MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  feq1 Unicode version

Theorem feq1 5391
Description: Equality theorem for functions. (Contributed by NM, 1-Aug-1994.)
Assertion
Ref Expression
feq1  |-  ( F  =  G  ->  ( F : A --> B  <->  G : A
--> B ) )

Proof of Theorem feq1
StepHypRef Expression
1 fneq1 5349 . . 3  |-  ( F  =  G  ->  ( F  Fn  A  <->  G  Fn  A ) )
2 rneq 4920 . . . 4  |-  ( F  =  G  ->  ran  F  =  ran  G )
32sseq1d 3218 . . 3  |-  ( F  =  G  ->  ( ran  F  C_  B  <->  ran  G  C_  B ) )
41, 3anbi12d 691 . 2  |-  ( F  =  G  ->  (
( F  Fn  A  /\  ran  F  C_  B
)  <->  ( G  Fn  A  /\  ran  G  C_  B ) ) )
5 df-f 5275 . 2  |-  ( F : A --> B  <->  ( F  Fn  A  /\  ran  F  C_  B ) )
6 df-f 5275 . 2  |-  ( G : A --> B  <->  ( G  Fn  A  /\  ran  G  C_  B ) )
74, 5, 63bitr4g 279 1  |-  ( F  =  G  ->  ( F : A --> B  <->  G : A
--> B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1632    C_ wss 3165   ran crn 4706    Fn wfn 5266   -->wf 5267
This theorem is referenced by:  feq1d  5395  feq1i  5399  elimf  5404  f00  5442  fconstg  5444  f1eq1  5448  fconst2g  5744  fconstfv  5750  elmapg  6801  ac6sfi  7117  ac5num  7679  acni2  7689  cofsmo  7911  cfsmolem  7912  cfcoflem  7914  coftr  7915  alephsing  7918  axdc2lem  8090  axdc3lem2  8093  axdc3lem3  8094  axdc3  8096  axdc4lem  8097  ac6num  8122  inar1  8413  axdc4uzlem  11060  seqf1olem2  11102  seqf1o  11103  iswrd  11431  ramub2  13077  ramcl  13092  isacs2  13571  isacs1i  13575  mreacs  13576  isgrpinv  14548  isghm  14699  1stcfb  17187  upxp  17333  txcn  17336  isi1f  19045  mbfi1fseqlem6  19091  mbfi1flimlem  19093  itg2addlem  19129  plyf  19596  isgrpo  20879  ismgm  21003  elghomlem2  21045  vci  21120  isvclem  21149  isnvlem  21182  ajmoi  21453  ajval  21456  hlimi  21783  chlimi  21830  chcompl  21838  adjmo  22428  adjeu  22485  adjval  22486  adj1  22529  adjeq  22531  cnlnssadj  22676  pjinvari  22787  isrnmeas  23546  iseupa  23896  fprb  24200  orderseqlem  24323  soseq  24325  elno  24371  feq123  25171  fopab2g  25248  mapmapmap  25251  islatalg  25286  domrancur1b  25303  domrancur1c  25305  valcurfn  25306  vecval1b  25554  vecval3b  25555  vri  25595  istopx  25650  ismgra  25813  isalg  25824  algi  25830  filnetlem4  26433  upixp  26506  sdclem2  26555  sdclem1  26556  fdc  26558  ismrc  26879  islindf  27385  fmuldfeqlem1  27815  fmuldfeq  27816  stoweidlem15  27867  stoweidlem16  27868  stoweidlem17  27869  stoweidlem19  27871  stoweidlem20  27872  stoweidlem21  27873  stoweidlem22  27874  stoweidlem23  27875  stoweidlem27  27879  stoweidlem31  27883  stoweidlem32  27884  stoweidlem42  27894  stoweidlem48  27900  stoweidlem51  27903  stoweidlem59  27911  istendo  31571
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-rab 2565  df-v 2803  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-br 4040  df-opab 4094  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275
  Copyright terms: Public domain W3C validator