  ( F : A --> B  -> 
( <. x ,  y
>.  e.  F  ->  y  e.  B ) )
1514pm4.71d 615 . . . 4  |-  ( F : A --> B  -> 
( <. x ,  y
>.  e.  F  <->  ( <. x ,  y >.  e.  F  /\  y  e.  B
) ) )
168opelres 4960 . . . . 5  |-  ( <.
y ,  x >.  e.  ( `' F  |`  B )  <->  ( <. y ,  x >.  e.  `' F  /\  y  e.  B
) )
177, 8opelcnv 4863 . . . . . 6  |-  ( <.
y ,  x >.  e.  `' F  <->  <. x ,  y
>.  e.  F )
1817anbi1i 676 . . . . 5  |-  ( (
<. y ,  x >.  e.  `' F  /\  y  e.  B )  <->  ( <. x ,  y >.  e.  F  /\  y  e.  B
) )
1916, 18bitri 240 . . . 4  |-  ( <.
y ,  x >.  e.  ( `' F  |`  B )  <->  ( <. x ,  y >.  e.  F  /\  y  e.  B
) )
2015, 19syl6bbr 254 . . 3  |-  ( F : A --> B  -> 
( <. x ,  y
>.  e.  F  <->  <. y ,  x >.  e.  ( `' F  |`  B ) ) )
2112, 20bitr3d 246 . 2  |-  ( F : A --> B  -> 
( <. y ,  x >.  e.  `' ( F  |`  A )  <->  <. y ,  x >.  e.  ( `' F  |`  B ) ) )
221, 2, 21eqrelrdv 4783 1  |-  ( F : A --> B  ->  `' ( F  |`  A )  =  ( `' F  |`  B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   <.cop 3643   `'ccnv 4688    |` cres 4691   -->wf 5251
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pr 4214
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-br 4024  df-opab 4078  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259
  Copyright terms: Public domain W3C validator