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Theorem fdc1 26348
Description: Variant of fdc 26347 with no specified base value. (Contributed by Jeff Madsen, 18-Jun-2010.)
Hypotheses
Ref Expression
fdc1.1  |-  A  e. 
_V
fdc1.2  |-  M  e.  ZZ
fdc1.3  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
fdc1.4  |-  N  =  ( M  +  1 )
fdc1.5  |-  ( a  =  ( f `  M )  ->  ( ze 
<-> 
si ) )
fdc1.6  |-  ( a  =  ( f `  ( k  -  1 ) )  ->  ( ph 
<->  ps ) )
fdc1.7  |-  ( b  =  ( f `  k )  ->  ( ps 
<->  ch ) )
fdc1.8  |-  ( a  =  ( f `  n )  ->  ( th 
<->  ta ) )
fdc1.9  |-  ( et 
->  E. a  e.  A  ze )
fdc1.10  |-  ( et 
->  R  Fr  A
)
fdc1.11  |-  ( ( et  /\  a  e.  A )  ->  ( th  \/  E. b  e.  A  ph ) )
fdc1.12  |-  ( ( ( et  /\  ph )  /\  ( a  e.  A  /\  b  e.  A ) )  -> 
b R a )
Assertion
Ref Expression
fdc1  |-  ( et 
->  E. n  e.  Z  E. f ( f : ( M ... n
) --> A  /\  ( si  /\  ta )  /\  A. k  e.  ( N ... n ) ch ) )
Distinct variable groups:    A, a,
b, f, n    R, a, b    M, a, b, f, k, n    Z, a, b, n    N, a, b, f, k, n    ph, f, k    ps, a    ch, a, b, n    th, f, n    ta, a, b    et, a, b, f, n    ze, b, f, n    si, a
Allowed substitution hints:    ph( n, a, b)    ps( f, k, n, b)    ch( f, k)    th( k,
a, b)    ta( f,
k, n)    et( k)    ze( k, a)    si( f,
k, n, b)    A( k)    R( f, k, n)    Z( f, k)

Proof of Theorem fdc1
Dummy variables  c 
d are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fdc1.9 . 2  |-  ( et 
->  E. a  e.  A  ze )
2 eleq1 2472 . . . . . . . 8  |-  ( c  =  a  ->  (
c  e.  A  <->  a  e.  A ) )
32anbi2d 685 . . . . . . 7  |-  ( c  =  a  ->  (
( et  /\  c  e.  A )  <->  ( et  /\  a  e.  A
) ) )
4 sbceq2a 3140 . . . . . . 7  |-  ( c  =  a  ->  ( [. c  /  a ]. ze  <->  ze ) )
53, 4anbi12d 692 . . . . . 6  |-  ( c  =  a  ->  (
( ( et  /\  c  e.  A )  /\  [. c  /  a ]. ze )  <->  ( ( et  /\  a  e.  A
)  /\  ze )
) )
65imbi1d 309 . . . . 5  |-  ( c  =  a  ->  (
( ( ( et 
/\  c  e.  A
)  /\  [. c  / 
a ]. ze )  ->  E. n  e.  Z  E. f ( f : ( M ... n
) --> A  /\  ( si  /\  ta )  /\  A. k  e.  ( N ... n ) ch ) )  <->  ( (
( et  /\  a  e.  A )  /\  ze )  ->  E. n  e.  Z  E. f ( f : ( M ... n
) --> A  /\  ( si  /\  ta )  /\  A. k  e.  ( N ... n ) ch ) ) ) )
7 fdc1.1 . . . . . . . 8  |-  A  e. 
_V
8 fdc1.2 . . . . . . . 8  |-  M  e.  ZZ
9 fdc1.3 . . . . . . . 8  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
10 fdc1.4 . . . . . . . 8  |-  N  =  ( M  +  1 )
11 sbsbc 3133 . . . . . . . . 9  |-  ( [ d  /  a ]
ph 
<-> 
[. d  /  a ]. ph )
12 nfv 1626 . . . . . . . . . 10  |-  F/ a ps
13 fdc1.6 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  =  ( f `  ( k  -  1 ) )  ->  ( ph 
<->  ps ) )
1412, 13sbhypf 2969 . . . . . . . . 9  |-  ( d  =  ( f `  ( k  -  1 ) )  ->  ( [ d  /  a ] ph  <->  ps ) )
1511, 14syl5bbr 251 . . . . . . . 8  |-  ( d  =  ( f `  ( k  -  1 ) )  ->  ( [. d  /  a ]. ph  <->  ps ) )
16 fdc1.7 . . . . . . . 8  |-  ( b  =  ( f `  k )  ->  ( ps 
<->  ch ) )
17 sbsbc 3133 . . . . . . . . 9  |-  ( [ d  /  a ] th  <->  [. d  /  a ]. th )
18 nfv 1626 . . . . . . . . . 10  |-  F/ a ta
19 fdc1.8 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  =  ( f `  n )  ->  ( th 
<->  ta ) )
2018, 19sbhypf 2969 . . . . . . . . 9  |-  ( d  =  ( f `  n )  ->  ( [ d  /  a ] th  <->  ta ) )
2117, 20syl5bbr 251 . . . . . . . 8  |-  ( d  =  ( f `  n )  ->  ( [. d  /  a ]. th  <->  ta ) )
22 simprl 733 . . . . . . . 8  |-  ( ( et  /\  ( c  e.  A  /\  [. c  /  a ]. ze ) )  ->  c  e.  A )
23 fdc1.10 . . . . . . . . 9  |-  ( et 
->  R  Fr  A
)
2423adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( et  /\  ( c  e.  A  /\  [. c  /  a ]. ze ) )  ->  R  Fr  A )
25 nfv 1626 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ a ( et  /\  d  e.  A )
26 nfsbc1v 3148 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ a
[. d  /  a ]. th
27 nfcv 2548 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ a A
28 nfsbc1v 3148 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ a
[. d  /  a ]. ph
2927, 28nfrex 2729 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ a E. b  e.  A  [. d  /  a ]. ph
3026, 29nfor 1854 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ a ( [. d  / 
a ]. th  \/  E. b  e.  A  [. d  /  a ]. ph )
3125, 30nfim 1828 . . . . . . . . . 10  |-  F/ a ( ( et  /\  d  e.  A )  ->  ( [. d  / 
a ]. th  \/  E. b  e.  A  [. d  /  a ]. ph )
)
32 eleq1 2472 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a  =  d  ->  (
a  e.  A  <->  d  e.  A ) )
3332anbi2d 685 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  =  d  ->  (
( et  /\  a  e.  A )  <->  ( et  /\  d  e.  A
) ) )
34 sbceq1a 3139 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a  =  d  ->  ( th 
<-> 
[. d  /  a ]. th ) )
35 sbceq1a 3139 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( a  =  d  ->  ( ph 
<-> 
[. d  /  a ]. ph ) )
3635rexbidv 2695 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a  =  d  ->  ( E. b  e.  A  ph  <->  E. b  e.  A  [. d  /  a ]. ph )
)
3734, 36orbi12d 691 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  =  d  ->  (
( th  \/  E. b  e.  A  ph )  <->  (
[. d  /  a ]. th  \/  E. b  e.  A  [. d  / 
a ]. ph ) ) )
3833, 37imbi12d 312 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  =  d  ->  (
( ( et  /\  a  e.  A )  ->  ( th  \/  E. b  e.  A  ph )
)  <->  ( ( et 
/\  d  e.  A
)  ->  ( [. d  /  a ]. th  \/  E. b  e.  A  [. d  /  a ]. ph ) ) ) )
39 fdc1.11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( et  /\  a  e.  A )  ->  ( th  \/  E. b  e.  A  ph ) )
4031, 38, 39chvar 2049 . . . . . . . . 9  |-  ( ( et  /\  d  e.  A )  ->  ( [. d  /  a ]. th  \/  E. b  e.  A  [. d  / 
a ]. ph ) )
4140adantlr 696 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( et  /\  (
c  e.  A  /\  [. c  /  a ]. ze ) )  /\  d  e.  A )  ->  ( [. d  /  a ]. th  \/  E. b  e.  A  [. d  / 
a ]. ph ) )
42 nfv 1626 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ a et
4342, 28nfan 1842 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ a ( et  /\  [. d  /  a ]. ph )
44 nfv 1626 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ a ( d  e.  A  /\  b  e.  A
)
4543, 44nfan 1842 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ a ( ( et  /\  [. d  /  a ]. ph )  /\  ( d  e.  A  /\  b  e.  A ) )
46 nfv 1626 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ a  b R d
4745, 46nfim 1828 . . . . . . . . . 10  |-  F/ a ( ( ( et 
/\  [. d  /  a ]. ph )  /\  (
d  e.  A  /\  b  e.  A )
)  ->  b R
d )
4835anbi2d 685 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a  =  d  ->  (
( et  /\  ph ) 
<->  ( et  /\  [. d  /  a ]. ph )
) )
4932anbi1d 686 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a  =  d  ->  (
( a  e.  A  /\  b  e.  A
)  <->  ( d  e.  A  /\  b  e.  A ) ) )
5048, 49anbi12d 692 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  =  d  ->  (
( ( et  /\  ph )  /\  ( a  e.  A  /\  b  e.  A ) )  <->  ( ( et  /\  [. d  / 
a ]. ph )  /\  ( d  e.  A  /\  b  e.  A
) ) ) )
51 breq2 4184 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  =  d  ->  (
b R a  <->  b R
d ) )
5250, 51imbi12d 312 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  =  d  ->  (
( ( ( et 
/\  ph )  /\  (
a  e.  A  /\  b  e.  A )
)  ->  b R
a )  <->  ( (
( et  /\  [. d  /  a ]. ph )  /\  ( d  e.  A  /\  b  e.  A
) )  ->  b R d ) ) )
53 fdc1.12 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( et  /\  ph )  /\  ( a  e.  A  /\  b  e.  A ) )  -> 
b R a )
5447, 52, 53chvar 2049 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( et  /\  [. d  /  a ]. ph )  /\  ( d  e.  A  /\  b  e.  A
) )  ->  b R d )
5554adantllr 700 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( et  /\  ( c  e.  A  /\  [. c  /  a ]. ze ) )  /\  [. d  /  a ]. ph )  /\  ( d  e.  A  /\  b  e.  A ) )  -> 
b R d )
567, 8, 9, 10, 15, 16, 21, 22, 24, 41, 55fdc 26347 . . . . . . 7  |-  ( ( et  /\  ( c  e.  A  /\  [. c  /  a ]. ze ) )  ->  E. n  e.  Z  E. f
( f : ( M ... n ) --> A  /\  ( ( f `  M )  =  c  /\  ta )  /\  A. k  e.  ( N ... n
) ch ) )
5756anassrs 630 . . . . . 6  |-  ( ( ( et  /\  c  e.  A )  /\  [. c  /  a ]. ze )  ->  E. n  e.  Z  E. f ( f : ( M ... n
) --> A  /\  (
( f `  M
)  =  c  /\  ta )  /\  A. k  e.  ( N ... n
) ch ) )
58 idd 22 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( et  /\  c  e.  A )  /\  [. c  /  a ]. ze )  ->  ( f : ( M ... n
) --> A  ->  f : ( M ... n ) --> A ) )
59 fvex 5709 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f `
 M )  e. 
_V
60 fdc1.5 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( a  =  ( f `  M )  ->  ( ze 
<-> 
si ) )
6159, 60sbcie 3163 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( [. ( f `  M
)  /  a ]. ze 
<-> 
si )
62 dfsbcq 3131 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( f `  M )  =  c  ->  ( [. ( f `  M
)  /  a ]. ze 
<-> 
[. c  /  a ]. ze ) )
6361, 62syl5rbbr 252 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( f `  M )  =  c  ->  ( [. c  /  a ]. ze  <->  si ) )
6463biimpcd 216 . . . . . . . . . . 11  |-  ( [. c  /  a ]. ze  ->  ( ( f `  M )  =  c  ->  si ) )
6564adantl 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( et  /\  c  e.  A )  /\  [. c  /  a ]. ze )  ->  ( ( f `
 M )  =  c  ->  si )
)
6665anim1d 548 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( et  /\  c  e.  A )  /\  [. c  /  a ]. ze )  ->  ( ( ( f `  M )  =  c  /\  ta )  ->  ( si  /\  ta ) ) )
67 idd 22 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( et  /\  c  e.  A )  /\  [. c  /  a ]. ze )  ->  ( A. k  e.  ( N ... n
) ch  ->  A. k  e.  ( N ... n
) ch ) )
6858, 66, 673anim123d 1261 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( et  /\  c  e.  A )  /\  [. c  /  a ]. ze )  ->  ( ( f : ( M ... n ) --> A  /\  ( ( f `  M )  =  c  /\  ta )  /\  A. k  e.  ( N ... n ) ch )  ->  ( f : ( M ... n ) --> A  /\  ( si  /\  ta )  /\  A. k  e.  ( N ... n ) ch ) ) )
6968eximdv 1629 . . . . . . 7  |-  ( ( ( et  /\  c  e.  A )  /\  [. c  /  a ]. ze )  ->  ( E. f
( f : ( M ... n ) --> A  /\  ( ( f `  M )  =  c  /\  ta )  /\  A. k  e.  ( N ... n
) ch )  ->  E. f ( f : ( M ... n
) --> A  /\  ( si  /\  ta )  /\  A. k  e.  ( N ... n ) ch ) ) )
7069reximdv 2785 . . . . . 6  |-  ( ( ( et  /\  c  e.  A )  /\  [. c  /  a ]. ze )  ->  ( E. n  e.  Z  E. f
( f : ( M ... n ) --> A  /\  ( ( f `  M )  =  c  /\  ta )  /\  A. k  e.  ( N ... n
) ch )  ->  E. n  e.  Z  E. f ( f : ( M ... n
) --> A  /\  ( si  /\  ta )  /\  A. k  e.  ( N ... n ) ch ) ) )
7157, 70mpd 15 . . . . 5  |-  ( ( ( et  /\  c  e.  A )  /\  [. c  /  a ]. ze )  ->  E. n  e.  Z  E. f ( f : ( M ... n
) --> A  /\  ( si  /\  ta )  /\  A. k  e.  ( N ... n ) ch ) )
726, 71chvarv 2050 . . . 4  |-  ( ( ( et  /\  a  e.  A )  /\  ze )  ->  E. n  e.  Z  E. f ( f : ( M ... n
) --> A  /\  ( si  /\  ta )  /\  A. k  e.  ( N ... n ) ch ) )
7372ex 424 . . 3  |-  ( ( et  /\  a  e.  A )  ->  ( ze  ->  E. n  e.  Z  E. f ( f : ( M ... n
) --> A  /\  ( si  /\  ta )  /\  A. k  e.  ( N ... n ) ch ) ) )
7473rexlimdva 2798 . 2  |-  ( et 
->  ( E. a  e.  A  ze  ->  E. n  e.  Z  E. f
( f : ( M ... n ) --> A  /\  ( si  /\ 
ta )  /\  A. k  e.  ( N ... n ) ch )
) )
751, 74mpd 15 1  |-  ( et 
->  E. n  e.  Z  E. f ( f : ( M ... n
) --> A  /\  ( si  /\  ta )  /\  A. k  e.  ( N ... n ) ch ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    \/ wo 358    /\ wa 359    /\ w3a 936   E.wex 1547    = wceq 1649   [wsb 1655    e. wcel 1721   A.wral 2674   E.wrex 2675   _Vcvv 2924   [.wsbc 3129   class class class wbr 4180    Fr wfr 4506   -->wf 5417   ` cfv 5421  (class class class)co 6048   1c1 8955    + caddc 8957    - cmin 9255   ZZcz 10246   ZZ>=cuz 10452   ...cfz 11007
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2393  ax-rep 4288  ax-sep 4298  ax-nul 4306  ax-pow 4345  ax-pr 4371  ax-un 4668  ax-cnex 9010  ax-resscn 9011  ax-1cn 9012  ax-icn 9013  ax-addcl 9014  ax-addrcl 9015  ax-mulcl 9016  ax-mulrcl 9017  ax-mulcom 9018  ax-addass 9019  ax-mulass 9020  ax-distr 9021  ax-i2m1 9022  ax-1ne0 9023  ax-1rid 9024  ax-rnegex 9025  ax-rrecex 9026  ax-cnre 9027  ax-pre-lttri 9028  ax-pre-lttrn 9029  ax-pre-ltadd 9030  ax-pre-mulgt0 9031
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2399  df-cleq 2405  df-clel 2408  df-nfc 2537  df-ne 2577  df-nel 2578  df-ral 2679  df-rex 2680  df-reu 2681  df-rab 2683  df-v 2926  df-sbc 3130  df-csb 3220  df-dif 3291  df-un 3293  df-in 3295  df-ss 3302  df-pss 3304  df-nul 3597  df-if 3708  df-pw 3769  df-sn 3788  df-pr 3789  df-tp 3790  df-op 3791  df-uni 3984  df-iun 4063  df-br 4181  df-opab 4235  df-mpt 4236  df-tr 4271  df-eprel 4462  df-id 4466  df-po 4471  df-so 4472  df-fr 4509  df-we 4511  df-ord 4552  df-on 4553  df-lim 4554  df-suc 4555  df-om 4813  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5385  df-fun 5423  df-fn 5424  df-f 5425  df-f1 5426  df-fo 5427  df-f1o 5428  df-fv 5429  df-ov 6051  df-oprab 6052  df-mpt2 6053  df-1st 6316  df-2nd 6317  df-riota 6516  df-recs 6600  df-rdg 6635  df-er 6872  df-en 7077  df-dom 7078  df-sdom 7079  df-pnf 9086  df-mnf 9087  df-xr 9088  df-ltxr 9089  df-le 9090  df-sub 9257  df-neg 9258  df-nn 9965  df-n0 10186  df-z 10247  df-uz 10453  df-fz 11008
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