MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  feu Unicode version

Theorem feu 5561
Description: There is exactly one value of a function in its codomain. (Contributed by NM, 10-Dec-2003.)
Assertion
Ref Expression
feu  |-  ( ( F : A --> B  /\  C  e.  A )  ->  E! y  e.  B  <. C ,  y >.  e.  F )
Distinct variable groups:    y, F    y, A    y, B    y, C

Proof of Theorem feu
StepHypRef Expression
1 ffn 5533 . . . 4  |-  ( F : A --> B  ->  F  Fn  A )
2 fneu2 5492 . . . 4  |-  ( ( F  Fn  A  /\  C  e.  A )  ->  E! y <. C , 
y >.  e.  F )
31, 2sylan 458 . . 3  |-  ( ( F : A --> B  /\  C  e.  A )  ->  E! y <. C , 
y >.  e.  F )
4 opelf 5548 . . . . . . . 8  |-  ( ( F : A --> B  /\  <. C ,  y >.  e.  F )  ->  ( C  e.  A  /\  y  e.  B )
)
54simprd 450 . . . . . . 7  |-  ( ( F : A --> B  /\  <. C ,  y >.  e.  F )  ->  y  e.  B )
65ex 424 . . . . . 6  |-  ( F : A --> B  -> 
( <. C ,  y
>.  e.  F  ->  y  e.  B ) )
76pm4.71rd 617 . . . . 5  |-  ( F : A --> B  -> 
( <. C ,  y
>.  e.  F  <->  ( y  e.  B  /\  <. C , 
y >.  e.  F ) ) )
87eubidv 2248 . . . 4  |-  ( F : A --> B  -> 
( E! y <. C ,  y >.  e.  F  <->  E! y ( y  e.  B  /\  <. C ,  y >.  e.  F
) ) )
98adantr 452 . . 3  |-  ( ( F : A --> B  /\  C  e.  A )  ->  ( E! y <. C ,  y >.  e.  F  <->  E! y ( y  e.  B  /\  <. C ,  y >.  e.  F
) ) )
103, 9mpbid 202 . 2  |-  ( ( F : A --> B  /\  C  e.  A )  ->  E! y ( y  e.  B  /\  <. C ,  y >.  e.  F
) )
11 df-reu 2658 . 2  |-  ( E! y  e.  B  <. C ,  y >.  e.  F  <->  E! y ( y  e.  B  /\  <. C , 
y >.  e.  F ) )
1210, 11sylibr 204 1  |-  ( ( F : A --> B  /\  C  e.  A )  ->  E! y  e.  B  <. C ,  y >.  e.  F )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    e. wcel 1717   E!weu 2240   E!wreu 2653   <.cop 3762    Fn wfn 5391   -->wf 5392
This theorem is referenced by:  fsn  5847  f1ofveu  6522
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2370  ax-sep 4273  ax-nul 4281  ax-pr 4346
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2376  df-cleq 2382  df-clel 2385  df-nfc 2514  df-ne 2554  df-ral 2656  df-rex 2657  df-reu 2658  df-rab 2660  df-v 2903  df-dif 3268  df-un 3270  df-in 3272  df-ss 3279  df-nul 3574  df-if 3685  df-sn 3765  df-pr 3766  df-op 3768  df-br 4156  df-opab 4210  df-id 4441  df-xp 4826  df-rel 4827  df-cnv 4828  df-co 4829  df-dm 4830  df-rn 4831  df-fun 5398  df-fn 5399  df-f 5400
  Copyright terms: Public domain W3C validator