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Theorem fgcl 17573
Description: A generated filter is a filter. (Contributed by Jeff Hankins, 3-Sep-2009.) (Revised by Stefan O'Rear, 2-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
fgcl  |-  ( F  e.  ( fBas `  X
)  ->  ( X filGen F )  e.  ( Fil `  X ) )

Proof of Theorem fgcl
Dummy variables  v  u  w  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elfg 17566 . 2  |-  ( F  e.  ( fBas `  X
)  ->  ( z  e.  ( X filGen F )  <-> 
( z  C_  X  /\  E. y  e.  F  y  C_  z ) ) )
2 elfvex 5555 . 2  |-  ( F  e.  ( fBas `  X
)  ->  X  e.  _V )
3 fbasne0 17525 . . . . . 6  |-  ( F  e.  ( fBas `  X
)  ->  F  =/=  (/) )
4 n0 3464 . . . . . 6  |-  ( F  =/=  (/)  <->  E. y  y  e.  F )
53, 4sylib 188 . . . . 5  |-  ( F  e.  ( fBas `  X
)  ->  E. y 
y  e.  F )
6 fbelss 17528 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  X )  /\  y  e.  F )  ->  y  C_  X )
76ex 423 . . . . . . 7  |-  ( F  e.  ( fBas `  X
)  ->  ( y  e.  F  ->  y  C_  X ) )
87ancld 536 . . . . . 6  |-  ( F  e.  ( fBas `  X
)  ->  ( y  e.  F  ->  ( y  e.  F  /\  y  C_  X ) ) )
98eximdv 1608 . . . . 5  |-  ( F  e.  ( fBas `  X
)  ->  ( E. y  y  e.  F  ->  E. y ( y  e.  F  /\  y  C_  X ) ) )
105, 9mpd 14 . . . 4  |-  ( F  e.  ( fBas `  X
)  ->  E. y
( y  e.  F  /\  y  C_  X ) )
11 df-rex 2549 . . . 4  |-  ( E. y  e.  F  y 
C_  X  <->  E. y
( y  e.  F  /\  y  C_  X ) )
1210, 11sylibr 203 . . 3  |-  ( F  e.  ( fBas `  X
)  ->  E. y  e.  F  y  C_  X )
13 elfvdm 5554 . . . 4  |-  ( F  e.  ( fBas `  X
)  ->  X  e.  dom  fBas )
14 sseq2 3200 . . . . . 6  |-  ( z  =  X  ->  (
y  C_  z  <->  y  C_  X ) )
1514rexbidv 2564 . . . . 5  |-  ( z  =  X  ->  ( E. y  e.  F  y  C_  z  <->  E. y  e.  F  y  C_  X ) )
1615sbcieg 3023 . . . 4  |-  ( X  e.  dom  fBas  ->  (
[. X  /  z ]. E. y  e.  F  y  C_  z  <->  E. y  e.  F  y  C_  X ) )
1713, 16syl 15 . . 3  |-  ( F  e.  ( fBas `  X
)  ->  ( [. X  /  z ]. E. y  e.  F  y  C_  z  <->  E. y  e.  F  y  C_  X ) )
1812, 17mpbird 223 . 2  |-  ( F  e.  ( fBas `  X
)  ->  [. X  / 
z ]. E. y  e.  F  y  C_  z
)
19 0nelfb 17526 . . 3  |-  ( F  e.  ( fBas `  X
)  ->  -.  (/)  e.  F
)
20 0ex 4150 . . . . 5  |-  (/)  e.  _V
21 sseq2 3200 . . . . . 6  |-  ( z  =  (/)  ->  ( y 
C_  z  <->  y  C_  (/) ) )
2221rexbidv 2564 . . . . 5  |-  ( z  =  (/)  ->  ( E. y  e.  F  y 
C_  z  <->  E. y  e.  F  y  C_  (/) ) )
2320, 22sbcie 3025 . . . 4  |-  ( [. (/)  /  z ]. E. y  e.  F  y  C_  z  <->  E. y  e.  F  y  C_  (/) )
24 ss0 3485 . . . . . . 7  |-  ( y 
C_  (/)  ->  y  =  (/) )
2524eleq1d 2349 . . . . . 6  |-  ( y 
C_  (/)  ->  ( y  e.  F  <->  (/)  e.  F ) )
2625biimpac 472 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  F  /\  y  C_  (/) )  ->  (/)  e.  F
)
2726rexlimiva 2662 . . . 4  |-  ( E. y  e.  F  y 
C_  (/)  ->  (/)  e.  F
)
2823, 27sylbi 187 . . 3  |-  ( [. (/)  /  z ]. E. y  e.  F  y  C_  z  ->  (/)  e.  F
)
2919, 28nsyl 113 . 2  |-  ( F  e.  ( fBas `  X
)  ->  -.  [. (/)  /  z ]. E. y  e.  F  y  C_  z )
30 sstr 3187 . . . . . 6  |-  ( ( y  C_  v  /\  v  C_  u )  -> 
y  C_  u )
3130expcom 424 . . . . 5  |-  ( v 
C_  u  ->  (
y  C_  v  ->  y 
C_  u ) )
3231reximdv 2654 . . . 4  |-  ( v 
C_  u  ->  ( E. y  e.  F  y  C_  v  ->  E. y  e.  F  y  C_  u ) )
33323ad2ant3 978 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  X )  /\  u  C_  X  /\  v  C_  u )  ->  ( E. y  e.  F  y  C_  v  ->  E. y  e.  F  y  C_  u ) )
34 vex 2791 . . . 4  |-  v  e. 
_V
35 sseq2 3200 . . . . 5  |-  ( z  =  v  ->  (
y  C_  z  <->  y  C_  v ) )
3635rexbidv 2564 . . . 4  |-  ( z  =  v  ->  ( E. y  e.  F  y  C_  z  <->  E. y  e.  F  y  C_  v ) )
3734, 36sbcie 3025 . . 3  |-  ( [. v  /  z ]. E. y  e.  F  y  C_  z  <->  E. y  e.  F  y  C_  v )
38 vex 2791 . . . 4  |-  u  e. 
_V
39 sseq2 3200 . . . . 5  |-  ( z  =  u  ->  (
y  C_  z  <->  y  C_  u ) )
4039rexbidv 2564 . . . 4  |-  ( z  =  u  ->  ( E. y  e.  F  y  C_  z  <->  E. y  e.  F  y  C_  u ) )
4138, 40sbcie 3025 . . 3  |-  ( [. u  /  z ]. E. y  e.  F  y  C_  z  <->  E. y  e.  F  y  C_  u )
4233, 37, 413imtr4g 261 . 2  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  X )  /\  u  C_  X  /\  v  C_  u )  ->  ( [. v  /  z ]. E. y  e.  F  y  C_  z  ->  [. u  /  z ]. E. y  e.  F  y  C_  z ) )
43 fbasssin 17531 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  X )  /\  z  e.  F  /\  w  e.  F )  ->  E. y  e.  F  y  C_  ( z  i^i  w
) )
44433expib 1154 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F  e.  ( fBas `  X
)  ->  ( (
z  e.  F  /\  w  e.  F )  ->  E. y  e.  F  y  C_  ( z  i^i  w ) ) )
45 ss2in 3396 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( z  C_  u  /\  w  C_  v )  -> 
( z  i^i  w
)  C_  ( u  i^i  v ) )
46 sstr2 3186 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y 
C_  ( z  i^i  w )  ->  (
( z  i^i  w
)  C_  ( u  i^i  v )  ->  y  C_  ( u  i^i  v
) ) )
4746com12 27 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( z  i^i  w ) 
C_  ( u  i^i  v )  ->  (
y  C_  ( z  i^i  w )  ->  y  C_  ( u  i^i  v
) ) )
4847reximdv 2654 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( z  i^i  w ) 
C_  ( u  i^i  v )  ->  ( E. y  e.  F  y  C_  ( z  i^i  w )  ->  E. y  e.  F  y  C_  ( u  i^i  v
) ) )
4945, 48syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( z  C_  u  /\  w  C_  v )  -> 
( E. y  e.  F  y  C_  (
z  i^i  w )  ->  E. y  e.  F  y  C_  ( u  i^i  v ) ) )
5049com12 27 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E. y  e.  F  y 
C_  ( z  i^i  w )  ->  (
( z  C_  u  /\  w  C_  v )  ->  E. y  e.  F  y  C_  ( u  i^i  v ) ) )
5144, 50syl6 29 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F  e.  ( fBas `  X
)  ->  ( (
z  e.  F  /\  w  e.  F )  ->  ( ( z  C_  u  /\  w  C_  v
)  ->  E. y  e.  F  y  C_  ( u  i^i  v
) ) ) )
5251exp5c 599 . . . . . . . . . 10  |-  ( F  e.  ( fBas `  X
)  ->  ( z  e.  F  ->  ( w  e.  F  ->  (
z  C_  u  ->  ( w  C_  v  ->  E. y  e.  F  y 
C_  ( u  i^i  v ) ) ) ) ) )
5352imp31 421 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F  e.  (
fBas `  X )  /\  z  e.  F
)  /\  w  e.  F )  ->  (
z  C_  u  ->  ( w  C_  v  ->  E. y  e.  F  y 
C_  ( u  i^i  v ) ) ) )
5453impancom 427 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F  e.  (
fBas `  X )  /\  z  e.  F
)  /\  z  C_  u )  ->  (
w  e.  F  -> 
( w  C_  v  ->  E. y  e.  F  y  C_  ( u  i^i  v ) ) ) )
5554rexlimdv 2666 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F  e.  (
fBas `  X )  /\  z  e.  F
)  /\  z  C_  u )  ->  ( E. w  e.  F  w  C_  v  ->  E. y  e.  F  y  C_  ( u  i^i  v
) ) )
5655ex 423 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  X )  /\  z  e.  F )  ->  (
z  C_  u  ->  ( E. w  e.  F  w  C_  v  ->  E. y  e.  F  y  C_  ( u  i^i  v
) ) ) )
5756rexlimdva 2667 . . . . 5  |-  ( F  e.  ( fBas `  X
)  ->  ( E. z  e.  F  z  C_  u  ->  ( E. w  e.  F  w  C_  v  ->  E. y  e.  F  y  C_  ( u  i^i  v
) ) ) )
5857imp3a 420 . . . 4  |-  ( F  e.  ( fBas `  X
)  ->  ( ( E. z  e.  F  z  C_  u  /\  E. w  e.  F  w  C_  v )  ->  E. y  e.  F  y  C_  ( u  i^i  v
) ) )
59583ad2ant1 976 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  X )  /\  u  C_  X  /\  v  C_  X )  ->  (
( E. z  e.  F  z  C_  u  /\  E. w  e.  F  w  C_  v )  ->  E. y  e.  F  y  C_  ( u  i^i  v ) ) )
60 sseq1 3199 . . . . . 6  |-  ( y  =  z  ->  (
y  C_  u  <->  z  C_  u ) )
6160cbvrexv 2765 . . . . 5  |-  ( E. y  e.  F  y 
C_  u  <->  E. z  e.  F  z  C_  u )
6241, 61bitri 240 . . . 4  |-  ( [. u  /  z ]. E. y  e.  F  y  C_  z  <->  E. z  e.  F  z  C_  u )
63 sseq1 3199 . . . . . 6  |-  ( y  =  w  ->  (
y  C_  v  <->  w  C_  v
) )
6463cbvrexv 2765 . . . . 5  |-  ( E. y  e.  F  y 
C_  v  <->  E. w  e.  F  w  C_  v
)
6537, 64bitri 240 . . . 4  |-  ( [. v  /  z ]. E. y  e.  F  y  C_  z  <->  E. w  e.  F  w  C_  v )
6662, 65anbi12i 678 . . 3  |-  ( (
[. u  /  z ]. E. y  e.  F  y  C_  z  /\  [. v  /  z ]. E. y  e.  F  y  C_  z )  <->  ( E. z  e.  F  z  C_  u  /\  E. w  e.  F  w  C_  v
) )
6738inex1 4155 . . . 4  |-  ( u  i^i  v )  e. 
_V
68 sseq2 3200 . . . . 5  |-  ( z  =  ( u  i^i  v )  ->  (
y  C_  z  <->  y  C_  ( u  i^i  v
) ) )
6968rexbidv 2564 . . . 4  |-  ( z  =  ( u  i^i  v )  ->  ( E. y  e.  F  y  C_  z  <->  E. y  e.  F  y  C_  ( u  i^i  v
) ) )
7067, 69sbcie 3025 . . 3  |-  ( [. ( u  i^i  v
)  /  z ]. E. y  e.  F  y  C_  z  <->  E. y  e.  F  y  C_  ( u  i^i  v
) )
7159, 66, 703imtr4g 261 . 2  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  X )  /\  u  C_  X  /\  v  C_  X )  ->  (
( [. u  /  z ]. E. y  e.  F  y  C_  z  /\  [. v  /  z ]. E. y  e.  F  y  C_  z )  ->  [. (
u  i^i  v )  /  z ]. E. y  e.  F  y  C_  z ) )
721, 2, 18, 29, 42, 71isfild 17553 1  |-  ( F  e.  ( fBas `  X
)  ->  ( X filGen F )  e.  ( Fil `  X ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934   E.wex 1528    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   E.wrex 2544   [.wsbc 2991    i^i cin 3151    C_ wss 3152   (/)c0 3455   dom cdm 4689   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   fBascfbas 17518   filGencfg 17519   Filcfil 17540
This theorem is referenced by:  fgabs  17574  trfg  17586  isufil2  17603  ssufl  17613  ufileu  17614  filufint  17615  fixufil  17617  uffixfr  17618  fmfil  17639  fmfg  17644  elfm3  17645  rnelfm  17648  fmfnfmlem2  17650  fmfnfm  17653  fbflim  17671  hausflim  17676  flimclslem  17679  flffbas  17690  fclsbas  17716  fclsfnflim  17722  flimfnfcls  17723  fclscmp  17725  haustsms  17818  tsmscls  17820  tsmsmhm  17828  tsmsadd  17829  fgcfil  18697  cmetcaulem  18714  cmetss  18740  minveclem4a  18794  minveclem4  18796  efilcp  25552  fgsb2  25555  cnpflf4  25564
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-fbas 17520  df-fg 17521  df-fil 17541
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