MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fco Unicode version

Theorem fco 5591
Description: Composition of two mappings. (Contributed by NM, 29-Aug-1999.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 17-Sep-2011.)
Assertion
Ref Expression
fco  |-  ( ( F : B --> C  /\  G : A --> B )  ->  ( F  o.  G ) : A --> C )

Proof of Theorem fco
StepHypRef Expression
1 df-f 5449 . . 3  |-  ( F : B --> C  <->  ( F  Fn  B  /\  ran  F  C_  C ) )
2 df-f 5449 . . 3  |-  ( G : A --> B  <->  ( G  Fn  A  /\  ran  G  C_  B ) )
3 fnco 5544 . . . . . . 7  |-  ( ( F  Fn  B  /\  G  Fn  A  /\  ran  G  C_  B )  ->  ( F  o.  G
)  Fn  A )
433expib 1156 . . . . . 6  |-  ( F  Fn  B  ->  (
( G  Fn  A  /\  ran  G  C_  B
)  ->  ( F  o.  G )  Fn  A
) )
54adantr 452 . . . . 5  |-  ( ( F  Fn  B  /\  ran  F  C_  C )  ->  ( ( G  Fn  A  /\  ran  G  C_  B )  ->  ( F  o.  G )  Fn  A ) )
6 rncoss 5127 . . . . . . 7  |-  ran  ( F  o.  G )  C_ 
ran  F
7 sstr 3348 . . . . . . 7  |-  ( ( ran  ( F  o.  G )  C_  ran  F  /\  ran  F  C_  C )  ->  ran  ( F  o.  G
)  C_  C )
86, 7mpan 652 . . . . . 6  |-  ( ran 
F  C_  C  ->  ran  ( F  o.  G
)  C_  C )
98adantl 453 . . . . 5  |-  ( ( F  Fn  B  /\  ran  F  C_  C )  ->  ran  ( F  o.  G )  C_  C
)
105, 9jctird 529 . . . 4  |-  ( ( F  Fn  B  /\  ran  F  C_  C )  ->  ( ( G  Fn  A  /\  ran  G  C_  B )  ->  (
( F  o.  G
)  Fn  A  /\  ran  ( F  o.  G
)  C_  C )
) )
1110imp 419 . . 3  |-  ( ( ( F  Fn  B  /\  ran  F  C_  C
)  /\  ( G  Fn  A  /\  ran  G  C_  B ) )  -> 
( ( F  o.  G )  Fn  A  /\  ran  ( F  o.  G )  C_  C
) )
121, 2, 11syl2anb 466 . 2  |-  ( ( F : B --> C  /\  G : A --> B )  ->  ( ( F  o.  G )  Fn  A  /\  ran  ( F  o.  G )  C_  C ) )
13 df-f 5449 . 2  |-  ( ( F  o.  G ) : A --> C  <->  ( ( F  o.  G )  Fn  A  /\  ran  ( F  o.  G )  C_  C ) )
1412, 13sylibr 204 1  |-  ( ( F : B --> C  /\  G : A --> B )  ->  ( F  o.  G ) : A --> C )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    C_ wss 3312   ran crn 4870    o. ccom 4873    Fn wfn 5440   -->wf 5441
This theorem is referenced by:  fco2  5592  f1co  5639  foco  5654  mapen  7262  unxpwdom2  7545  mapfien  7642  wemapwe  7643  cofsmo  8138  cfcoflem  8141  isf34lem7  8248  isf34lem6  8249  canthp1lem2  8517  inar1  8639  addnqf  8814  mulnqf  8815  axdc4uzlem  11309  seqf1olem2  11351  wrdco  11788  lenco  11789  lo1o1  12314  o1co  12368  caucvgrlem2  12456  fsumcl2lem  12513  fsumadd  12520  fsummulc2  12555  fsumrelem  12574  supcvg  12623  algcvg  13055  cofucl  14073  setccatid  14227  yonedalem3b  14364  mhmco  14750  pwsco1mhm  14757  pwsco2mhm  14758  gsumwmhm  14778  gsumval3  15502  gsumzcl  15506  gsumzf1o  15507  gsumzaddlem  15514  gsumzmhm  15521  gsumzoppg  15527  gsumzinv  15528  gsumsub  15530  dprdf1o  15578  ablfaclem2  15632  psrass1lem  16430  psrnegcl  16448  coe1f2  16595  cnfldds  16701  cnco  17318  cnpco  17319  lmcnp  17356  cnmpt11  17683  cnmpt21  17691  qtopcn  17734  fmco  17981  flfcnp  18024  tsmsf1o  18162  tsmsmhm  18163  tsmssub  18166  imasdsf1olem  18391  comet  18531  nrmmetd  18610  isngp2  18632  isngp3  18633  tngngp2  18681  cnmet  18794  cnfldms  18798  cncfco  18925  cnfldcusp  19299  ovolfioo  19352  ovolficc  19353  ovolfsf  19356  ovollb  19363  ovolctb  19374  ovolicc2lem4  19404  ovolicc2  19406  volsup  19438  uniioovol  19459  uniioombllem3a  19464  uniioombllem3  19465  uniioombllem4  19466  uniioombllem5  19467  uniioombl  19469  mbfdm  19508  ismbfcn  19511  mbfres  19524  mbfimaopnlem  19535  cncombf  19538  limccnp  19766  dvcobr  19820  dvcof  19822  dvcjbr  19823  dvcj  19824  dvmptco  19846  dvlip2  19867  itgsubstlem  19920  coecj  20184  pserulm  20326  jensenlem2  20814  jensen  20815  amgmlem  20816  dchrinv  21033  vsfval  22102  imsdf  22169  lnocoi  22246  hocofi  23257  homco1  23292  homco2  23468  hmopco  23514  kbass2  23608  kbass5  23611  opsqrlem1  23631  opsqrlem6  23636  pjinvari  23682  mbfmco  24602  dstfrvclim1  24723  gamf  24815  subfacp1lem5  24858  circum  25099  fprodcl2lem  25265  fprodmul  25273  fproddiv  25274  fprodn0  25292  mblfinlem  26190  mbfresfi  26199  ghomco  26495  rngohomco  26527  mapco2g  26706  diophrw  26754  dsmmbas2  27118  f1lindf  27207  lindfmm  27212  f1omvdconj  27304  pmtrfinv  27317  symgtrinv  27328  psgnunilem1  27331  hausgraph  27446  sblpnf  27454  stoweidlem31  27694  stoweidlem59  27722  tendococl  31408
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pr 4395
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-rab 2706  df-v 2950  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-br 4205  df-opab 4259  df-id 4490  df-xp 4875  df-rel 4876  df-cnv 4877  df-co 4878  df-dm 4879  df-rn 4880  df-fun 5447  df-fn 5448  df-f 5449
  Copyright terms: Public domain W3C validator