MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fgss2 Unicode version

Theorem fgss2 17827
Description: A condition for a filter to be finer than another involving their filter bases. (Contributed by Jeff Hankins, 3-Sep-2009.) (Revised by Stefan O'Rear, 2-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
fgss2  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  X )  /\  G  e.  ( fBas `  X
) )  ->  (
( X filGen F ) 
C_  ( X filGen G )  <->  A. x  e.  F  E. y  e.  G  y  C_  x ) )
Distinct variable groups:    x, y, F    x, G, y    x, X, y

Proof of Theorem fgss2
Dummy variables  u  t  v are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssfg 17825 . . . . . 6  |-  ( F  e.  ( fBas `  X
)  ->  F  C_  ( X filGen F ) )
21adantr 452 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  X )  /\  G  e.  ( fBas `  X
) )  ->  F  C_  ( X filGen F ) )
32sseld 3290 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  X )  /\  G  e.  ( fBas `  X
) )  ->  (
x  e.  F  ->  x  e.  ( X filGen F ) ) )
4 ssel2 3286 . . . . . 6  |-  ( ( ( X filGen F ) 
C_  ( X filGen G )  /\  x  e.  ( X filGen F ) )  ->  x  e.  ( X filGen G ) )
5 elfg 17824 . . . . . . . 8  |-  ( G  e.  ( fBas `  X
)  ->  ( x  e.  ( X filGen G )  <-> 
( x  C_  X  /\  E. y  e.  G  y  C_  x ) ) )
6 simpr 448 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  C_  X  /\  E. y  e.  G  y 
C_  x )  ->  E. y  e.  G  y  C_  x )
75, 6syl6bi 220 . . . . . . 7  |-  ( G  e.  ( fBas `  X
)  ->  ( x  e.  ( X filGen G )  ->  E. y  e.  G  y  C_  x ) )
87adantl 453 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  X )  /\  G  e.  ( fBas `  X
) )  ->  (
x  e.  ( X
filGen G )  ->  E. y  e.  G  y  C_  x ) )
94, 8syl5 30 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  X )  /\  G  e.  ( fBas `  X
) )  ->  (
( ( X filGen F )  C_  ( X filGen G )  /\  x  e.  ( X filGen F ) )  ->  E. y  e.  G  y  C_  x ) )
109exp3a 426 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  X )  /\  G  e.  ( fBas `  X
) )  ->  (
( X filGen F ) 
C_  ( X filGen G )  ->  ( x  e.  ( X filGen F )  ->  E. y  e.  G  y  C_  x ) ) )
113, 10syl5d 64 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  X )  /\  G  e.  ( fBas `  X
) )  ->  (
( X filGen F ) 
C_  ( X filGen G )  ->  ( x  e.  F  ->  E. y  e.  G  y  C_  x ) ) )
1211ralrimdv 2738 . 2  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  X )  /\  G  e.  ( fBas `  X
) )  ->  (
( X filGen F ) 
C_  ( X filGen G )  ->  A. x  e.  F  E. y  e.  G  y  C_  x ) )
13 sseq2 3313 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  u  ->  (
y  C_  x  <->  y  C_  u ) )
1413rexbidv 2670 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  u  ->  ( E. y  e.  G  y  C_  x  <->  E. y  e.  G  y  C_  u ) )
1514rspcv 2991 . . . . . . . . . . 11  |-  ( u  e.  F  ->  ( A. x  e.  F  E. y  e.  G  y  C_  x  ->  E. y  e.  G  y  C_  u ) )
1615adantl 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F  e.  (
fBas `  X )  /\  G  e.  ( fBas `  X ) )  /\  u  e.  F
)  ->  ( A. x  e.  F  E. y  e.  G  y  C_  x  ->  E. y  e.  G  y  C_  u ) )
17 sstr 3299 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  C_  u  /\  u  C_  t )  -> 
y  C_  t )
18 sseq1 3312 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( v  =  y  ->  (
v  C_  t  <->  y  C_  t ) )
1918rspcev 2995 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( y  e.  G  /\  y  C_  t )  ->  E. v  e.  G  v  C_  t )
2019adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( F  e.  ( fBas `  X
)  /\  G  e.  ( fBas `  X )
)  /\  u  e.  F )  /\  (
y  e.  G  /\  y  C_  t ) )  ->  E. v  e.  G  v  C_  t )
2120a1d 23 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( F  e.  ( fBas `  X
)  /\  G  e.  ( fBas `  X )
)  /\  u  e.  F )  /\  (
y  e.  G  /\  y  C_  t ) )  ->  ( t  C_  X  ->  E. v  e.  G  v  C_  t ) )
2217, 21sylanr2 635 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( F  e.  ( fBas `  X
)  /\  G  e.  ( fBas `  X )
)  /\  u  e.  F )  /\  (
y  e.  G  /\  ( y  C_  u  /\  u  C_  t ) ) )  ->  (
t  C_  X  ->  E. v  e.  G  v 
C_  t ) )
2322ancld 537 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( F  e.  ( fBas `  X
)  /\  G  e.  ( fBas `  X )
)  /\  u  e.  F )  /\  (
y  e.  G  /\  ( y  C_  u  /\  u  C_  t ) ) )  ->  (
t  C_  X  ->  ( t  C_  X  /\  E. v  e.  G  v 
C_  t ) ) )
2423exp45 598 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F  e.  (
fBas `  X )  /\  G  e.  ( fBas `  X ) )  /\  u  e.  F
)  ->  ( y  e.  G  ->  ( y 
C_  u  ->  (
u  C_  t  ->  ( t  C_  X  ->  ( t  C_  X  /\  E. v  e.  G  v 
C_  t ) ) ) ) ) )
2524rexlimdv 2772 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F  e.  (
fBas `  X )  /\  G  e.  ( fBas `  X ) )  /\  u  e.  F
)  ->  ( E. y  e.  G  y  C_  u  ->  ( u  C_  t  ->  ( t  C_  X  ->  ( t  C_  X  /\  E. v  e.  G  v  C_  t ) ) ) ) )
2616, 25syld 42 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F  e.  (
fBas `  X )  /\  G  e.  ( fBas `  X ) )  /\  u  e.  F
)  ->  ( A. x  e.  F  E. y  e.  G  y  C_  x  ->  ( u  C_  t  ->  ( t  C_  X  ->  ( t  C_  X  /\  E. v  e.  G  v  C_  t ) ) ) ) )
2726impancom 428 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F  e.  (
fBas `  X )  /\  G  e.  ( fBas `  X ) )  /\  A. x  e.  F  E. y  e.  G  y  C_  x
)  ->  ( u  e.  F  ->  ( u 
C_  t  ->  (
t  C_  X  ->  ( t  C_  X  /\  E. v  e.  G  v 
C_  t ) ) ) ) )
2827rexlimdv 2772 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F  e.  (
fBas `  X )  /\  G  e.  ( fBas `  X ) )  /\  A. x  e.  F  E. y  e.  G  y  C_  x
)  ->  ( E. u  e.  F  u  C_  t  ->  ( t  C_  X  ->  ( t  C_  X  /\  E. v  e.  G  v  C_  t ) ) ) )
2928com23 74 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e.  (
fBas `  X )  /\  G  e.  ( fBas `  X ) )  /\  A. x  e.  F  E. y  e.  G  y  C_  x
)  ->  ( t  C_  X  ->  ( E. u  e.  F  u  C_  t  ->  ( t  C_  X  /\  E. v  e.  G  v  C_  t ) ) ) )
3029imp3a 421 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e.  (
fBas `  X )  /\  G  e.  ( fBas `  X ) )  /\  A. x  e.  F  E. y  e.  G  y  C_  x
)  ->  ( (
t  C_  X  /\  E. u  e.  F  u 
C_  t )  -> 
( t  C_  X  /\  E. v  e.  G  v  C_  t ) ) )
31 elfg 17824 . . . . . . 7  |-  ( F  e.  ( fBas `  X
)  ->  ( t  e.  ( X filGen F )  <-> 
( t  C_  X  /\  E. u  e.  F  u  C_  t ) ) )
3231adantr 452 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  X )  /\  G  e.  ( fBas `  X
) )  ->  (
t  e.  ( X
filGen F )  <->  ( t  C_  X  /\  E. u  e.  F  u  C_  t
) ) )
3332adantr 452 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e.  (
fBas `  X )  /\  G  e.  ( fBas `  X ) )  /\  A. x  e.  F  E. y  e.  G  y  C_  x
)  ->  ( t  e.  ( X filGen F )  <-> 
( t  C_  X  /\  E. u  e.  F  u  C_  t ) ) )
34 elfg 17824 . . . . . . 7  |-  ( G  e.  ( fBas `  X
)  ->  ( t  e.  ( X filGen G )  <-> 
( t  C_  X  /\  E. v  e.  G  v  C_  t ) ) )
3534adantl 453 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  X )  /\  G  e.  ( fBas `  X
) )  ->  (
t  e.  ( X
filGen G )  <->  ( t  C_  X  /\  E. v  e.  G  v  C_  t ) ) )
3635adantr 452 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e.  (
fBas `  X )  /\  G  e.  ( fBas `  X ) )  /\  A. x  e.  F  E. y  e.  G  y  C_  x
)  ->  ( t  e.  ( X filGen G )  <-> 
( t  C_  X  /\  E. v  e.  G  v  C_  t ) ) )
3730, 33, 363imtr4d 260 . . . 4  |-  ( ( ( F  e.  (
fBas `  X )  /\  G  e.  ( fBas `  X ) )  /\  A. x  e.  F  E. y  e.  G  y  C_  x
)  ->  ( t  e.  ( X filGen F )  ->  t  e.  ( X filGen G ) ) )
3837ssrdv 3297 . . 3  |-  ( ( ( F  e.  (
fBas `  X )  /\  G  e.  ( fBas `  X ) )  /\  A. x  e.  F  E. y  e.  G  y  C_  x
)  ->  ( X filGen F )  C_  ( X filGen G ) )
3938ex 424 . 2  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  X )  /\  G  e.  ( fBas `  X
) )  ->  ( A. x  e.  F  E. y  e.  G  y  C_  x  ->  ( X filGen F )  C_  ( X filGen G ) ) )
4012, 39impbid 184 1  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  X )  /\  G  e.  ( fBas `  X
) )  ->  (
( X filGen F ) 
C_  ( X filGen G )  <->  A. x  e.  F  E. y  e.  G  y  C_  x ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    e. wcel 1717   A.wral 2649   E.wrex 2650    C_ wss 3263   ` cfv 5394  (class class class)co 6020   fBascfbas 16615   filGencfg 16616
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2368  ax-sep 4271  ax-nul 4279  ax-pow 4318  ax-pr 4344
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2374  df-cleq 2380  df-clel 2383  df-nfc 2512  df-ne 2552  df-nel 2553  df-ral 2654  df-rex 2655  df-rab 2658  df-v 2901  df-sbc 3105  df-csb 3195  df-dif 3266  df-un 3268  df-in 3270  df-ss 3277  df-nul 3572  df-if 3683  df-pw 3744  df-sn 3763  df-pr 3764  df-op 3766  df-uni 3958  df-br 4154  df-opab 4208  df-mpt 4209  df-id 4439  df-xp 4824  df-rel 4825  df-cnv 4826  df-co 4827  df-dm 4828  df-rn 4829  df-res 4830  df-ima 4831  df-iota 5358  df-fun 5396  df-fv 5402  df-ov 6023  df-oprab 6024  df-mpt2 6025  df-fbas 16623  df-fg 16624
  Copyright terms: Public domain W3C validator