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Theorem fgcl 17910
Description: A generated filter is a filter. (Contributed by Jeff Hankins, 3-Sep-2009.) (Revised by Stefan O'Rear, 2-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
fgcl  |-  ( F  e.  ( fBas `  X
)  ->  ( X filGen F )  e.  ( Fil `  X ) )

Proof of Theorem fgcl
Dummy variables  v  u  w  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elfg 17903 . 2  |-  ( F  e.  ( fBas `  X
)  ->  ( z  e.  ( X filGen F )  <-> 
( z  C_  X  /\  E. y  e.  F  y  C_  z ) ) )
2 elfvex 5758 . 2  |-  ( F  e.  ( fBas `  X
)  ->  X  e.  _V )
3 fbasne0 17862 . . . . . 6  |-  ( F  e.  ( fBas `  X
)  ->  F  =/=  (/) )
4 n0 3637 . . . . . 6  |-  ( F  =/=  (/)  <->  E. y  y  e.  F )
53, 4sylib 189 . . . . 5  |-  ( F  e.  ( fBas `  X
)  ->  E. y 
y  e.  F )
6 fbelss 17865 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  X )  /\  y  e.  F )  ->  y  C_  X )
76ex 424 . . . . . . 7  |-  ( F  e.  ( fBas `  X
)  ->  ( y  e.  F  ->  y  C_  X ) )
87ancld 537 . . . . . 6  |-  ( F  e.  ( fBas `  X
)  ->  ( y  e.  F  ->  ( y  e.  F  /\  y  C_  X ) ) )
98eximdv 1632 . . . . 5  |-  ( F  e.  ( fBas `  X
)  ->  ( E. y  y  e.  F  ->  E. y ( y  e.  F  /\  y  C_  X ) ) )
105, 9mpd 15 . . . 4  |-  ( F  e.  ( fBas `  X
)  ->  E. y
( y  e.  F  /\  y  C_  X ) )
11 df-rex 2711 . . . 4  |-  ( E. y  e.  F  y 
C_  X  <->  E. y
( y  e.  F  /\  y  C_  X ) )
1210, 11sylibr 204 . . 3  |-  ( F  e.  ( fBas `  X
)  ->  E. y  e.  F  y  C_  X )
13 elfvdm 5757 . . . 4  |-  ( F  e.  ( fBas `  X
)  ->  X  e.  dom  fBas )
14 sseq2 3370 . . . . . 6  |-  ( z  =  X  ->  (
y  C_  z  <->  y  C_  X ) )
1514rexbidv 2726 . . . . 5  |-  ( z  =  X  ->  ( E. y  e.  F  y  C_  z  <->  E. y  e.  F  y  C_  X ) )
1615sbcieg 3193 . . . 4  |-  ( X  e.  dom  fBas  ->  (
[. X  /  z ]. E. y  e.  F  y  C_  z  <->  E. y  e.  F  y  C_  X ) )
1713, 16syl 16 . . 3  |-  ( F  e.  ( fBas `  X
)  ->  ( [. X  /  z ]. E. y  e.  F  y  C_  z  <->  E. y  e.  F  y  C_  X ) )
1812, 17mpbird 224 . 2  |-  ( F  e.  ( fBas `  X
)  ->  [. X  / 
z ]. E. y  e.  F  y  C_  z
)
19 0nelfb 17863 . . 3  |-  ( F  e.  ( fBas `  X
)  ->  -.  (/)  e.  F
)
20 0ex 4339 . . . . 5  |-  (/)  e.  _V
21 sseq2 3370 . . . . . 6  |-  ( z  =  (/)  ->  ( y 
C_  z  <->  y  C_  (/) ) )
2221rexbidv 2726 . . . . 5  |-  ( z  =  (/)  ->  ( E. y  e.  F  y 
C_  z  <->  E. y  e.  F  y  C_  (/) ) )
2320, 22sbcie 3195 . . . 4  |-  ( [. (/)  /  z ]. E. y  e.  F  y  C_  z  <->  E. y  e.  F  y  C_  (/) )
24 ss0 3658 . . . . . . 7  |-  ( y 
C_  (/)  ->  y  =  (/) )
2524eleq1d 2502 . . . . . 6  |-  ( y 
C_  (/)  ->  ( y  e.  F  <->  (/)  e.  F ) )
2625biimpac 473 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  F  /\  y  C_  (/) )  ->  (/)  e.  F
)
2726rexlimiva 2825 . . . 4  |-  ( E. y  e.  F  y 
C_  (/)  ->  (/)  e.  F
)
2823, 27sylbi 188 . . 3  |-  ( [. (/)  /  z ]. E. y  e.  F  y  C_  z  ->  (/)  e.  F
)
2919, 28nsyl 115 . 2  |-  ( F  e.  ( fBas `  X
)  ->  -.  [. (/)  /  z ]. E. y  e.  F  y  C_  z )
30 sstr 3356 . . . . . 6  |-  ( ( y  C_  v  /\  v  C_  u )  -> 
y  C_  u )
3130expcom 425 . . . . 5  |-  ( v 
C_  u  ->  (
y  C_  v  ->  y 
C_  u ) )
3231reximdv 2817 . . . 4  |-  ( v 
C_  u  ->  ( E. y  e.  F  y  C_  v  ->  E. y  e.  F  y  C_  u ) )
33323ad2ant3 980 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  X )  /\  u  C_  X  /\  v  C_  u )  ->  ( E. y  e.  F  y  C_  v  ->  E. y  e.  F  y  C_  u ) )
34 vex 2959 . . . 4  |-  v  e. 
_V
35 sseq2 3370 . . . . 5  |-  ( z  =  v  ->  (
y  C_  z  <->  y  C_  v ) )
3635rexbidv 2726 . . . 4  |-  ( z  =  v  ->  ( E. y  e.  F  y  C_  z  <->  E. y  e.  F  y  C_  v ) )
3734, 36sbcie 3195 . . 3  |-  ( [. v  /  z ]. E. y  e.  F  y  C_  z  <->  E. y  e.  F  y  C_  v )
38 vex 2959 . . . 4  |-  u  e. 
_V
39 sseq2 3370 . . . . 5  |-  ( z  =  u  ->  (
y  C_  z  <->  y  C_  u ) )
4039rexbidv 2726 . . . 4  |-  ( z  =  u  ->  ( E. y  e.  F  y  C_  z  <->  E. y  e.  F  y  C_  u ) )
4138, 40sbcie 3195 . . 3  |-  ( [. u  /  z ]. E. y  e.  F  y  C_  z  <->  E. y  e.  F  y  C_  u )
4233, 37, 413imtr4g 262 . 2  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  X )  /\  u  C_  X  /\  v  C_  u )  ->  ( [. v  /  z ]. E. y  e.  F  y  C_  z  ->  [. u  /  z ]. E. y  e.  F  y  C_  z ) )
43 fbasssin 17868 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  X )  /\  z  e.  F  /\  w  e.  F )  ->  E. y  e.  F  y  C_  ( z  i^i  w
) )
44433expib 1156 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F  e.  ( fBas `  X
)  ->  ( (
z  e.  F  /\  w  e.  F )  ->  E. y  e.  F  y  C_  ( z  i^i  w ) ) )
45 ss2in 3568 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( z  C_  u  /\  w  C_  v )  -> 
( z  i^i  w
)  C_  ( u  i^i  v ) )
46 sstr2 3355 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y 
C_  ( z  i^i  w )  ->  (
( z  i^i  w
)  C_  ( u  i^i  v )  ->  y  C_  ( u  i^i  v
) ) )
4746com12 29 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( z  i^i  w ) 
C_  ( u  i^i  v )  ->  (
y  C_  ( z  i^i  w )  ->  y  C_  ( u  i^i  v
) ) )
4847reximdv 2817 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( z  i^i  w ) 
C_  ( u  i^i  v )  ->  ( E. y  e.  F  y  C_  ( z  i^i  w )  ->  E. y  e.  F  y  C_  ( u  i^i  v
) ) )
4945, 48syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( z  C_  u  /\  w  C_  v )  -> 
( E. y  e.  F  y  C_  (
z  i^i  w )  ->  E. y  e.  F  y  C_  ( u  i^i  v ) ) )
5049com12 29 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E. y  e.  F  y 
C_  ( z  i^i  w )  ->  (
( z  C_  u  /\  w  C_  v )  ->  E. y  e.  F  y  C_  ( u  i^i  v ) ) )
5144, 50syl6 31 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F  e.  ( fBas `  X
)  ->  ( (
z  e.  F  /\  w  e.  F )  ->  ( ( z  C_  u  /\  w  C_  v
)  ->  E. y  e.  F  y  C_  ( u  i^i  v
) ) ) )
5251exp5c 600 . . . . . . . . . 10  |-  ( F  e.  ( fBas `  X
)  ->  ( z  e.  F  ->  ( w  e.  F  ->  (
z  C_  u  ->  ( w  C_  v  ->  E. y  e.  F  y 
C_  ( u  i^i  v ) ) ) ) ) )
5352imp31 422 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F  e.  (
fBas `  X )  /\  z  e.  F
)  /\  w  e.  F )  ->  (
z  C_  u  ->  ( w  C_  v  ->  E. y  e.  F  y 
C_  ( u  i^i  v ) ) ) )
5453impancom 428 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F  e.  (
fBas `  X )  /\  z  e.  F
)  /\  z  C_  u )  ->  (
w  e.  F  -> 
( w  C_  v  ->  E. y  e.  F  y  C_  ( u  i^i  v ) ) ) )
5554rexlimdv 2829 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F  e.  (
fBas `  X )  /\  z  e.  F
)  /\  z  C_  u )  ->  ( E. w  e.  F  w  C_  v  ->  E. y  e.  F  y  C_  ( u  i^i  v
) ) )
5655ex 424 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  X )  /\  z  e.  F )  ->  (
z  C_  u  ->  ( E. w  e.  F  w  C_  v  ->  E. y  e.  F  y  C_  ( u  i^i  v
) ) ) )
5756rexlimdva 2830 . . . . 5  |-  ( F  e.  ( fBas `  X
)  ->  ( E. z  e.  F  z  C_  u  ->  ( E. w  e.  F  w  C_  v  ->  E. y  e.  F  y  C_  ( u  i^i  v
) ) ) )
5857imp3a 421 . . . 4  |-  ( F  e.  ( fBas `  X
)  ->  ( ( E. z  e.  F  z  C_  u  /\  E. w  e.  F  w  C_  v )  ->  E. y  e.  F  y  C_  ( u  i^i  v
) ) )
59583ad2ant1 978 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  X )  /\  u  C_  X  /\  v  C_  X )  ->  (
( E. z  e.  F  z  C_  u  /\  E. w  e.  F  w  C_  v )  ->  E. y  e.  F  y  C_  ( u  i^i  v ) ) )
60 sseq1 3369 . . . . . 6  |-  ( y  =  z  ->  (
y  C_  u  <->  z  C_  u ) )
6160cbvrexv 2933 . . . . 5  |-  ( E. y  e.  F  y 
C_  u  <->  E. z  e.  F  z  C_  u )
6241, 61bitri 241 . . . 4  |-  ( [. u  /  z ]. E. y  e.  F  y  C_  z  <->  E. z  e.  F  z  C_  u )
63 sseq1 3369 . . . . . 6  |-  ( y  =  w  ->  (
y  C_  v  <->  w  C_  v
) )
6463cbvrexv 2933 . . . . 5  |-  ( E. y  e.  F  y 
C_  v  <->  E. w  e.  F  w  C_  v
)
6537, 64bitri 241 . . . 4  |-  ( [. v  /  z ]. E. y  e.  F  y  C_  z  <->  E. w  e.  F  w  C_  v )
6662, 65anbi12i 679 . . 3  |-  ( (
[. u  /  z ]. E. y  e.  F  y  C_  z  /\  [. v  /  z ]. E. y  e.  F  y  C_  z )  <->  ( E. z  e.  F  z  C_  u  /\  E. w  e.  F  w  C_  v
) )
6738inex1 4344 . . . 4  |-  ( u  i^i  v )  e. 
_V
68 sseq2 3370 . . . . 5  |-  ( z  =  ( u  i^i  v )  ->  (
y  C_  z  <->  y  C_  ( u  i^i  v
) ) )
6968rexbidv 2726 . . . 4  |-  ( z  =  ( u  i^i  v )  ->  ( E. y  e.  F  y  C_  z  <->  E. y  e.  F  y  C_  ( u  i^i  v
) ) )
7067, 69sbcie 3195 . . 3  |-  ( [. ( u  i^i  v
)  /  z ]. E. y  e.  F  y  C_  z  <->  E. y  e.  F  y  C_  ( u  i^i  v
) )
7159, 66, 703imtr4g 262 . 2  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  X )  /\  u  C_  X  /\  v  C_  X )  ->  (
( [. u  /  z ]. E. y  e.  F  y  C_  z  /\  [. v  /  z ]. E. y  e.  F  y  C_  z )  ->  [. (
u  i^i  v )  /  z ]. E. y  e.  F  y  C_  z ) )
721, 2, 18, 29, 42, 71isfild 17890 1  |-  ( F  e.  ( fBas `  X
)  ->  ( X filGen F )  e.  ( Fil `  X ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936   E.wex 1550    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2599   E.wrex 2706   [.wsbc 3161    i^i cin 3319    C_ wss 3320   (/)c0 3628   dom cdm 4878   ` cfv 5454  (class class class)co 6081   fBascfbas 16689   filGencfg 16690   Filcfil 17877
This theorem is referenced by:  fgabs  17911  trfg  17923  isufil2  17940  ssufl  17950  ufileu  17951  filufint  17952  fixufil  17954  uffixfr  17955  fmfil  17976  fmfg  17981  elfm3  17982  rnelfm  17985  fmfnfmlem2  17987  fmfnfm  17990  fbflim  18008  hausflim  18013  flimclslem  18016  flffbas  18027  fclsbas  18053  fclsfnflim  18059  flimfnfcls  18060  fclscmp  18062  haustsms  18165  tsmscls  18167  tsmsmhm  18175  tsmsadd  18176  cfilufg  18323  metustOLD  18597  metust  18598  fgcfil  19224  cmetcaulem  19241  cmetss  19267  minveclem4a  19331  minveclem4  19333
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-op 3823  df-uni 4016  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-id 4498  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-fbas 16699  df-fg 16700  df-fil 17878
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