Theorem fcnvres 3654

Description: The converse of a restriction of a function.

Assertion

Ref	Expression
fcnvres	|- (F:A-->B -> `'(F |` A) = (`'F |` B))

Proof of Theorem fcnvres

Step	Hyp	Ref	Expression
1		visset 1816	. . . . . . . . 9 |- y e. V
2	1	opelf 3646	. . . . . . . 8 |- ((F:A-->B /\ <.x, y>. e. F) -> (x e. A /\ y e. B))
3	2	pm3.26d 321	. . . . . . 7 |- ((F:A-->B /\ <.x, y>. e. F) -> x e. A)
4	3	ex 373	. . . . . 6 |- (F:A-->B -> (<.x, y>. e. F -> x e. A))
5		pm4.71 637	. . . . . 6 |- ((<.x, y>. e. F -> x e. A) <-> (<.x, y>. e. F <-> (<.x, y>. e. F /\ x e. A)))
6	4, 5	sylib 198	. . . . 5 |- (F:A-->B -> (<.x, y>. e. F <-> (<.x, y>. e. F /\ x e. A)))
7		visset 1816	. . . . . . 7 |- x e. V
8	1, 7	opelcnv 3304	. . . . . 6 |- (<.y, x>. e. `'(F |` A) <-> <.x, y>. e. (F |` A))
9	1	opelres 3378	. . . . . 6 |- (<.x, y>. e. (F |` A) <-> (<.x, y>. e. F /\ x e. A))
10	8, 9	bitr 173	. . . . 5 |- (<.y, x>. e. `'(F |` A) <-> (<.x, y>. e. F /\ x e. A))
11	6, 10	syl6bbr 540	. . . 4 |- (F:A-->B -> (<.x, y>. e. F <-> <.y, x>. e. `'(F |` A)))
12	2	pm3.27d 325	. . . . . . 7 |- ((F:A-->B /\ <.x, y>. e. F) -> y e. B)
13	12	ex 373	. . . . . 6 |- (F:A-->B -> (<.x, y>. e. F -> y e. B))
14		pm4.71 637	. . . . . 6 |- ((<.x, y>. e. F -> y e. B) <-> (<.x, y>. e. F <-> (<.x, y>. e. F /\ y e. B)))
15	13, 14	sylib 198	. . . . 5 |- (F:A-->B -> (<.x, y>. e. F <-> (<.x, y>. e. F /\ y e. B)))
16	7	opelres 3378	. . . . . 6 |- (<.y, x>. e. (`'F |` B) <-> (<.y, x>. e. `'F /\ y e. B))
17	1, 7	opelcnv 3304	. . . . . . 7 |- (<.y, x>. e. `'F <-> <.x, y>. e. F)
18	17	anbi1i 483	. . . . . 6 |- ((<.y, x>. e. `'F /\ y e. B) <-> (<.x, y>. e. F /\ y e. B))
19	16, 18	bitr 173	. . . . 5 |- (<.y, x>. e. (`'F |` B) <-> (<.x, y>. e. F /\ y e. B))
20	15, 19	syl6bbr 540	. . . 4 |- (F:A-->B -> (<.x, y>. e. F <-> <.y, x>. e. (`'F |` B)))
21	11, 20	bitr3d 532	. . 3 |- (F:A-->B -> (<.y, x>. e. `'(F |` A) <-> <.y, x>. e. (`'F |` B)))
22	21	19.21aivv 1289	. 2 |- (F:A-->B -> A.yA.x(<.y, x>. e. `'(F |` A) <-> <.y, x>. e. (`'F |` B)))
23		relcnv 3441	. . 3 |- Rel `'(F |` A)
24		relres 3393	. . 3 |- Rel (`'F |` B)
25		eqrel 3256	. . 3 |- ((Rel `'(F |` A) /\ Rel (`'F |` B)) -> (`'(F |` A) = (`'F |` B) <-> A.yA.x(<.y, x>. e. `'(F |` A) <-> <.y, x>. e. (`'F |` B))))
26	23, 24, 25	mp2an 699	. 2 |- (`'(F |` A) = (`'F |` B) <-> A.yA.x(<.y, x>. e. `'(F |` A) <-> <.y, x>. e. (`'F |` B)))
27	22, 26	sylibr 200	1 |- (F:A-->B -> `'(F |` A) = (`'F |` B))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223  A.wal 956   = wceq 958   e. wcel 960  <.cop 2415  `'ccnv 3175   |` cres 3178  Rel wrel 3181  -->wf 3184

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-sep 2708  ax-pow 2748  ax-pr 2785

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-v 1815  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-nul 2284  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-op 2420  df-br 2625  df-opab 2672  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-fun 3198  df-fn 3199  df-f 3200

Copyright terms: Public domain