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Theorem fctop 16741
Description: The finite complement topology on a set  A. Example 3 in [Munkres] p. 77. (Contributed by FL, 15-Aug-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
fctop  |-  ( A  e.  V  ->  { x  e.  ~P A  |  ( ( A  \  x
)  e.  Fin  \/  x  =  (/) ) }  e.  (TopOn `  A
) )
Distinct variable group:    x, A
Allowed substitution hint:    V( x)

Proof of Theorem fctop
Dummy variables  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 uniss 3848 . . . . . . . 8  |-  ( y 
C_  { x  e. 
~P A  |  ( ( A  \  x
)  e.  Fin  \/  x  =  (/) ) }  ->  U. y  C_  U. {
x  e.  ~P A  |  ( ( A 
\  x )  e. 
Fin  \/  x  =  (/) ) } )
2 ssrab2 3258 . . . . . . . . 9  |-  { x  e.  ~P A  |  ( ( A  \  x
)  e.  Fin  \/  x  =  (/) ) } 
C_  ~P A
3 sspwuni 3987 . . . . . . . . 9  |-  ( { x  e.  ~P A  |  ( ( A 
\  x )  e. 
Fin  \/  x  =  (/) ) }  C_  ~P A 
<-> 
U. { x  e. 
~P A  |  ( ( A  \  x
)  e.  Fin  \/  x  =  (/) ) } 
C_  A )
42, 3mpbi 199 . . . . . . . 8  |-  U. {
x  e.  ~P A  |  ( ( A 
\  x )  e. 
Fin  \/  x  =  (/) ) }  C_  A
51, 4syl6ss 3191 . . . . . . 7  |-  ( y 
C_  { x  e. 
~P A  |  ( ( A  \  x
)  e.  Fin  \/  x  =  (/) ) }  ->  U. y  C_  A
)
6 vex 2791 . . . . . . . . 9  |-  y  e. 
_V
76uniex 4516 . . . . . . . 8  |-  U. y  e.  _V
87elpw 3631 . . . . . . 7  |-  ( U. y  e.  ~P A  <->  U. y  C_  A )
95, 8sylibr 203 . . . . . 6  |-  ( y 
C_  { x  e. 
~P A  |  ( ( A  \  x
)  e.  Fin  \/  x  =  (/) ) }  ->  U. y  e.  ~P A )
10 uni0c 3853 . . . . . . . . . . 11  |-  ( U. y  =  (/)  <->  A. z  e.  y  z  =  (/) )
1110notbii 287 . . . . . . . . . 10  |-  ( -. 
U. y  =  (/)  <->  -.  A. z  e.  y  z  =  (/) )
12 rexnal 2554 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. z  e.  y  -.  z  =  (/)  <->  -.  A. z  e.  y  z  =  (/) )
1311, 12bitr4i 243 . . . . . . . . 9  |-  ( -. 
U. y  =  (/)  <->  E. z  e.  y  -.  z  =  (/) )
14 ssel2 3175 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( y  C_  { x  e.  ~P A  |  ( ( A  \  x
)  e.  Fin  \/  x  =  (/) ) }  /\  z  e.  y )  ->  z  e.  { x  e.  ~P A  |  ( ( A 
\  x )  e. 
Fin  \/  x  =  (/) ) } )
15 difeq2 3288 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  =  z  ->  ( A  \  x )  =  ( A  \  z
) )
1615eleq1d 2349 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  =  z  ->  (
( A  \  x
)  e.  Fin  <->  ( A  \  z )  e.  Fin ) )
17 eqeq1 2289 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  =  z  ->  (
x  =  (/)  <->  z  =  (/) ) )
1816, 17orbi12d 690 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  =  z  ->  (
( ( A  \  x )  e.  Fin  \/  x  =  (/) )  <->  ( ( A  \  z )  e. 
Fin  \/  z  =  (/) ) ) )
1918elrab 2923 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  e.  { x  e. 
~P A  |  ( ( A  \  x
)  e.  Fin  \/  x  =  (/) ) }  <-> 
( z  e.  ~P A  /\  ( ( A 
\  z )  e. 
Fin  \/  z  =  (/) ) ) )
2014, 19sylib 188 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( y  C_  { x  e.  ~P A  |  ( ( A  \  x
)  e.  Fin  \/  x  =  (/) ) }  /\  z  e.  y )  ->  ( z  e.  ~P A  /\  (
( A  \  z
)  e.  Fin  \/  z  =  (/) ) ) )
2120simprd 449 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( y  C_  { x  e.  ~P A  |  ( ( A  \  x
)  e.  Fin  \/  x  =  (/) ) }  /\  z  e.  y )  ->  ( ( A  \  z )  e. 
Fin  \/  z  =  (/) ) )
2221ord 366 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  C_  { x  e.  ~P A  |  ( ( A  \  x
)  e.  Fin  \/  x  =  (/) ) }  /\  z  e.  y )  ->  ( -.  ( A  \  z
)  e.  Fin  ->  z  =  (/) ) )
2322con1d 116 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  C_  { x  e.  ~P A  |  ( ( A  \  x
)  e.  Fin  \/  x  =  (/) ) }  /\  z  e.  y )  ->  ( -.  z  =  (/)  ->  ( A  \  z )  e. 
Fin ) )
2423imp 418 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( y  C_  { x  e.  ~P A  |  ( ( A  \  x
)  e.  Fin  \/  x  =  (/) ) }  /\  z  e.  y )  /\  -.  z  =  (/) )  ->  ( A  \  z )  e. 
Fin )
25 elssuni 3855 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  e.  y  ->  z  C_ 
U. y )
26 sscon 3310 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z 
C_  U. y  ->  ( A  \  U. y ) 
C_  ( A  \ 
z ) )
2725, 26syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  e.  y  ->  ( A  \  U. y ) 
C_  ( A  \ 
z ) )
28 ssfi 7083 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  \  z
)  e.  Fin  /\  ( A  \  U. y
)  C_  ( A  \  z ) )  -> 
( A  \  U. y )  e.  Fin )
2927, 28sylan2 460 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  \  z
)  e.  Fin  /\  z  e.  y )  ->  ( A  \  U. y )  e.  Fin )
3029expcom 424 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  e.  y  ->  (
( A  \  z
)  e.  Fin  ->  ( A  \  U. y
)  e.  Fin )
)
3130ad2antlr 707 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( y  C_  { x  e.  ~P A  |  ( ( A  \  x
)  e.  Fin  \/  x  =  (/) ) }  /\  z  e.  y )  /\  -.  z  =  (/) )  ->  (
( A  \  z
)  e.  Fin  ->  ( A  \  U. y
)  e.  Fin )
)
3224, 31mpd 14 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( y  C_  { x  e.  ~P A  |  ( ( A  \  x
)  e.  Fin  \/  x  =  (/) ) }  /\  z  e.  y )  /\  -.  z  =  (/) )  ->  ( A  \  U. y )  e.  Fin )
3332exp31 587 . . . . . . . . . 10  |-  ( y 
C_  { x  e. 
~P A  |  ( ( A  \  x
)  e.  Fin  \/  x  =  (/) ) }  ->  ( z  e.  y  ->  ( -.  z  =  (/)  ->  ( A  \  U. y )  e.  Fin ) ) )
3433rexlimdv 2666 . . . . . . . . 9  |-  ( y 
C_  { x  e. 
~P A  |  ( ( A  \  x
)  e.  Fin  \/  x  =  (/) ) }  ->  ( E. z  e.  y  -.  z  =  (/)  ->  ( A  \ 
U. y )  e. 
Fin ) )
3513, 34syl5bi 208 . . . . . . . 8  |-  ( y 
C_  { x  e. 
~P A  |  ( ( A  \  x
)  e.  Fin  \/  x  =  (/) ) }  ->  ( -.  U. y  =  (/)  ->  ( A  \  U. y )  e.  Fin ) )
3635con1d 116 . . . . . . 7  |-  ( y 
C_  { x  e. 
~P A  |  ( ( A  \  x
)  e.  Fin  \/  x  =  (/) ) }  ->  ( -.  ( A  \  U. y )  e.  Fin  ->  U. y  =  (/) ) )
3736orrd 367 . . . . . 6  |-  ( y 
C_  { x  e. 
~P A  |  ( ( A  \  x
)  e.  Fin  \/  x  =  (/) ) }  ->  ( ( A 
\  U. y )  e. 
Fin  \/  U. y  =  (/) ) )
38 difeq2 3288 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  U. y  -> 
( A  \  x
)  =  ( A 
\  U. y ) )
3938eleq1d 2349 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  U. y  -> 
( ( A  \  x )  e.  Fin  <->  ( A  \  U. y )  e.  Fin ) )
40 eqeq1 2289 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  U. y  -> 
( x  =  (/)  <->  U. y  =  (/) ) )
4139, 40orbi12d 690 . . . . . . 7  |-  ( x  =  U. y  -> 
( ( ( A 
\  x )  e. 
Fin  \/  x  =  (/) )  <->  ( ( A 
\  U. y )  e. 
Fin  \/  U. y  =  (/) ) ) )
4241elrab 2923 . . . . . 6  |-  ( U. y  e.  { x  e.  ~P A  |  ( ( A  \  x
)  e.  Fin  \/  x  =  (/) ) }  <-> 
( U. y  e. 
~P A  /\  (
( A  \  U. y )  e.  Fin  \/ 
U. y  =  (/) ) ) )
439, 37, 42sylanbrc 645 . . . . 5  |-  ( y 
C_  { x  e. 
~P A  |  ( ( A  \  x
)  e.  Fin  \/  x  =  (/) ) }  ->  U. y  e.  {
x  e.  ~P A  |  ( ( A 
\  x )  e. 
Fin  \/  x  =  (/) ) } )
4443ax-gen 1533 . . . 4  |-  A. y
( y  C_  { x  e.  ~P A  |  ( ( A  \  x
)  e.  Fin  \/  x  =  (/) ) }  ->  U. y  e.  {
x  e.  ~P A  |  ( ( A 
\  x )  e. 
Fin  \/  x  =  (/) ) } )
45 ssinss1 3397 . . . . . . . . 9  |-  ( y 
C_  A  ->  (
y  i^i  z )  C_  A )
466elpw 3631 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  ~P A  <->  y  C_  A )
476inex1 4155 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  i^i  z )  e. 
_V
4847elpw 3631 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  i^i  z )  e.  ~P A  <->  ( y  i^i  z )  C_  A
)
4945, 46, 483imtr4i 257 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  ~P A  -> 
( y  i^i  z
)  e.  ~P A
)
5049ad2antrr 706 . . . . . . 7  |-  ( ( ( y  e.  ~P A  /\  ( ( A 
\  y )  e. 
Fin  \/  y  =  (/) ) )  /\  (
z  e.  ~P A  /\  ( ( A  \ 
z )  e.  Fin  \/  z  =  (/) ) ) )  ->  ( y  i^i  z )  e.  ~P A )
51 difindi 3423 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A 
\  ( y  i^i  z ) )  =  ( ( A  \ 
y )  u.  ( A  \  z ) )
52 unfi 7124 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  \  y
)  e.  Fin  /\  ( A  \  z
)  e.  Fin )  ->  ( ( A  \ 
y )  u.  ( A  \  z ) )  e.  Fin )
5351, 52syl5eqel 2367 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  \  y
)  e.  Fin  /\  ( A  \  z
)  e.  Fin )  ->  ( A  \  (
y  i^i  z )
)  e.  Fin )
5453orcd 381 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  \  y
)  e.  Fin  /\  ( A  \  z
)  e.  Fin )  ->  ( ( A  \ 
( y  i^i  z
) )  e.  Fin  \/  ( y  i^i  z
)  =  (/) ) )
55 ineq1 3363 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  (/)  ->  ( y  i^i  z )  =  ( (/)  i^i  z
) )
56 incom 3361 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (/)  i^i  z )  =  ( z  i^i  (/) )
57 in0 3480 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  i^i  (/) )  =  (/)
5856, 57eqtri 2303 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (/)  i^i  z )  =  (/)
5955, 58syl6eq 2331 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  (/)  ->  ( y  i^i  z )  =  (/) )
6059olcd 382 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  (/)  ->  ( ( A  \  ( y  i^i  z ) )  e.  Fin  \/  (
y  i^i  z )  =  (/) ) )
61 ineq2 3364 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  (/)  ->  ( y  i^i  z )  =  ( y  i^i  (/) ) )
62 in0 3480 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  i^i  (/) )  =  (/)
6361, 62syl6eq 2331 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  (/)  ->  ( y  i^i  z )  =  (/) )
6463olcd 382 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  (/)  ->  ( ( A  \  ( y  i^i  z ) )  e.  Fin  \/  (
y  i^i  z )  =  (/) ) )
6554, 60, 64ccase2 914 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  \ 
y )  e.  Fin  \/  y  =  (/) )  /\  ( ( A  \ 
z )  e.  Fin  \/  z  =  (/) ) )  ->  ( ( A 
\  ( y  i^i  z ) )  e. 
Fin  \/  ( y  i^i  z )  =  (/) ) )
6665ad2ant2l 726 . . . . . . 7  |-  ( ( ( y  e.  ~P A  /\  ( ( A 
\  y )  e. 
Fin  \/  y  =  (/) ) )  /\  (
z  e.  ~P A  /\  ( ( A  \ 
z )  e.  Fin  \/  z  =  (/) ) ) )  ->  ( ( A  \  ( y  i^i  z ) )  e. 
Fin  \/  ( y  i^i  z )  =  (/) ) )
6750, 66jca 518 . . . . . 6  |-  ( ( ( y  e.  ~P A  /\  ( ( A 
\  y )  e. 
Fin  \/  y  =  (/) ) )  /\  (
z  e.  ~P A  /\  ( ( A  \ 
z )  e.  Fin  \/  z  =  (/) ) ) )  ->  ( (
y  i^i  z )  e.  ~P A  /\  (
( A  \  (
y  i^i  z )
)  e.  Fin  \/  ( y  i^i  z
)  =  (/) ) ) )
68 difeq2 3288 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  y  ->  ( A  \  x )  =  ( A  \  y
) )
6968eleq1d 2349 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  ->  (
( A  \  x
)  e.  Fin  <->  ( A  \  y )  e.  Fin ) )
70 eqeq1 2289 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  ->  (
x  =  (/)  <->  y  =  (/) ) )
7169, 70orbi12d 690 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  y  ->  (
( ( A  \  x )  e.  Fin  \/  x  =  (/) )  <->  ( ( A  \  y )  e. 
Fin  \/  y  =  (/) ) ) )
7271elrab 2923 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  { x  e. 
~P A  |  ( ( A  \  x
)  e.  Fin  \/  x  =  (/) ) }  <-> 
( y  e.  ~P A  /\  ( ( A 
\  y )  e. 
Fin  \/  y  =  (/) ) ) )
7372, 19anbi12i 678 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  { x  e.  ~P A  |  ( ( A  \  x
)  e.  Fin  \/  x  =  (/) ) }  /\  z  e.  {
x  e.  ~P A  |  ( ( A 
\  x )  e. 
Fin  \/  x  =  (/) ) } )  <->  ( (
y  e.  ~P A  /\  ( ( A  \ 
y )  e.  Fin  \/  y  =  (/) ) )  /\  ( z  e. 
~P A  /\  (
( A  \  z
)  e.  Fin  \/  z  =  (/) ) ) ) )
74 difeq2 3288 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( y  i^i  z )  ->  ( A  \  x )  =  ( A  \  (
y  i^i  z )
) )
7574eleq1d 2349 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( y  i^i  z )  ->  (
( A  \  x
)  e.  Fin  <->  ( A  \  ( y  i^i  z
) )  e.  Fin ) )
76 eqeq1 2289 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( y  i^i  z )  ->  (
x  =  (/)  <->  ( y  i^i  z )  =  (/) ) )
7775, 76orbi12d 690 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( y  i^i  z )  ->  (
( ( A  \  x )  e.  Fin  \/  x  =  (/) )  <->  ( ( A  \  ( y  i^i  z ) )  e. 
Fin  \/  ( y  i^i  z )  =  (/) ) ) )
7877elrab 2923 . . . . . 6  |-  ( ( y  i^i  z )  e.  { x  e. 
~P A  |  ( ( A  \  x
)  e.  Fin  \/  x  =  (/) ) }  <-> 
( ( y  i^i  z )  e.  ~P A  /\  ( ( A 
\  ( y  i^i  z ) )  e. 
Fin  \/  ( y  i^i  z )  =  (/) ) ) )
7967, 73, 783imtr4i 257 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  { x  e.  ~P A  |  ( ( A  \  x
)  e.  Fin  \/  x  =  (/) ) }  /\  z  e.  {
x  e.  ~P A  |  ( ( A 
\  x )  e. 
Fin  \/  x  =  (/) ) } )  -> 
( y  i^i  z
)  e.  { x  e.  ~P A  |  ( ( A  \  x
)  e.  Fin  \/  x  =  (/) ) } )
8079rgen2a 2609 . . . 4  |-  A. y  e.  { x  e.  ~P A  |  ( ( A  \  x )  e. 
Fin  \/  x  =  (/) ) } A. z  e.  { x  e.  ~P A  |  ( ( A  \  x )  e. 
Fin  \/  x  =  (/) ) }  ( y  i^i  z )  e. 
{ x  e.  ~P A  |  ( ( A  \  x )  e. 
Fin  \/  x  =  (/) ) }
8144, 80pm3.2i 441 . . 3  |-  ( A. y ( y  C_  { x  e.  ~P A  |  ( ( A 
\  x )  e. 
Fin  \/  x  =  (/) ) }  ->  U. y  e.  { x  e.  ~P A  |  ( ( A  \  x )  e. 
Fin  \/  x  =  (/) ) } )  /\  A. y  e.  { x  e.  ~P A  |  ( ( A  \  x
)  e.  Fin  \/  x  =  (/) ) } A. z  e.  {
x  e.  ~P A  |  ( ( A 
\  x )  e. 
Fin  \/  x  =  (/) ) }  ( y  i^i  z )  e. 
{ x  e.  ~P A  |  ( ( A  \  x )  e. 
Fin  \/  x  =  (/) ) } )
82 pwexg 4194 . . . 4  |-  ( A  e.  V  ->  ~P A  e.  _V )
83 rabexg 4164 . . . 4  |-  ( ~P A  e.  _V  ->  { x  e.  ~P A  |  ( ( A 
\  x )  e. 
Fin  \/  x  =  (/) ) }  e.  _V )
84 istopg 16641 . . . 4  |-  ( { x  e.  ~P A  |  ( ( A 
\  x )  e. 
Fin  \/  x  =  (/) ) }  e.  _V  ->  ( { x  e. 
~P A  |  ( ( A  \  x
)  e.  Fin  \/  x  =  (/) ) }  e.  Top  <->  ( A. y ( y  C_  { x  e.  ~P A  |  ( ( A 
\  x )  e. 
Fin  \/  x  =  (/) ) }  ->  U. y  e.  { x  e.  ~P A  |  ( ( A  \  x )  e. 
Fin  \/  x  =  (/) ) } )  /\  A. y  e.  { x  e.  ~P A  |  ( ( A  \  x
)  e.  Fin  \/  x  =  (/) ) } A. z  e.  {
x  e.  ~P A  |  ( ( A 
\  x )  e. 
Fin  \/  x  =  (/) ) }  ( y  i^i  z )  e. 
{ x  e.  ~P A  |  ( ( A  \  x )  e. 
Fin  \/  x  =  (/) ) } ) ) )
8582, 83, 843syl 18 . . 3  |-  ( A  e.  V  ->  ( { x  e.  ~P A  |  ( ( A  \  x )  e. 
Fin  \/  x  =  (/) ) }  e.  Top  <->  ( A. y ( y  C_  { x  e.  ~P A  |  ( ( A 
\  x )  e. 
Fin  \/  x  =  (/) ) }  ->  U. y  e.  { x  e.  ~P A  |  ( ( A  \  x )  e. 
Fin  \/  x  =  (/) ) } )  /\  A. y  e.  { x  e.  ~P A  |  ( ( A  \  x
)  e.  Fin  \/  x  =  (/) ) } A. z  e.  {
x  e.  ~P A  |  ( ( A 
\  x )  e. 
Fin  \/  x  =  (/) ) }  ( y  i^i  z )  e. 
{ x  e.  ~P A  |  ( ( A  \  x )  e. 
Fin  \/  x  =  (/) ) } ) ) )
8681, 85mpbiri 224 . 2  |-  ( A  e.  V  ->  { x  e.  ~P A  |  ( ( A  \  x
)  e.  Fin  \/  x  =  (/) ) }  e.  Top )
87 pwidg 3637 . . . . 5  |-  ( A  e.  V  ->  A  e.  ~P A )
88 0fin 7087 . . . . . . 7  |-  (/)  e.  Fin
8988orci 379 . . . . . 6  |-  ( (/)  e.  Fin  \/  A  =  (/) )
9089a1i 10 . . . . 5  |-  ( A  e.  V  ->  ( (/) 
e.  Fin  \/  A  =  (/) ) )
91 difeq2 3288 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  A  ->  ( A  \  x )  =  ( A  \  A
) )
92 difid 3522 . . . . . . . . 9  |-  ( A 
\  A )  =  (/)
9391, 92syl6eq 2331 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  A  ->  ( A  \  x )  =  (/) )
9493eleq1d 2349 . . . . . . 7  |-  ( x  =  A  ->  (
( A  \  x
)  e.  Fin  <->  (/)  e.  Fin ) )
95 eqeq1 2289 . . . . . . 7  |-  ( x  =  A  ->  (
x  =  (/)  <->  A  =  (/) ) )
9694, 95orbi12d 690 . . . . . 6  |-  ( x  =  A  ->  (
( ( A  \  x )  e.  Fin  \/  x  =  (/) )  <->  ( (/)  e.  Fin  \/  A  =  (/) ) ) )
9796elrab 2923 . . . . 5  |-  ( A  e.  { x  e. 
~P A  |  ( ( A  \  x
)  e.  Fin  \/  x  =  (/) ) }  <-> 
( A  e.  ~P A  /\  ( (/)  e.  Fin  \/  A  =  (/) ) ) )
9887, 90, 97sylanbrc 645 . . . 4  |-  ( A  e.  V  ->  A  e.  { x  e.  ~P A  |  ( ( A  \  x )  e. 
Fin  \/  x  =  (/) ) } )
99 elssuni 3855 . . . 4  |-  ( A  e.  { x  e. 
~P A  |  ( ( A  \  x
)  e.  Fin  \/  x  =  (/) ) }  ->  A  C_  U. {
x  e.  ~P A  |  ( ( A 
\  x )  e. 
Fin  \/  x  =  (/) ) } )
10098, 99syl 15 . . 3  |-  ( A  e.  V  ->  A  C_ 
U. { x  e. 
~P A  |  ( ( A  \  x
)  e.  Fin  \/  x  =  (/) ) } )
1014a1i 10 . . 3  |-  ( A  e.  V  ->  U. {
x  e.  ~P A  |  ( ( A 
\  x )  e. 
Fin  \/  x  =  (/) ) }  C_  A
)
102100, 101eqssd 3196 . 2  |-  ( A  e.  V  ->  A  =  U. { x  e. 
~P A  |  ( ( A  \  x
)  e.  Fin  \/  x  =  (/) ) } )
103 istopon 16663 . 2  |-  ( { x  e.  ~P A  |  ( ( A 
\  x )  e. 
Fin  \/  x  =  (/) ) }  e.  (TopOn `  A )  <->  ( {
x  e.  ~P A  |  ( ( A 
\  x )  e. 
Fin  \/  x  =  (/) ) }  e.  Top  /\  A  =  U. {
x  e.  ~P A  |  ( ( A 
\  x )  e. 
Fin  \/  x  =  (/) ) } ) )
10486, 102, 103sylanbrc 645 1  |-  ( A  e.  V  ->  { x  e.  ~P A  |  ( ( A  \  x
)  e.  Fin  \/  x  =  (/) ) }  e.  (TopOn `  A
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    \/ wo 357    /\ wa 358   A.wal 1527    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   E.wrex 2544   {crab 2547   _Vcvv 2788    \ cdif 3149    u. cun 3150    i^i cin 3151    C_ wss 3152   (/)c0 3455   ~Pcpw 3625   U.cuni 3827   ` cfv 5255   Fincfn 6863   Topctop 16631  TopOnctopon 16632
This theorem is referenced by:  fctop2  16742
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-oadd 6483  df-er 6660  df-en 6864  df-fin 6867  df-top 16636  df-topon 16639
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