MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ffnfv Unicode version

Theorem ffnfv 5685
Description: A function maps to a class to which all values belong. (Contributed by NM, 3-Dec-2003.)
Assertion
Ref Expression
ffnfv  |-  ( F : A --> B  <->  ( F  Fn  A  /\  A. x  e.  A  ( F `  x )  e.  B
) )
Distinct variable groups:    x, A    x, B    x, F

Proof of Theorem ffnfv
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ffn 5389 . . 3  |-  ( F : A --> B  ->  F  Fn  A )
2 ffvelrn 5663 . . . 4  |-  ( ( F : A --> B  /\  x  e.  A )  ->  ( F `  x
)  e.  B )
32ralrimiva 2626 . . 3  |-  ( F : A --> B  ->  A. x  e.  A  ( F `  x )  e.  B )
41, 3jca 518 . 2  |-  ( F : A --> B  -> 
( F  Fn  A  /\  A. x  e.  A  ( F `  x )  e.  B ) )
5 simpl 443 . . 3  |-  ( ( F  Fn  A  /\  A. x  e.  A  ( F `  x )  e.  B )  ->  F  Fn  A )
6 fvelrnb 5570 . . . . . 6  |-  ( F  Fn  A  ->  (
y  e.  ran  F  <->  E. x  e.  A  ( F `  x )  =  y ) )
76biimpd 198 . . . . 5  |-  ( F  Fn  A  ->  (
y  e.  ran  F  ->  E. x  e.  A  ( F `  x )  =  y ) )
8 nfra1 2593 . . . . . 6  |-  F/ x A. x  e.  A  ( F `  x )  e.  B
9 nfv 1605 . . . . . 6  |-  F/ x  y  e.  B
10 rsp 2603 . . . . . . 7  |-  ( A. x  e.  A  ( F `  x )  e.  B  ->  ( x  e.  A  ->  ( F `  x )  e.  B ) )
11 eleq1 2343 . . . . . . . 8  |-  ( ( F `  x )  =  y  ->  (
( F `  x
)  e.  B  <->  y  e.  B ) )
1211biimpcd 215 . . . . . . 7  |-  ( ( F `  x )  e.  B  ->  (
( F `  x
)  =  y  -> 
y  e.  B ) )
1310, 12syl6 29 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  A  ( F `  x )  e.  B  ->  ( x  e.  A  ->  (
( F `  x
)  =  y  -> 
y  e.  B ) ) )
148, 9, 13rexlimd 2664 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  A  ( F `  x )  e.  B  ->  ( E. x  e.  A  ( F `  x )  =  y  ->  y  e.  B ) )
157, 14sylan9 638 . . . 4  |-  ( ( F  Fn  A  /\  A. x  e.  A  ( F `  x )  e.  B )  -> 
( y  e.  ran  F  ->  y  e.  B
) )
1615ssrdv 3185 . . 3  |-  ( ( F  Fn  A  /\  A. x  e.  A  ( F `  x )  e.  B )  ->  ran  F  C_  B )
17 df-f 5259 . . 3  |-  ( F : A --> B  <->  ( F  Fn  A  /\  ran  F  C_  B ) )
185, 16, 17sylanbrc 645 . 2  |-  ( ( F  Fn  A  /\  A. x  e.  A  ( F `  x )  e.  B )  ->  F : A --> B )
194, 18impbii 180 1  |-  ( F : A --> B  <->  ( F  Fn  A  /\  A. x  e.  A  ( F `  x )  e.  B
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   E.wrex 2544    C_ wss 3152   ran crn 4690    Fn wfn 5250   -->wf 5251   ` cfv 5255
This theorem is referenced by:  ffnfvf  5686  fnfvrnss  5687  fmpt2d  5688  ffnov  5948  seqomlem2  6463  abianfp  6471  elixpconst  6824  elixpsn  6855  unblem4  7112  ordtypelem4  7236  oismo  7255  cantnfvalf  7366  rankf  7466  alephon  7696  alephf1  7712  alephf1ALT  7730  alephfplem4  7734  cfsmolem  7896  infpssrlem3  7931  axcc4  8065  domtriomlem  8068  axdclem2  8147  pwfseqlem3  8282  gch3  8302  inar1  8397  peano5nni  9749  cnref1o  10349  seqf2  11065  hashkf  11339  shftf  11574  sqrf  11847  isercoll2  12142  eff2  12379  reeff1  12400  1arith  12974  ramcl  13076  xpscf  13468  dmaf  13881  cdaf  13882  coapm  13903  odf  14852  gsumpt  15222  dprdff  15247  dprdfcntz  15250  dprdfadd  15255  dprdlub  15261  mgpf  15352  prdscrngd  15396  isabvd  15585  psrbagcon  16117  subrgmvrf  16206  mplbas2  16212  mvrf2  16233  kqf  17438  fmf  17640  tmdgsum2  17779  prdstmdd  17806  prdstgpd  17807  prdsxmslem2  18075  metdsre  18357  evth  18457  evthicc2  18820  ovolfsf  18831  ovolf  18841  vitalilem2  18964  vitalilem5  18967  0plef  19027  mbfi1fseqlem4  19073  xrge0f  19086  itg2addlem  19113  dvfre  19300  dvne0  19358  mdegxrf  19454  mtest  19781  psercn  19802  recosf1o  19897  logcn  19994  amgm  20285  emcllem7  20295  dchrfi  20494  dchr1re  20502  dchrisum0re  20662  padicabvf  20780  hlimf  21817  pjrni  22281  pjmf1  22295  ofcfval4  23466  subfacp1lem3  23713  mapmapmap  25148  neibastop2lem  26309  rrncmslem  26556  frlmsslsp  27248  hbtlem7  27329  dgraaf  27352  psgnghm  27437  deg1mhm  27526  stoweidlem31  27780  bnj149  28907  cdlemk56  31160
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pr 4214
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-fv 5263
  Copyright terms: Public domain W3C validator