Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fgss2 Unicode version

Theorem fgss2 17569
 Description: A condition for a filter to be finer than another involving their filter bases. (Contributed by Jeff Hankins, 3-Sep-2009.) (Revised by Stefan O'Rear, 2-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
fgss2
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,,

Proof of Theorem fgss2
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssfg 17567 . . . . . 6
21adantr 451 . . . . 5
32sseld 3179 . . . 4
4 ssel2 3175 . . . . . 6
5 elfg 17566 . . . . . . . 8
6 simpr 447 . . . . . . . 8
75, 6syl6bi 219 . . . . . . 7
87adantl 452 . . . . . 6
94, 8syl5 28 . . . . 5
109exp3a 425 . . . 4
113, 10syl5d 62 . . 3
1211ralrimdv 2632 . 2
13 sseq2 3200 . . . . . . . . . . . . 13
1413rexbidv 2564 . . . . . . . . . . . 12
1514rspcv 2880 . . . . . . . . . . 11
1615adantl 452 . . . . . . . . . 10
17 sstr 3187 . . . . . . . . . . . . . 14
18 sseq1 3199 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1918rspcev 2884 . . . . . . . . . . . . . . . 16
2019adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . 15
2120a1d 22 . . . . . . . . . . . . . 14
2217, 21sylanr2 634 . . . . . . . . . . . . 13
2322ancld 536 . . . . . . . . . . . 12
2423exp45 597 . . . . . . . . . . 11
2524rexlimdv 2666 . . . . . . . . . 10
2616, 25syld 40 . . . . . . . . 9
2726impancom 427 . . . . . . . 8
2827rexlimdv 2666 . . . . . . 7
2928com23 72 . . . . . 6
3029imp3a 420 . . . . 5
31 elfg 17566 . . . . . . 7
3231adantr 451 . . . . . 6
3332adantr 451 . . . . 5
34 elfg 17566 . . . . . . 7
3534adantl 452 . . . . . 6
3635adantr 451 . . . . 5
3730, 33, 363imtr4d 259 . . . 4
3837ssrdv 3185 . . 3
3938ex 423 . 2
4012, 39impbid 183 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 176   wa 358   wceq 1623   wcel 1684  wral 2543  wrex 2544   wss 3152  cfv 5255  (class class class)co 5858  cfbas 17518  cfg 17519 This theorem is referenced by:  fil2ss  25557 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-fbas 17520  df-fg 17521
 Copyright terms: Public domain W3C validator