MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  feu Structured version   Unicode version

Theorem feu 5611
Description: There is exactly one value of a function in its codomain. (Contributed by NM, 10-Dec-2003.)
Assertion
Ref Expression
feu  |-  ( ( F : A --> B  /\  C  e.  A )  ->  E! y  e.  B  <. C ,  y >.  e.  F )
Distinct variable groups:    y, F    y, A    y, B    y, C

Proof of Theorem feu
StepHypRef Expression
1 ffn 5583 . . . 4  |-  ( F : A --> B  ->  F  Fn  A )
2 fneu2 5542 . . . 4  |-  ( ( F  Fn  A  /\  C  e.  A )  ->  E! y <. C , 
y >.  e.  F )
31, 2sylan 458 . . 3  |-  ( ( F : A --> B  /\  C  e.  A )  ->  E! y <. C , 
y >.  e.  F )
4 opelf 5598 . . . . . . . 8  |-  ( ( F : A --> B  /\  <. C ,  y >.  e.  F )  ->  ( C  e.  A  /\  y  e.  B )
)
54simprd 450 . . . . . . 7  |-  ( ( F : A --> B  /\  <. C ,  y >.  e.  F )  ->  y  e.  B )
65ex 424 . . . . . 6  |-  ( F : A --> B  -> 
( <. C ,  y
>.  e.  F  ->  y  e.  B ) )
76pm4.71rd 617 . . . . 5  |-  ( F : A --> B  -> 
( <. C ,  y
>.  e.  F  <->  ( y  e.  B  /\  <. C , 
y >.  e.  F ) ) )
87eubidv 2288 . . . 4  |-  ( F : A --> B  -> 
( E! y <. C ,  y >.  e.  F  <->  E! y ( y  e.  B  /\  <. C ,  y >.  e.  F
) ) )
98adantr 452 . . 3  |-  ( ( F : A --> B  /\  C  e.  A )  ->  ( E! y <. C ,  y >.  e.  F  <->  E! y ( y  e.  B  /\  <. C ,  y >.  e.  F
) ) )
103, 9mpbid 202 . 2  |-  ( ( F : A --> B  /\  C  e.  A )  ->  E! y ( y  e.  B  /\  <. C ,  y >.  e.  F
) )
11 df-reu 2704 . 2  |-  ( E! y  e.  B  <. C ,  y >.  e.  F  <->  E! y ( y  e.  B  /\  <. C , 
y >.  e.  F ) )
1210, 11sylibr 204 1  |-  ( ( F : A --> B  /\  C  e.  A )  ->  E! y  e.  B  <. C ,  y >.  e.  F )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    e. wcel 1725   E!weu 2280   E!wreu 2699   <.cop 3809    Fn wfn 5441   -->wf 5442
This theorem is referenced by:  fsn  5898  f1ofveu  6576
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pr 4395
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-br 4205  df-opab 4259  df-id 4490  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450
  Copyright terms: Public domain W3C validator