MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fex2 Unicode version

Theorem fex2 5417
Description: A function with bounded domain and range is a set. This version of fex 5765 is proven without the Axiom of Replacement. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jun-2015.)
Assertion
Ref Expression
fex2  |-  ( ( F : A --> B  /\  A  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  F  e.  _V )

Proof of Theorem fex2
StepHypRef Expression
1 fssxp 5416 . . 3  |-  ( F : A --> B  ->  F  C_  ( A  X.  B ) )
213ad2ant1 976 . 2  |-  ( ( F : A --> B  /\  A  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  F  C_  ( A  X.  B ) )
3 xpexg 4816 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  ( A  X.  B
)  e.  _V )
433adant1 973 . 2  |-  ( ( F : A --> B  /\  A  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  ( A  X.  B
)  e.  _V )
5 ssexg 4176 . 2  |-  ( ( F  C_  ( A  X.  B )  /\  ( A  X.  B )  e. 
_V )  ->  F  e.  _V )
62, 4, 5syl2anc 642 1  |-  ( ( F : A --> B  /\  A  e.  V  /\  B  e.  W )  ->  F  e.  _V )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 934    e. wcel 1696   _Vcvv 2801    C_ wss 3165    X. cxp 4703   -->wf 5267
This theorem is referenced by:  elmapg  6801  f1oen2g  6894  f1dom2g  6895  dom3d  6919  domssex2  7037  domssex  7038  mapxpen  7043  oismo  7271  wdomima2g  7316  ixpiunwdom  7321  dfac8clem  7675  ac5num  7679  acni2  7689  acnlem  7691  dfac4  7765  dfac2a  7772  axdc2lem  8090  axdc4lem  8097  axcclem  8099  ac6num  8122  axdclem2  8163  addex  10368  mulex  10369  seqf1olem2  11102  seqf1o  11103  ccatfn  11443  limsuple  11968  limsuplt  11969  limsupbnd1  11972  caucvgrlem  12161  prdsval  13371  prdsplusg  13374  prdsmulr  13375  prdsvsca  13376  prdsds  13379  prdshom  13382  plusffval  14395  gsumval  14468  frmdplusg  14492  vrmdfval  14494  odinf  14892  efgtf  15047  gsumval3  15207  staffval  15628  scaffval  15661  cnfldcj  16402  cnfldds  16405  xrsadd  16407  xrsmul  16408  xrsds  16430  ipffval  16568  ocvfval  16582  cnpfval  16980  iscnp2  16985  txcn  17336  fmval  17654  fmf  17656  tsmsval  17829  tsmsadd  17845  blfval  17963  nmfval  18127  tngnm  18183  tngngp2  18184  tngngpd  18185  tngngp  18186  nmoffn  18236  nmofval  18239  ishtpy  18486  tchex  18665  adjeu  22485  ismeas  23545  nZdef  25283  isismty  26628  rrnval  26654
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-rab 2565  df-v 2803  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-br 4040  df-opab 4094  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-dm 4715  df-rn 4716  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275
  Copyright terms: Public domain W3C validator