MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fco Unicode version

Theorem fco 5414
Description: Composition of two mappings. (Contributed by NM, 29-Aug-1999.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 17-Sep-2011.)
Assertion
Ref Expression
fco  |-  ( ( F : B --> C  /\  G : A --> B )  ->  ( F  o.  G ) : A --> C )

Proof of Theorem fco
StepHypRef Expression
1 df-f 5275 . . 3  |-  ( F : B --> C  <->  ( F  Fn  B  /\  ran  F  C_  C ) )
2 df-f 5275 . . 3  |-  ( G : A --> B  <->  ( G  Fn  A  /\  ran  G  C_  B ) )
3 fnco 5368 . . . . . . 7  |-  ( ( F  Fn  B  /\  G  Fn  A  /\  ran  G  C_  B )  ->  ( F  o.  G
)  Fn  A )
433expib 1154 . . . . . 6  |-  ( F  Fn  B  ->  (
( G  Fn  A  /\  ran  G  C_  B
)  ->  ( F  o.  G )  Fn  A
) )
54adantr 451 . . . . 5  |-  ( ( F  Fn  B  /\  ran  F  C_  C )  ->  ( ( G  Fn  A  /\  ran  G  C_  B )  ->  ( F  o.  G )  Fn  A ) )
6 rncoss 4961 . . . . . . 7  |-  ran  ( F  o.  G )  C_ 
ran  F
7 sstr 3200 . . . . . . 7  |-  ( ( ran  ( F  o.  G )  C_  ran  F  /\  ran  F  C_  C )  ->  ran  ( F  o.  G
)  C_  C )
86, 7mpan 651 . . . . . 6  |-  ( ran 
F  C_  C  ->  ran  ( F  o.  G
)  C_  C )
98adantl 452 . . . . 5  |-  ( ( F  Fn  B  /\  ran  F  C_  C )  ->  ran  ( F  o.  G )  C_  C
)
105, 9jctird 528 . . . 4  |-  ( ( F  Fn  B  /\  ran  F  C_  C )  ->  ( ( G  Fn  A  /\  ran  G  C_  B )  ->  (
( F  o.  G
)  Fn  A  /\  ran  ( F  o.  G
)  C_  C )
) )
1110imp 418 . . 3  |-  ( ( ( F  Fn  B  /\  ran  F  C_  C
)  /\  ( G  Fn  A  /\  ran  G  C_  B ) )  -> 
( ( F  o.  G )  Fn  A  /\  ran  ( F  o.  G )  C_  C
) )
121, 2, 11syl2anb 465 . 2  |-  ( ( F : B --> C  /\  G : A --> B )  ->  ( ( F  o.  G )  Fn  A  /\  ran  ( F  o.  G )  C_  C ) )
13 df-f 5275 . 2  |-  ( ( F  o.  G ) : A --> C  <->  ( ( F  o.  G )  Fn  A  /\  ran  ( F  o.  G )  C_  C ) )
1412, 13sylibr 203 1  |-  ( ( F : B --> C  /\  G : A --> B )  ->  ( F  o.  G ) : A --> C )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    C_ wss 3165   ran crn 4706    o. ccom 4709    Fn wfn 5266   -->wf 5267
This theorem is referenced by:  fco2  5415  f1co  5462  foco  5477  mapen  7041  unxpwdom2  7318  mapfien  7415  wemapwe  7416  cofsmo  7911  cfcoflem  7914  isf34lem7  8021  isf34lem6  8022  canthp1lem2  8291  inar1  8413  addnqf  8588  mulnqf  8589  axdc4uzlem  11060  seqf1olem2  11102  wrdco  11502  lenco  11503  lo1o1  12022  o1co  12076  caucvgrlem2  12163  fsumcl2lem  12220  fsumadd  12227  fsummulc2  12262  fsumrelem  12281  supcvg  12330  algcvg  12762  cofucl  13778  setccatid  13932  yonedalem3b  14069  mhmco  14455  pwsco1mhm  14462  pwsco2mhm  14463  gsumwmhm  14483  gsumval3  15207  gsumzcl  15211  gsumzf1o  15212  gsumzaddlem  15219  gsumzmhm  15226  gsumzoppg  15232  gsumzinv  15233  gsumsub  15235  dprdf1o  15283  ablfaclem2  15337  psrass1lem  16139  psrnegcl  16157  coe1f2  16306  cnfldds  16405  cnco  17011  cnpco  17012  lmcnp  17048  cnmpt11  17373  cnmpt21  17381  qtopcn  17421  fmco  17672  flfcnp  17715  tsmsf1o  17843  tsmsmhm  17844  tsmssub  17847  imasdsf1olem  17953  comet  18075  nrmmetd  18113  isngp2  18135  isngp3  18136  tngngp2  18184  cnmet  18297  cnfldms  18301  cncfco  18427  ovolfioo  18843  ovolficc  18844  ovolfsf  18847  ovollb  18854  ovolctb  18865  ovolicc2lem4  18895  ovolicc2  18897  volsup  18929  uniioovol  18950  uniioombllem3a  18955  uniioombllem3  18956  uniioombllem4  18957  uniioombllem5  18958  uniioombl  18960  mbfdm  18999  ismbfcn  19002  mbfres  19015  mbfimaopnlem  19026  cncombf  19029  limccnp  19257  dvcobr  19311  dvcof  19313  dvcjbr  19314  dvcj  19315  dvmptco  19337  dvlip2  19358  itgsubstlem  19411  coecj  19675  pserulm  19814  jensenlem2  20298  jensen  20299  amgmlem  20300  dchrinv  20516  vsfval  21207  imsdf  21274  lnocoi  21351  hocofi  22362  homco1  22397  homco2  22573  hmopco  22619  kbass2  22713  kbass5  22716  opsqrlem1  22736  opsqrlem6  22741  pjinvari  22787  mbfmco  23584  dstfrvclim1  23693  subfacp1lem5  23730  circum  24022  surjsec2  25223  mapmapmap  25251  injsurinj  25252  cmptdst  25671  cmptdst2  25674  rocatval  26062  ghomco  26676  rngohomco  26708  mapco2g  26893  diophrw  26941  dsmmbas2  27306  f1lindf  27395  lindfmm  27400  f1omvdconj  27492  pmtrfinv  27505  symgtrinv  27516  psgnunilem1  27519  hausgraph  27634  sblpnf  27642  stoweidlem31  27883  stoweidlem59  27911  tendococl  31583
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pr 4230
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-rab 2565  df-v 2803  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-br 4040  df-opab 4094  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275
  Copyright terms: Public domain W3C validator