MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ffthoppc Unicode version

Theorem ffthoppc 13814
Description: The opposite functor of a fully faithful functor is also full and faithful. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
fulloppc.o  |-  O  =  (oppCat `  C )
fulloppc.p  |-  P  =  (oppCat `  D )
ffthoppc.f  |-  ( ph  ->  F ( ( C Full 
D )  i^i  ( C Faith  D ) ) G )
Assertion
Ref Expression
ffthoppc  |-  ( ph  ->  F ( ( O Full 
P )  i^i  ( O Faith  P ) )tpos  G
)

Proof of Theorem ffthoppc
StepHypRef Expression
1 fulloppc.o . . 3  |-  O  =  (oppCat `  C )
2 fulloppc.p . . 3  |-  P  =  (oppCat `  D )
3 ffthoppc.f . . . . 5  |-  ( ph  ->  F ( ( C Full 
D )  i^i  ( C Faith  D ) ) G )
4 brin 4086 . . . . 5  |-  ( F ( ( C Full  D
)  i^i  ( C Faith  D ) ) G  <->  ( F
( C Full  D ) G  /\  F ( C Faith 
D ) G ) )
53, 4sylib 188 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( F ( C Full 
D ) G  /\  F ( C Faith  D
) G ) )
65simpld 445 . . 3  |-  ( ph  ->  F ( C Full  D
) G )
71, 2, 6fulloppc 13812 . 2  |-  ( ph  ->  F ( O Full  P
)tpos  G )
85simprd 449 . . 3  |-  ( ph  ->  F ( C Faith  D
) G )
91, 2, 8fthoppc 13813 . 2  |-  ( ph  ->  F ( O Faith  P
)tpos  G )
10 brin 4086 . 2  |-  ( F ( ( O Full  P
)  i^i  ( O Faith  P ) )tpos  G  <->  ( F
( O Full  P )tpos  G  /\  F ( O Faith 
P )tpos  G ) )
117, 9, 10sylanbrc 645 1  |-  ( ph  ->  F ( ( O Full 
P )  i^i  ( O Faith  P ) )tpos  G
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1632    i^i cin 3164   class class class wbr 4039   ` cfv 5271  (class class class)co 5874  tpos ctpos 6249  oppCatcoppc 13630   Full cful 13792   Faith cfth 13793
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-tpos 6250  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-er 6676  df-map 6790  df-ixp 6834  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-4 9822  df-5 9823  df-6 9824  df-7 9825  df-8 9826  df-9 9827  df-10 9828  df-n0 9982  df-z 10041  df-dec 10141  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-sets 13170  df-hom 13248  df-cco 13249  df-cat 13586  df-cid 13587  df-oppc 13631  df-func 13748  df-full 13794  df-fth 13795
  Copyright terms: Public domain W3C validator