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Theorem fgcl 17589
Description: A generated filter is a filter. (Contributed by Jeff Hankins, 3-Sep-2009.) (Revised by Stefan O'Rear, 2-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
fgcl  |-  ( F  e.  ( fBas `  X
)  ->  ( X filGen F )  e.  ( Fil `  X ) )

Proof of Theorem fgcl
Dummy variables  v  u  w  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elfg 17582 . 2  |-  ( F  e.  ( fBas `  X
)  ->  ( z  e.  ( X filGen F )  <-> 
( z  C_  X  /\  E. y  e.  F  y  C_  z ) ) )
2 elfvex 5571 . 2  |-  ( F  e.  ( fBas `  X
)  ->  X  e.  _V )
3 fbasne0 17541 . . . . . 6  |-  ( F  e.  ( fBas `  X
)  ->  F  =/=  (/) )
4 n0 3477 . . . . . 6  |-  ( F  =/=  (/)  <->  E. y  y  e.  F )
53, 4sylib 188 . . . . 5  |-  ( F  e.  ( fBas `  X
)  ->  E. y 
y  e.  F )
6 fbelss 17544 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  X )  /\  y  e.  F )  ->  y  C_  X )
76ex 423 . . . . . . 7  |-  ( F  e.  ( fBas `  X
)  ->  ( y  e.  F  ->  y  C_  X ) )
87ancld 536 . . . . . 6  |-  ( F  e.  ( fBas `  X
)  ->  ( y  e.  F  ->  ( y  e.  F  /\  y  C_  X ) ) )
98eximdv 1612 . . . . 5  |-  ( F  e.  ( fBas `  X
)  ->  ( E. y  y  e.  F  ->  E. y ( y  e.  F  /\  y  C_  X ) ) )
105, 9mpd 14 . . . 4  |-  ( F  e.  ( fBas `  X
)  ->  E. y
( y  e.  F  /\  y  C_  X ) )
11 df-rex 2562 . . . 4  |-  ( E. y  e.  F  y 
C_  X  <->  E. y
( y  e.  F  /\  y  C_  X ) )
1210, 11sylibr 203 . . 3  |-  ( F  e.  ( fBas `  X
)  ->  E. y  e.  F  y  C_  X )
13 elfvdm 5570 . . . 4  |-  ( F  e.  ( fBas `  X
)  ->  X  e.  dom  fBas )
14 sseq2 3213 . . . . . 6  |-  ( z  =  X  ->  (
y  C_  z  <->  y  C_  X ) )
1514rexbidv 2577 . . . . 5  |-  ( z  =  X  ->  ( E. y  e.  F  y  C_  z  <->  E. y  e.  F  y  C_  X ) )
1615sbcieg 3036 . . . 4  |-  ( X  e.  dom  fBas  ->  (
[. X  /  z ]. E. y  e.  F  y  C_  z  <->  E. y  e.  F  y  C_  X ) )
1713, 16syl 15 . . 3  |-  ( F  e.  ( fBas `  X
)  ->  ( [. X  /  z ]. E. y  e.  F  y  C_  z  <->  E. y  e.  F  y  C_  X ) )
1812, 17mpbird 223 . 2  |-  ( F  e.  ( fBas `  X
)  ->  [. X  / 
z ]. E. y  e.  F  y  C_  z
)
19 0nelfb 17542 . . 3  |-  ( F  e.  ( fBas `  X
)  ->  -.  (/)  e.  F
)
20 0ex 4166 . . . . 5  |-  (/)  e.  _V
21 sseq2 3213 . . . . . 6  |-  ( z  =  (/)  ->  ( y 
C_  z  <->  y  C_  (/) ) )
2221rexbidv 2577 . . . . 5  |-  ( z  =  (/)  ->  ( E. y  e.  F  y 
C_  z  <->  E. y  e.  F  y  C_  (/) ) )
2320, 22sbcie 3038 . . . 4  |-  ( [. (/)  /  z ]. E. y  e.  F  y  C_  z  <->  E. y  e.  F  y  C_  (/) )
24 ss0 3498 . . . . . . 7  |-  ( y 
C_  (/)  ->  y  =  (/) )
2524eleq1d 2362 . . . . . 6  |-  ( y 
C_  (/)  ->  ( y  e.  F  <->  (/)  e.  F ) )
2625biimpac 472 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  F  /\  y  C_  (/) )  ->  (/)  e.  F
)
2726rexlimiva 2675 . . . 4  |-  ( E. y  e.  F  y 
C_  (/)  ->  (/)  e.  F
)
2823, 27sylbi 187 . . 3  |-  ( [. (/)  /  z ]. E. y  e.  F  y  C_  z  ->  (/)  e.  F
)
2919, 28nsyl 113 . 2  |-  ( F  e.  ( fBas `  X
)  ->  -.  [. (/)  /  z ]. E. y  e.  F  y  C_  z )
30 sstr 3200 . . . . . 6  |-  ( ( y  C_  v  /\  v  C_  u )  -> 
y  C_  u )
3130expcom 424 . . . . 5  |-  ( v 
C_  u  ->  (
y  C_  v  ->  y 
C_  u ) )
3231reximdv 2667 . . . 4  |-  ( v 
C_  u  ->  ( E. y  e.  F  y  C_  v  ->  E. y  e.  F  y  C_  u ) )
33323ad2ant3 978 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  X )  /\  u  C_  X  /\  v  C_  u )  ->  ( E. y  e.  F  y  C_  v  ->  E. y  e.  F  y  C_  u ) )
34 vex 2804 . . . 4  |-  v  e. 
_V
35 sseq2 3213 . . . . 5  |-  ( z  =  v  ->  (
y  C_  z  <->  y  C_  v ) )
3635rexbidv 2577 . . . 4  |-  ( z  =  v  ->  ( E. y  e.  F  y  C_  z  <->  E. y  e.  F  y  C_  v ) )
3734, 36sbcie 3038 . . 3  |-  ( [. v  /  z ]. E. y  e.  F  y  C_  z  <->  E. y  e.  F  y  C_  v )
38 vex 2804 . . . 4  |-  u  e. 
_V
39 sseq2 3213 . . . . 5  |-  ( z  =  u  ->  (
y  C_  z  <->  y  C_  u ) )
4039rexbidv 2577 . . . 4  |-  ( z  =  u  ->  ( E. y  e.  F  y  C_  z  <->  E. y  e.  F  y  C_  u ) )
4138, 40sbcie 3038 . . 3  |-  ( [. u  /  z ]. E. y  e.  F  y  C_  z  <->  E. y  e.  F  y  C_  u )
4233, 37, 413imtr4g 261 . 2  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  X )  /\  u  C_  X  /\  v  C_  u )  ->  ( [. v  /  z ]. E. y  e.  F  y  C_  z  ->  [. u  /  z ]. E. y  e.  F  y  C_  z ) )
43 fbasssin 17547 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  X )  /\  z  e.  F  /\  w  e.  F )  ->  E. y  e.  F  y  C_  ( z  i^i  w
) )
44433expib 1154 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F  e.  ( fBas `  X
)  ->  ( (
z  e.  F  /\  w  e.  F )  ->  E. y  e.  F  y  C_  ( z  i^i  w ) ) )
45 ss2in 3409 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( z  C_  u  /\  w  C_  v )  -> 
( z  i^i  w
)  C_  ( u  i^i  v ) )
46 sstr2 3199 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y 
C_  ( z  i^i  w )  ->  (
( z  i^i  w
)  C_  ( u  i^i  v )  ->  y  C_  ( u  i^i  v
) ) )
4746com12 27 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( z  i^i  w ) 
C_  ( u  i^i  v )  ->  (
y  C_  ( z  i^i  w )  ->  y  C_  ( u  i^i  v
) ) )
4847reximdv 2667 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( z  i^i  w ) 
C_  ( u  i^i  v )  ->  ( E. y  e.  F  y  C_  ( z  i^i  w )  ->  E. y  e.  F  y  C_  ( u  i^i  v
) ) )
4945, 48syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( z  C_  u  /\  w  C_  v )  -> 
( E. y  e.  F  y  C_  (
z  i^i  w )  ->  E. y  e.  F  y  C_  ( u  i^i  v ) ) )
5049com12 27 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E. y  e.  F  y 
C_  ( z  i^i  w )  ->  (
( z  C_  u  /\  w  C_  v )  ->  E. y  e.  F  y  C_  ( u  i^i  v ) ) )
5144, 50syl6 29 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F  e.  ( fBas `  X
)  ->  ( (
z  e.  F  /\  w  e.  F )  ->  ( ( z  C_  u  /\  w  C_  v
)  ->  E. y  e.  F  y  C_  ( u  i^i  v
) ) ) )
5251exp5c 599 . . . . . . . . . 10  |-  ( F  e.  ( fBas `  X
)  ->  ( z  e.  F  ->  ( w  e.  F  ->  (
z  C_  u  ->  ( w  C_  v  ->  E. y  e.  F  y 
C_  ( u  i^i  v ) ) ) ) ) )
5352imp31 421 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F  e.  (
fBas `  X )  /\  z  e.  F
)  /\  w  e.  F )  ->  (
z  C_  u  ->  ( w  C_  v  ->  E. y  e.  F  y 
C_  ( u  i^i  v ) ) ) )
5453impancom 427 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F  e.  (
fBas `  X )  /\  z  e.  F
)  /\  z  C_  u )  ->  (
w  e.  F  -> 
( w  C_  v  ->  E. y  e.  F  y  C_  ( u  i^i  v ) ) ) )
5554rexlimdv 2679 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F  e.  (
fBas `  X )  /\  z  e.  F
)  /\  z  C_  u )  ->  ( E. w  e.  F  w  C_  v  ->  E. y  e.  F  y  C_  ( u  i^i  v
) ) )
5655ex 423 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  X )  /\  z  e.  F )  ->  (
z  C_  u  ->  ( E. w  e.  F  w  C_  v  ->  E. y  e.  F  y  C_  ( u  i^i  v
) ) ) )
5756rexlimdva 2680 . . . . 5  |-  ( F  e.  ( fBas `  X
)  ->  ( E. z  e.  F  z  C_  u  ->  ( E. w  e.  F  w  C_  v  ->  E. y  e.  F  y  C_  ( u  i^i  v
) ) ) )
5857imp3a 420 . . . 4  |-  ( F  e.  ( fBas `  X
)  ->  ( ( E. z  e.  F  z  C_  u  /\  E. w  e.  F  w  C_  v )  ->  E. y  e.  F  y  C_  ( u  i^i  v
) ) )
59583ad2ant1 976 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  X )  /\  u  C_  X  /\  v  C_  X )  ->  (
( E. z  e.  F  z  C_  u  /\  E. w  e.  F  w  C_  v )  ->  E. y  e.  F  y  C_  ( u  i^i  v ) ) )
60 sseq1 3212 . . . . . 6  |-  ( y  =  z  ->  (
y  C_  u  <->  z  C_  u ) )
6160cbvrexv 2778 . . . . 5  |-  ( E. y  e.  F  y 
C_  u  <->  E. z  e.  F  z  C_  u )
6241, 61bitri 240 . . . 4  |-  ( [. u  /  z ]. E. y  e.  F  y  C_  z  <->  E. z  e.  F  z  C_  u )
63 sseq1 3212 . . . . . 6  |-  ( y  =  w  ->  (
y  C_  v  <->  w  C_  v
) )
6463cbvrexv 2778 . . . . 5  |-  ( E. y  e.  F  y 
C_  v  <->  E. w  e.  F  w  C_  v
)
6537, 64bitri 240 . . . 4  |-  ( [. v  /  z ]. E. y  e.  F  y  C_  z  <->  E. w  e.  F  w  C_  v )
6662, 65anbi12i 678 . . 3  |-  ( (
[. u  /  z ]. E. y  e.  F  y  C_  z  /\  [. v  /  z ]. E. y  e.  F  y  C_  z )  <->  ( E. z  e.  F  z  C_  u  /\  E. w  e.  F  w  C_  v
) )
6738inex1 4171 . . . 4  |-  ( u  i^i  v )  e. 
_V
68 sseq2 3213 . . . . 5  |-  ( z  =  ( u  i^i  v )  ->  (
y  C_  z  <->  y  C_  ( u  i^i  v
) ) )
6968rexbidv 2577 . . . 4  |-  ( z  =  ( u  i^i  v )  ->  ( E. y  e.  F  y  C_  z  <->  E. y  e.  F  y  C_  ( u  i^i  v
) ) )
7067, 69sbcie 3038 . . 3  |-  ( [. ( u  i^i  v
)  /  z ]. E. y  e.  F  y  C_  z  <->  E. y  e.  F  y  C_  ( u  i^i  v
) )
7159, 66, 703imtr4g 261 . 2  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  X )  /\  u  C_  X  /\  v  C_  X )  ->  (
( [. u  /  z ]. E. y  e.  F  y  C_  z  /\  [. v  /  z ]. E. y  e.  F  y  C_  z )  ->  [. (
u  i^i  v )  /  z ]. E. y  e.  F  y  C_  z ) )
721, 2, 18, 29, 42, 71isfild 17569 1  |-  ( F  e.  ( fBas `  X
)  ->  ( X filGen F )  e.  ( Fil `  X ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934   E.wex 1531    = wceq 1632    e. wcel 1696    =/= wne 2459   E.wrex 2557   [.wsbc 3004    i^i cin 3164    C_ wss 3165   (/)c0 3468   dom cdm 4705   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   fBascfbas 17534   filGencfg 17535   Filcfil 17556
This theorem is referenced by:  fgabs  17590  trfg  17602  isufil2  17619  ssufl  17629  ufileu  17630  filufint  17631  fixufil  17633  uffixfr  17634  fmfil  17655  fmfg  17660  elfm3  17661  rnelfm  17664  fmfnfmlem2  17666  fmfnfm  17669  fbflim  17687  hausflim  17692  flimclslem  17695  flffbas  17706  fclsbas  17732  fclsfnflim  17738  flimfnfcls  17739  fclscmp  17741  haustsms  17834  tsmscls  17836  tsmsmhm  17844  tsmsadd  17845  fgcfil  18713  cmetcaulem  18730  cmetss  18756  minveclem4a  18810  minveclem4  18812  efilcp  25655  fgsb2  25658  cnpflf4  25667
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-fbas 17536  df-fg 17537  df-fil 17557
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