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Theorem ffthiso 14131
Description: A fully faithful functor reflects isomorphisms. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
fthmon.b  |-  B  =  ( Base `  C
)
fthmon.h  |-  H  =  (  Hom  `  C
)
fthmon.f  |-  ( ph  ->  F ( C Faith  D
) G )
fthmon.x  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
fthmon.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  B )
fthmon.r  |-  ( ph  ->  R  e.  ( X H Y ) )
ffthiso.f  |-  ( ph  ->  F ( C Full  D
) G )
ffthiso.s  |-  I  =  (  Iso  `  C
)
ffthiso.t  |-  J  =  (  Iso  `  D
)
Assertion
Ref Expression
ffthiso  |-  ( ph  ->  ( R  e.  ( X I Y )  <-> 
( ( X G Y ) `  R
)  e.  ( ( F `  X ) J ( F `  Y ) ) ) )

Proof of Theorem ffthiso
Dummy variable  f is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fthmon.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  C
)
2 ffthiso.s . . 3  |-  I  =  (  Iso  `  C
)
3 ffthiso.t . . 3  |-  J  =  (  Iso  `  D
)
4 fthmon.f . . . . 5  |-  ( ph  ->  F ( C Faith  D
) G )
5 fthfunc 14109 . . . . . 6  |-  ( C Faith 
D )  C_  ( C  Func  D )
65ssbri 4257 . . . . 5  |-  ( F ( C Faith  D ) G  ->  F ( C  Func  D ) G )
74, 6syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  F ( C  Func  D ) G )
87adantr 453 . . 3  |-  ( (
ph  /\  R  e.  ( X I Y ) )  ->  F ( C  Func  D ) G )
9 fthmon.x . . . 4  |-  ( ph  ->  X  e.  B )
109adantr 453 . . 3  |-  ( (
ph  /\  R  e.  ( X I Y ) )  ->  X  e.  B )
11 fthmon.y . . . 4  |-  ( ph  ->  Y  e.  B )
1211adantr 453 . . 3  |-  ( (
ph  /\  R  e.  ( X I Y ) )  ->  Y  e.  B )
13 simpr 449 . . 3  |-  ( (
ph  /\  R  e.  ( X I Y ) )  ->  R  e.  ( X I Y ) )
141, 2, 3, 8, 10, 12, 13funciso 14076 . 2  |-  ( (
ph  /\  R  e.  ( X I Y ) )  ->  ( ( X G Y ) `  R )  e.  ( ( F `  X
) J ( F `
 Y ) ) )
15 eqid 2438 . . . 4  |-  (  Hom  `  D )  =  (  Hom  `  D )
16 fthmon.h . . . 4  |-  H  =  (  Hom  `  C
)
17 ffthiso.f . . . . 5  |-  ( ph  ->  F ( C Full  D
) G )
1817adantr 453 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( ( X G Y ) `  R )  e.  ( ( F `  X
) J ( F `
 Y ) ) )  ->  F ( C Full  D ) G )
1911adantr 453 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( ( X G Y ) `  R )  e.  ( ( F `  X
) J ( F `
 Y ) ) )  ->  Y  e.  B )
209adantr 453 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( ( X G Y ) `  R )  e.  ( ( F `  X
) J ( F `
 Y ) ) )  ->  X  e.  B )
21 eqid 2438 . . . . . . 7  |-  ( Base `  D )  =  (
Base `  D )
22 df-br 4216 . . . . . . . . . 10  |-  ( F ( C  Func  D
) G  <->  <. F ,  G >.  e.  ( C 
Func  D ) )
237, 22sylib 190 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  -> 
<. F ,  G >.  e.  ( C  Func  D
) )
24 funcrcl 14065 . . . . . . . . 9  |-  ( <. F ,  G >.  e.  ( C  Func  D
)  ->  ( C  e.  Cat  /\  D  e. 
Cat ) )
2523, 24syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( C  e.  Cat  /\  D  e.  Cat )
)
2625simprd 451 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  D  e.  Cat )
271, 21, 7funcf1 14068 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  F : B --> ( Base `  D ) )
2827, 11ffvelrnd 5874 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( F `  Y
)  e.  ( Base `  D ) )
2927, 9ffvelrnd 5874 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( F `  X
)  e.  ( Base `  D ) )
3021, 15, 3, 26, 28, 29isohom 14002 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( F `  Y ) J ( F `  X ) )  C_  ( ( F `  Y )
(  Hom  `  D ) ( F `  X
) ) )
3130adantr 453 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( ( X G Y ) `  R )  e.  ( ( F `  X
) J ( F `
 Y ) ) )  ->  ( ( F `  Y ) J ( F `  X ) )  C_  ( ( F `  Y ) (  Hom  `  D ) ( F `
 X ) ) )
32 eqid 2438 . . . . . . 7  |-  (Inv `  D )  =  (Inv
`  D )
3321, 32, 26, 29, 28, 3invf 13998 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( F `  X ) (Inv `  D ) ( F `
 Y ) ) : ( ( F `
 X ) J ( F `  Y
) ) --> ( ( F `  Y ) J ( F `  X ) ) )
3433ffvelrnda 5873 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( ( X G Y ) `  R )  e.  ( ( F `  X
) J ( F `
 Y ) ) )  ->  ( (
( F `  X
) (Inv `  D
) ( F `  Y ) ) `  ( ( X G Y ) `  R
) )  e.  ( ( F `  Y
) J ( F `
 X ) ) )
3531, 34sseldd 3351 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( ( X G Y ) `  R )  e.  ( ( F `  X
) J ( F `
 Y ) ) )  ->  ( (
( F `  X
) (Inv `  D
) ( F `  Y ) ) `  ( ( X G Y ) `  R
) )  e.  ( ( F `  Y
) (  Hom  `  D
) ( F `  X ) ) )
361, 15, 16, 18, 19, 20, 35fulli 14115 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( ( X G Y ) `  R )  e.  ( ( F `  X
) J ( F `
 Y ) ) )  ->  E. f  e.  ( Y H X ) ( ( ( F `  X ) (Inv `  D )
( F `  Y
) ) `  (
( X G Y ) `  R ) )  =  ( ( Y G X ) `
 f ) )
37 eqid 2438 . . . . . 6  |-  (Inv `  C )  =  (Inv
`  C )
3825simpld 447 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  C  e.  Cat )
3938ad3antrrr 712 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( X G Y ) `  R
)  e.  ( ( F `  X ) J ( F `  Y ) ) )  /\  f  e.  ( Y H X ) )  /\  ( ( ( F `  X
) (Inv `  D
) ( F `  Y ) ) `  ( ( X G Y ) `  R
) )  =  ( ( Y G X ) `  f ) )  ->  C  e.  Cat )
409ad3antrrr 712 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( X G Y ) `  R
)  e.  ( ( F `  X ) J ( F `  Y ) ) )  /\  f  e.  ( Y H X ) )  /\  ( ( ( F `  X
) (Inv `  D
) ( F `  Y ) ) `  ( ( X G Y ) `  R
) )  =  ( ( Y G X ) `  f ) )  ->  X  e.  B )
4111ad3antrrr 712 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( X G Y ) `  R
)  e.  ( ( F `  X ) J ( F `  Y ) ) )  /\  f  e.  ( Y H X ) )  /\  ( ( ( F `  X
) (Inv `  D
) ( F `  Y ) ) `  ( ( X G Y ) `  R
) )  =  ( ( Y G X ) `  f ) )  ->  Y  e.  B )
4221, 32, 26, 29, 28, 3isoval 13995 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( F `  X ) J ( F `  Y ) )  =  dom  (
( F `  X
) (Inv `  D
) ( F `  Y ) ) )
4342eleq2d 2505 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( X G Y ) `  R )  e.  ( ( F `  X
) J ( F `
 Y ) )  <-> 
( ( X G Y ) `  R
)  e.  dom  (
( F `  X
) (Inv `  D
) ( F `  Y ) ) ) )
4443biimpa 472 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( ( X G Y ) `  R )  e.  ( ( F `  X
) J ( F `
 Y ) ) )  ->  ( ( X G Y ) `  R )  e.  dom  ( ( F `  X ) (Inv `  D ) ( F `
 Y ) ) )
4521, 32, 26, 29, 28invfun 13994 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  Fun  ( ( F `
 X ) (Inv
`  D ) ( F `  Y ) ) )
4645adantr 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( ( X G Y ) `  R )  e.  ( ( F `  X
) J ( F `
 Y ) ) )  ->  Fun  ( ( F `  X ) (Inv `  D )
( F `  Y
) ) )
47 funfvbrb 5846 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Fun  ( ( F `  X ) (Inv `  D ) ( F `
 Y ) )  ->  ( ( ( X G Y ) `
 R )  e. 
dom  ( ( F `
 X ) (Inv
`  D ) ( F `  Y ) )  <->  ( ( X G Y ) `  R ) ( ( F `  X ) (Inv `  D )
( F `  Y
) ) ( ( ( F `  X
) (Inv `  D
) ( F `  Y ) ) `  ( ( X G Y ) `  R
) ) ) )
4846, 47syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( ( X G Y ) `  R )  e.  ( ( F `  X
) J ( F `
 Y ) ) )  ->  ( (
( X G Y ) `  R )  e.  dom  ( ( F `  X ) (Inv `  D )
( F `  Y
) )  <->  ( ( X G Y ) `  R ) ( ( F `  X ) (Inv `  D )
( F `  Y
) ) ( ( ( F `  X
) (Inv `  D
) ( F `  Y ) ) `  ( ( X G Y ) `  R
) ) ) )
4944, 48mpbid 203 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( ( X G Y ) `  R )  e.  ( ( F `  X
) J ( F `
 Y ) ) )  ->  ( ( X G Y ) `  R ) ( ( F `  X ) (Inv `  D )
( F `  Y
) ) ( ( ( F `  X
) (Inv `  D
) ( F `  Y ) ) `  ( ( X G Y ) `  R
) ) )
5049ad2antrr 708 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( X G Y ) `  R
)  e.  ( ( F `  X ) J ( F `  Y ) ) )  /\  f  e.  ( Y H X ) )  /\  ( ( ( F `  X
) (Inv `  D
) ( F `  Y ) ) `  ( ( X G Y ) `  R
) )  =  ( ( Y G X ) `  f ) )  ->  ( ( X G Y ) `  R ) ( ( F `  X ) (Inv `  D )
( F `  Y
) ) ( ( ( F `  X
) (Inv `  D
) ( F `  Y ) ) `  ( ( X G Y ) `  R
) ) )
51 simpr 449 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( X G Y ) `  R
)  e.  ( ( F `  X ) J ( F `  Y ) ) )  /\  f  e.  ( Y H X ) )  /\  ( ( ( F `  X
) (Inv `  D
) ( F `  Y ) ) `  ( ( X G Y ) `  R
) )  =  ( ( Y G X ) `  f ) )  ->  ( (
( F `  X
) (Inv `  D
) ( F `  Y ) ) `  ( ( X G Y ) `  R
) )  =  ( ( Y G X ) `  f ) )
5250, 51breqtrd 4239 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( X G Y ) `  R
)  e.  ( ( F `  X ) J ( F `  Y ) ) )  /\  f  e.  ( Y H X ) )  /\  ( ( ( F `  X
) (Inv `  D
) ( F `  Y ) ) `  ( ( X G Y ) `  R
) )  =  ( ( Y G X ) `  f ) )  ->  ( ( X G Y ) `  R ) ( ( F `  X ) (Inv `  D )
( F `  Y
) ) ( ( Y G X ) `
 f ) )
534ad3antrrr 712 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( X G Y ) `  R
)  e.  ( ( F `  X ) J ( F `  Y ) ) )  /\  f  e.  ( Y H X ) )  /\  ( ( ( F `  X
) (Inv `  D
) ( F `  Y ) ) `  ( ( X G Y ) `  R
) )  =  ( ( Y G X ) `  f ) )  ->  F ( C Faith  D ) G )
54 fthmon.r . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  R  e.  ( X H Y ) )
5554ad3antrrr 712 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( X G Y ) `  R
)  e.  ( ( F `  X ) J ( F `  Y ) ) )  /\  f  e.  ( Y H X ) )  /\  ( ( ( F `  X
) (Inv `  D
) ( F `  Y ) ) `  ( ( X G Y ) `  R
) )  =  ( ( Y G X ) `  f ) )  ->  R  e.  ( X H Y ) )
56 simplr 733 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( X G Y ) `  R
)  e.  ( ( F `  X ) J ( F `  Y ) ) )  /\  f  e.  ( Y H X ) )  /\  ( ( ( F `  X
) (Inv `  D
) ( F `  Y ) ) `  ( ( X G Y ) `  R
) )  =  ( ( Y G X ) `  f ) )  ->  f  e.  ( Y H X ) )
571, 16, 53, 40, 41, 55, 56, 37, 32fthinv 14128 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( X G Y ) `  R
)  e.  ( ( F `  X ) J ( F `  Y ) ) )  /\  f  e.  ( Y H X ) )  /\  ( ( ( F `  X
) (Inv `  D
) ( F `  Y ) ) `  ( ( X G Y ) `  R
) )  =  ( ( Y G X ) `  f ) )  ->  ( R
( X (Inv `  C ) Y ) f  <->  ( ( X G Y ) `  R ) ( ( F `  X ) (Inv `  D )
( F `  Y
) ) ( ( Y G X ) `
 f ) ) )
5852, 57mpbird 225 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( X G Y ) `  R
)  e.  ( ( F `  X ) J ( F `  Y ) ) )  /\  f  e.  ( Y H X ) )  /\  ( ( ( F `  X
) (Inv `  D
) ( F `  Y ) ) `  ( ( X G Y ) `  R
) )  =  ( ( Y G X ) `  f ) )  ->  R ( X (Inv `  C ) Y ) f )
591, 37, 39, 40, 41, 2, 58inviso1 13996 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( X G Y ) `  R
)  e.  ( ( F `  X ) J ( F `  Y ) ) )  /\  f  e.  ( Y H X ) )  /\  ( ( ( F `  X
) (Inv `  D
) ( F `  Y ) ) `  ( ( X G Y ) `  R
) )  =  ( ( Y G X ) `  f ) )  ->  R  e.  ( X I Y ) )
6059ex 425 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  (
( X G Y ) `  R )  e.  ( ( F `
 X ) J ( F `  Y
) ) )  /\  f  e.  ( Y H X ) )  -> 
( ( ( ( F `  X ) (Inv `  D )
( F `  Y
) ) `  (
( X G Y ) `  R ) )  =  ( ( Y G X ) `
 f )  ->  R  e.  ( X I Y ) ) )
6160rexlimdva 2832 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( ( X G Y ) `  R )  e.  ( ( F `  X
) J ( F `
 Y ) ) )  ->  ( E. f  e.  ( Y H X ) ( ( ( F `  X
) (Inv `  D
) ( F `  Y ) ) `  ( ( X G Y ) `  R
) )  =  ( ( Y G X ) `  f )  ->  R  e.  ( X I Y ) ) )
6236, 61mpd 15 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( ( X G Y ) `  R )  e.  ( ( F `  X
) J ( F `
 Y ) ) )  ->  R  e.  ( X I Y ) )
6314, 62impbida 807 1  |-  ( ph  ->  ( R  e.  ( X I Y )  <-> 
( ( X G Y ) `  R
)  e.  ( ( F `  X ) J ( F `  Y ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726   E.wrex 2708    C_ wss 3322   <.cop 3819   class class class wbr 4215   dom cdm 4881   Fun wfun 5451   ` cfv 5457  (class class class)co 6084   Basecbs 13474    Hom chom 13545   Catccat 13894  Invcinv 13976    Iso ciso 13977    Func cfunc 14056   Full cful 14104   Faith cfth 14105
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4323  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-id 4501  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-riota 6552  df-map 7023  df-ixp 7067  df-cat 13898  df-cid 13899  df-sect 13978  df-inv 13979  df-iso 13980  df-func 14060  df-full 14106  df-fth 14107
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