Theorem feu 3647

Description: There is exactly one value of a function in its codomain.

Assertion

Ref	Expression
feu	|- ((F:A-->B /\ C e. A) -> E!y e. B <.C, y>. e. F)

Distinct variable groups:   y,F   y,A   y,B   y,C

Proof of Theorem feu

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fneu2 3593	. . . 4 |- ((F Fn A /\ C e. A) -> E!y<.C, y>. e. F)
2		ffn 3627	. . . 4 |- (F:A-->B -> F Fn A)
3	1, 2	sylan 448	. . 3 |- ((F:A-->B /\ C e. A) -> E!y<.C, y>. e. F)
4		visset 1813	. . . . . . . . 9 |- y e. V
5	4	opelf 3640	. . . . . . . 8 |- ((F:A-->B /\ <.C, y>. e. F) -> (C e. A /\ y e. B))
6	5	pm3.27d 325	. . . . . . 7 |- ((F:A-->B /\ <.C, y>. e. F) -> y e. B)
7	6	ex 373	. . . . . 6 |- (F:A-->B -> (<.C, y>. e. F -> y e. B))
8	7	pm4.71rd 639	. . . . 5 |- (F:A-->B -> (<.C, y>. e. F <-> (y e. B /\ <.C, y>. e. F)))
9	8	eubidv 1386	. . . 4 |- (F:A-->B -> (E!y<.C, y>. e. F <-> E!y(y e. B /\ <.C, y>. e. F)))
10	9	adantr 389	. . 3 |- ((F:A-->B /\ C e. A) -> (E!y<.C, y>. e. F <-> E!y(y e. B /\ <.C, y>. e. F)))
11	3, 10	mpbid 195	. 2 |- ((F:A-->B /\ C e. A) -> E!y(y e. B /\ <.C, y>. e. F))
12		df-reu 1651	. 2 |- (E!y e. B <.C, y>. e. F <-> E!y(y e. B /\ <.C, y>. e. F))
13	11, 12	sylibr 200	1 |- ((F:A-->B /\ C e. A) -> E!y e. B <.C, y>. e. F)

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   e. wcel 958  E!weu 1380  E!wreu 1647  <.cop 2411   Fn wfn 3177  -->wf 3178

This theorem is referenced by:  fsn 3834  f1ofveu 3882

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-sep 2703  ax-pow 2742  ax-pr 2779

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-reu 1651  df-v 1812  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-op 2416  df-br 2620  df-opab 2667  df-id 2835  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194

Copyright terms: Public domain