MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ffnov Unicode version

Theorem ffnov 5948
Description: An operation maps to a class to which all values belong. (Contributed by NM, 7-Feb-2004.)
Assertion
Ref Expression
ffnov  |-  ( F : ( A  X.  B ) --> C  <->  ( F  Fn  ( A  X.  B
)  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( x F y )  e.  C ) )
Distinct variable groups:    x, y, A    x, B, y    x, C, y    x, F, y

Proof of Theorem ffnov
Dummy variable  w is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ffnfv 5685 . 2  |-  ( F : ( A  X.  B ) --> C  <->  ( F  Fn  ( A  X.  B
)  /\  A. w  e.  ( A  X.  B
) ( F `  w )  e.  C
) )
2 fveq2 5525 . . . . . 6  |-  ( w  =  <. x ,  y
>.  ->  ( F `  w )  =  ( F `  <. x ,  y >. )
)
3 df-ov 5861 . . . . . 6  |-  ( x F y )  =  ( F `  <. x ,  y >. )
42, 3syl6eqr 2333 . . . . 5  |-  ( w  =  <. x ,  y
>.  ->  ( F `  w )  =  ( x F y ) )
54eleq1d 2349 . . . 4  |-  ( w  =  <. x ,  y
>.  ->  ( ( F `
 w )  e.  C  <->  ( x F y )  e.  C
) )
65ralxp 4827 . . 3  |-  ( A. w  e.  ( A  X.  B ) ( F `
 w )  e.  C  <->  A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( x F y )  e.  C )
76anbi2i 675 . 2  |-  ( ( F  Fn  ( A  X.  B )  /\  A. w  e.  ( A  X.  B ) ( F `  w )  e.  C )  <->  ( F  Fn  ( A  X.  B
)  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( x F y )  e.  C ) )
81, 7bitri 240 1  |-  ( F : ( A  X.  B ) --> C  <->  ( F  Fn  ( A  X.  B
)  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( x F y )  e.  C ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   <.cop 3643    X. cxp 4687    Fn wfn 5250   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858
This theorem is referenced by:  fovcl  5949  cantnfvalf  7366  axaddf  8767  axmulf  8768  mulnzcnopr  9414  mndfo  14397  frmdplusg  14476  gass  14755  sylow2blem2  14932  txdis1cn  17329  isxmet2d  17892  prdsmet  17934  imasdsf1olem  17937  imasf1oxmet  17939  imasf1omet  17940  xmetresbl  17983  comet  18059  tgqioo  18306  xrtgioo  18312  opnmblALT  18958  dvdsmulf1o  20434  issubgoi  20977  ghgrp  21035  fovcld  23203  ofrn  23206  xrge0pluscn  23322  isbndx  26506  isbnd3  26508  isbnd3b  26509  prdsbnd  26517  isdrngo2  26589
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pr 4214
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-fv 5263  df-ov 5861
  Copyright terms: Public domain W3C validator