Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fconstfv Structured version   Unicode version

Theorem fconstfv 5954
 Description: A constant function expressed in terms of its functionality, domain, and value. See also fconst2 5948. (Contributed by NM, 27-Aug-2004.)
Assertion
Ref Expression
fconstfv
Distinct variable groups:   ,   ,   ,

Proof of Theorem fconstfv
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ffn 5591 . . 3
2 fvconst 5921 . . . 4
32ralrimiva 2789 . . 3
41, 3jca 519 . 2
5 fneq2 5535 . . . . . . 7
6 fn0 5564 . . . . . . 7
75, 6syl6bb 253 . . . . . 6
8 f0 5627 . . . . . . 7
9 feq1 5576 . . . . . . 7
108, 9mpbiri 225 . . . . . 6
117, 10syl6bi 220 . . . . 5
12 feq2 5577 . . . . 5
1311, 12sylibrd 226 . . . 4
15 fvelrnb 5774 . . . . . . . . . 10
16 fveq2 5728 . . . . . . . . . . . . . . 15
1716eqeq1d 2444 . . . . . . . . . . . . . 14
1817rspccva 3051 . . . . . . . . . . . . 13
1918eqeq1d 2444 . . . . . . . . . . . 12
2019rexbidva 2722 . . . . . . . . . . 11
21 r19.9rzv 3722 . . . . . . . . . . . 12
2221bicomd 193 . . . . . . . . . . 11
2320, 22sylan9bbr 682 . . . . . . . . . 10
2415, 23sylan9bbr 682 . . . . . . . . 9
25 elsn 3829 . . . . . . . . . 10
26 eqcom 2438 . . . . . . . . . 10
2725, 26bitr2i 242 . . . . . . . . 9
2824, 27syl6bb 253 . . . . . . . 8
2928eqrdv 2434 . . . . . . 7
3029an32s 780 . . . . . 6
3130exp31 588 . . . . 5
3231imdistand 674 . . . 4
33 df-fo 5460 . . . . 5
34 fof 5653 . . . . 5
3533, 34sylbir 205 . . . 4
3632, 35syl6 31 . . 3
3714, 36pm2.61ine 2680 . 2
384, 37impbii 181 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 177   wa 359   wceq 1652   wcel 1725   wne 2599  wral 2705  wrex 2706  c0 3628  csn 3814   crn 4879   wfn 5449  wf 5450  wfo 5452  cfv 5454 This theorem is referenced by:  fconst3  5955  lnon0  22299  df0op2  23255  lfl1  29868 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pr 4403 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-ral 2710  df-rex 2711  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-nul 3629  df-if 3740  df-sn 3820  df-pr 3821  df-op 3823  df-uni 4016  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-id 4498  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-fo 5460  df-fv 5462
 Copyright terms: Public domain W3C validator