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Theorem fgcfil 18697
Description: The Cauchy filter condition for a filter base. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Oct-2015.)
Assertion
Ref Expression
fgcfil  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  B  e.  (
fBas `  X )
)  ->  ( ( X filGen B )  e.  (CauFil `  D )  <->  A. x  e.  RR+  E. y  e.  B  A. z  e.  y  A. w  e.  y  ( z D w )  < 
x ) )
Distinct variable groups:    x, w, y, z, B    w, X, x, y, z    w, D, x, y, z

Proof of Theorem fgcfil
Dummy variable  u is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cfili 18694 . . . . . 6  |-  ( ( ( X filGen B )  e.  (CauFil `  D
)  /\  x  e.  RR+ )  ->  E. u  e.  ( X filGen B ) A. z  e.  u  A. w  e.  u  ( z D w )  <  x )
21adantll 694 . . . . 5  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  B  e.  ( fBas `  X )
)  /\  ( X filGen B )  e.  (CauFil `  D ) )  /\  x  e.  RR+ )  ->  E. u  e.  ( X filGen B ) A. z  e.  u  A. w  e.  u  (
z D w )  <  x )
3 simpllr 735 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  B  e.  ( fBas `  X )
)  /\  ( X filGen B )  e.  (CauFil `  D ) )  /\  x  e.  RR+ )  ->  B  e.  ( fBas `  X ) )
4 elfg 17566 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  ( fBas `  X
)  ->  ( u  e.  ( X filGen B )  <-> 
( u  C_  X  /\  E. y  e.  B  y  C_  u ) ) )
53, 4syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  B  e.  ( fBas `  X )
)  /\  ( X filGen B )  e.  (CauFil `  D ) )  /\  x  e.  RR+ )  -> 
( u  e.  ( X filGen B )  <->  ( u  C_  X  /\  E. y  e.  B  y  C_  u ) ) )
6 ssralv 3237 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y 
C_  u  ->  ( A. w  e.  u  ( z D w )  <  x  ->  A. w  e.  y 
( z D w )  <  x ) )
76ralimdv 2622 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y 
C_  u  ->  ( A. z  e.  u  A. w  e.  u  ( z D w )  <  x  ->  A. z  e.  u  A. w  e.  y 
( z D w )  <  x ) )
8 ssralv 3237 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y 
C_  u  ->  ( A. z  e.  u  A. w  e.  y 
( z D w )  <  x  ->  A. z  e.  y  A. w  e.  y 
( z D w )  <  x ) )
97, 8syld 40 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y 
C_  u  ->  ( A. z  e.  u  A. w  e.  u  ( z D w )  <  x  ->  A. z  e.  y  A. w  e.  y 
( z D w )  <  x ) )
109com12 27 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. z  e.  u  A. w  e.  u  (
z D w )  <  x  ->  (
y  C_  u  ->  A. z  e.  y  A. w  e.  y  (
z D w )  <  x ) )
1110reximdv 2654 . . . . . . . . 9  |-  ( A. z  e.  u  A. w  e.  u  (
z D w )  <  x  ->  ( E. y  e.  B  y  C_  u  ->  E. y  e.  B  A. z  e.  y  A. w  e.  y  ( z D w )  < 
x ) )
1211com12 27 . . . . . . . 8  |-  ( E. y  e.  B  y 
C_  u  ->  ( A. z  e.  u  A. w  e.  u  ( z D w )  <  x  ->  E. y  e.  B  A. z  e.  y  A. w  e.  y 
( z D w )  <  x ) )
1312adantl 452 . . . . . . 7  |-  ( ( u  C_  X  /\  E. y  e.  B  y 
C_  u )  -> 
( A. z  e.  u  A. w  e.  u  ( z D w )  <  x  ->  E. y  e.  B  A. z  e.  y  A. w  e.  y 
( z D w )  <  x ) )
145, 13syl6bi 219 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  B  e.  ( fBas `  X )
)  /\  ( X filGen B )  e.  (CauFil `  D ) )  /\  x  e.  RR+ )  -> 
( u  e.  ( X filGen B )  -> 
( A. z  e.  u  A. w  e.  u  ( z D w )  <  x  ->  E. y  e.  B  A. z  e.  y  A. w  e.  y 
( z D w )  <  x ) ) )
1514rexlimdv 2666 . . . . 5  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  B  e.  ( fBas `  X )
)  /\  ( X filGen B )  e.  (CauFil `  D ) )  /\  x  e.  RR+ )  -> 
( E. u  e.  ( X filGen B ) A. z  e.  u  A. w  e.  u  ( z D w )  <  x  ->  E. y  e.  B  A. z  e.  y  A. w  e.  y 
( z D w )  <  x ) )
162, 15mpd 14 . . . 4  |-  ( ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  B  e.  ( fBas `  X )
)  /\  ( X filGen B )  e.  (CauFil `  D ) )  /\  x  e.  RR+ )  ->  E. y  e.  B  A. z  e.  y  A. w  e.  y 
( z D w )  <  x )
1716ralrimiva 2626 . . 3  |-  ( ( ( D  e.  ( * Met `  X
)  /\  B  e.  ( fBas `  X )
)  /\  ( X filGen B )  e.  (CauFil `  D ) )  ->  A. x  e.  RR+  E. y  e.  B  A. z  e.  y  A. w  e.  y  ( z D w )  < 
x )
1817ex 423 . 2  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  B  e.  (
fBas `  X )
)  ->  ( ( X filGen B )  e.  (CauFil `  D )  ->  A. x  e.  RR+  E. y  e.  B  A. z  e.  y  A. w  e.  y  (
z D w )  <  x ) )
19 ssfg 17567 . . . . . 6  |-  ( B  e.  ( fBas `  X
)  ->  B  C_  ( X filGen B ) )
2019adantl 452 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  B  e.  (
fBas `  X )
)  ->  B  C_  ( X filGen B ) )
21 ssrexv 3238 . . . . . 6  |-  ( B 
C_  ( X filGen B )  ->  ( E. y  e.  B  A. z  e.  y  A. w  e.  y  (
z D w )  <  x  ->  E. y  e.  ( X filGen B ) A. z  e.  y 
A. w  e.  y  ( z D w )  <  x ) )
2221ralimdv 2622 . . . . 5  |-  ( B 
C_  ( X filGen B )  ->  ( A. x  e.  RR+  E. y  e.  B  A. z  e.  y  A. w  e.  y  ( z D w )  < 
x  ->  A. x  e.  RR+  E. y  e.  ( X filGen B ) A. z  e.  y 
A. w  e.  y  ( z D w )  <  x ) )
2320, 22syl 15 . . . 4  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  B  e.  (
fBas `  X )
)  ->  ( A. x  e.  RR+  E. y  e.  B  A. z  e.  y  A. w  e.  y  ( z D w )  < 
x  ->  A. x  e.  RR+  E. y  e.  ( X filGen B ) A. z  e.  y 
A. w  e.  y  ( z D w )  <  x ) )
24 fgcl 17573 . . . . 5  |-  ( B  e.  ( fBas `  X
)  ->  ( X filGen B )  e.  ( Fil `  X ) )
2524adantl 452 . . . 4  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  B  e.  (
fBas `  X )
)  ->  ( X filGen B )  e.  ( Fil `  X ) )
2623, 25jctild 527 . . 3  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  B  e.  (
fBas `  X )
)  ->  ( A. x  e.  RR+  E. y  e.  B  A. z  e.  y  A. w  e.  y  ( z D w )  < 
x  ->  ( ( X filGen B )  e.  ( Fil `  X
)  /\  A. x  e.  RR+  E. y  e.  ( X filGen B ) A. z  e.  y 
A. w  e.  y  ( z D w )  <  x ) ) )
27 iscfil2 18692 . . . 4  |-  ( D  e.  ( * Met `  X )  ->  (
( X filGen B )  e.  (CauFil `  D
)  <->  ( ( X
filGen B )  e.  ( Fil `  X )  /\  A. x  e.  RR+  E. y  e.  ( X filGen B ) A. z  e.  y  A. w  e.  y  (
z D w )  <  x ) ) )
2827adantr 451 . . 3  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  B  e.  (
fBas `  X )
)  ->  ( ( X filGen B )  e.  (CauFil `  D )  <->  ( ( X filGen B )  e.  ( Fil `  X
)  /\  A. x  e.  RR+  E. y  e.  ( X filGen B ) A. z  e.  y 
A. w  e.  y  ( z D w )  <  x ) ) )
2926, 28sylibrd 225 . 2  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  B  e.  (
fBas `  X )
)  ->  ( A. x  e.  RR+  E. y  e.  B  A. z  e.  y  A. w  e.  y  ( z D w )  < 
x  ->  ( X filGen B )  e.  (CauFil `  D ) ) )
3018, 29impbid 183 1  |-  ( ( D  e.  ( * Met `  X )  /\  B  e.  (
fBas `  X )
)  ->  ( ( X filGen B )  e.  (CauFil `  D )  <->  A. x  e.  RR+  E. y  e.  B  A. z  e.  y  A. w  e.  y  ( z D w )  < 
x ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    e. wcel 1684   A.wral 2543   E.wrex 2544    C_ wss 3152   class class class wbr 4023   ` cfv 5255  (class class class)co 5858    < clt 8867   RR+crp 10354   * Metcxmt 16369   fBascfbas 17518   filGencfg 17519   Filcfil 17540  CauFilccfil 18678
This theorem is referenced by:  fmcfil  18698  cfilresi  18721  minveclem3  18793
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-er 6660  df-map 6774  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-2 9804  df-rp 10355  df-xneg 10452  df-xadd 10453  df-xmul 10454  df-ico 10662  df-xmet 16373  df-fbas 17520  df-fg 17521  df-fil 17541  df-cfil 18681
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