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Theorem fgss2 17585
Description: A condition for a filter to be finer than another involving their filter bases. (Contributed by Jeff Hankins, 3-Sep-2009.) (Revised by Stefan O'Rear, 2-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
fgss2  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  X )  /\  G  e.  ( fBas `  X
) )  ->  (
( X filGen F ) 
C_  ( X filGen G )  <->  A. x  e.  F  E. y  e.  G  y  C_  x ) )
Distinct variable groups:    x, y, F    x, G, y    x, X, y

Proof of Theorem fgss2
Dummy variables  u  t  v are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssfg 17583 . . . . . 6  |-  ( F  e.  ( fBas `  X
)  ->  F  C_  ( X filGen F ) )
21adantr 451 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  X )  /\  G  e.  ( fBas `  X
) )  ->  F  C_  ( X filGen F ) )
32sseld 3192 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  X )  /\  G  e.  ( fBas `  X
) )  ->  (
x  e.  F  ->  x  e.  ( X filGen F ) ) )
4 ssel2 3188 . . . . . 6  |-  ( ( ( X filGen F ) 
C_  ( X filGen G )  /\  x  e.  ( X filGen F ) )  ->  x  e.  ( X filGen G ) )
5 elfg 17582 . . . . . . . 8  |-  ( G  e.  ( fBas `  X
)  ->  ( x  e.  ( X filGen G )  <-> 
( x  C_  X  /\  E. y  e.  G  y  C_  x ) ) )
6 simpr 447 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  C_  X  /\  E. y  e.  G  y 
C_  x )  ->  E. y  e.  G  y  C_  x )
75, 6syl6bi 219 . . . . . . 7  |-  ( G  e.  ( fBas `  X
)  ->  ( x  e.  ( X filGen G )  ->  E. y  e.  G  y  C_  x ) )
87adantl 452 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  X )  /\  G  e.  ( fBas `  X
) )  ->  (
x  e.  ( X
filGen G )  ->  E. y  e.  G  y  C_  x ) )
94, 8syl5 28 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  X )  /\  G  e.  ( fBas `  X
) )  ->  (
( ( X filGen F )  C_  ( X filGen G )  /\  x  e.  ( X filGen F ) )  ->  E. y  e.  G  y  C_  x ) )
109exp3a 425 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  X )  /\  G  e.  ( fBas `  X
) )  ->  (
( X filGen F ) 
C_  ( X filGen G )  ->  ( x  e.  ( X filGen F )  ->  E. y  e.  G  y  C_  x ) ) )
113, 10syl5d 62 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  X )  /\  G  e.  ( fBas `  X
) )  ->  (
( X filGen F ) 
C_  ( X filGen G )  ->  ( x  e.  F  ->  E. y  e.  G  y  C_  x ) ) )
1211ralrimdv 2645 . 2  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  X )  /\  G  e.  ( fBas `  X
) )  ->  (
( X filGen F ) 
C_  ( X filGen G )  ->  A. x  e.  F  E. y  e.  G  y  C_  x ) )
13 sseq2 3213 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  u  ->  (
y  C_  x  <->  y  C_  u ) )
1413rexbidv 2577 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  u  ->  ( E. y  e.  G  y  C_  x  <->  E. y  e.  G  y  C_  u ) )
1514rspcv 2893 . . . . . . . . . . 11  |-  ( u  e.  F  ->  ( A. x  e.  F  E. y  e.  G  y  C_  x  ->  E. y  e.  G  y  C_  u ) )
1615adantl 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F  e.  (
fBas `  X )  /\  G  e.  ( fBas `  X ) )  /\  u  e.  F
)  ->  ( A. x  e.  F  E. y  e.  G  y  C_  x  ->  E. y  e.  G  y  C_  u ) )
17 sstr 3200 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  C_  u  /\  u  C_  t )  -> 
y  C_  t )
18 sseq1 3212 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( v  =  y  ->  (
v  C_  t  <->  y  C_  t ) )
1918rspcev 2897 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( y  e.  G  /\  y  C_  t )  ->  E. v  e.  G  v  C_  t )
2019adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( F  e.  ( fBas `  X
)  /\  G  e.  ( fBas `  X )
)  /\  u  e.  F )  /\  (
y  e.  G  /\  y  C_  t ) )  ->  E. v  e.  G  v  C_  t )
2120a1d 22 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( F  e.  ( fBas `  X
)  /\  G  e.  ( fBas `  X )
)  /\  u  e.  F )  /\  (
y  e.  G  /\  y  C_  t ) )  ->  ( t  C_  X  ->  E. v  e.  G  v  C_  t ) )
2217, 21sylanr2 634 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( F  e.  ( fBas `  X
)  /\  G  e.  ( fBas `  X )
)  /\  u  e.  F )  /\  (
y  e.  G  /\  ( y  C_  u  /\  u  C_  t ) ) )  ->  (
t  C_  X  ->  E. v  e.  G  v 
C_  t ) )
2322ancld 536 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( F  e.  ( fBas `  X
)  /\  G  e.  ( fBas `  X )
)  /\  u  e.  F )  /\  (
y  e.  G  /\  ( y  C_  u  /\  u  C_  t ) ) )  ->  (
t  C_  X  ->  ( t  C_  X  /\  E. v  e.  G  v 
C_  t ) ) )
2423exp45 597 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F  e.  (
fBas `  X )  /\  G  e.  ( fBas `  X ) )  /\  u  e.  F
)  ->  ( y  e.  G  ->  ( y 
C_  u  ->  (
u  C_  t  ->  ( t  C_  X  ->  ( t  C_  X  /\  E. v  e.  G  v 
C_  t ) ) ) ) ) )
2524rexlimdv 2679 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F  e.  (
fBas `  X )  /\  G  e.  ( fBas `  X ) )  /\  u  e.  F
)  ->  ( E. y  e.  G  y  C_  u  ->  ( u  C_  t  ->  ( t  C_  X  ->  ( t  C_  X  /\  E. v  e.  G  v  C_  t ) ) ) ) )
2616, 25syld 40 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F  e.  (
fBas `  X )  /\  G  e.  ( fBas `  X ) )  /\  u  e.  F
)  ->  ( A. x  e.  F  E. y  e.  G  y  C_  x  ->  ( u  C_  t  ->  ( t  C_  X  ->  ( t  C_  X  /\  E. v  e.  G  v  C_  t ) ) ) ) )
2726impancom 427 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F  e.  (
fBas `  X )  /\  G  e.  ( fBas `  X ) )  /\  A. x  e.  F  E. y  e.  G  y  C_  x
)  ->  ( u  e.  F  ->  ( u 
C_  t  ->  (
t  C_  X  ->  ( t  C_  X  /\  E. v  e.  G  v 
C_  t ) ) ) ) )
2827rexlimdv 2679 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F  e.  (
fBas `  X )  /\  G  e.  ( fBas `  X ) )  /\  A. x  e.  F  E. y  e.  G  y  C_  x
)  ->  ( E. u  e.  F  u  C_  t  ->  ( t  C_  X  ->  ( t  C_  X  /\  E. v  e.  G  v  C_  t ) ) ) )
2928com23 72 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e.  (
fBas `  X )  /\  G  e.  ( fBas `  X ) )  /\  A. x  e.  F  E. y  e.  G  y  C_  x
)  ->  ( t  C_  X  ->  ( E. u  e.  F  u  C_  t  ->  ( t  C_  X  /\  E. v  e.  G  v  C_  t ) ) ) )
3029imp3a 420 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e.  (
fBas `  X )  /\  G  e.  ( fBas `  X ) )  /\  A. x  e.  F  E. y  e.  G  y  C_  x
)  ->  ( (
t  C_  X  /\  E. u  e.  F  u 
C_  t )  -> 
( t  C_  X  /\  E. v  e.  G  v  C_  t ) ) )
31 elfg 17582 . . . . . . 7  |-  ( F  e.  ( fBas `  X
)  ->  ( t  e.  ( X filGen F )  <-> 
( t  C_  X  /\  E. u  e.  F  u  C_  t ) ) )
3231adantr 451 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  X )  /\  G  e.  ( fBas `  X
) )  ->  (
t  e.  ( X
filGen F )  <->  ( t  C_  X  /\  E. u  e.  F  u  C_  t
) ) )
3332adantr 451 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e.  (
fBas `  X )  /\  G  e.  ( fBas `  X ) )  /\  A. x  e.  F  E. y  e.  G  y  C_  x
)  ->  ( t  e.  ( X filGen F )  <-> 
( t  C_  X  /\  E. u  e.  F  u  C_  t ) ) )
34 elfg 17582 . . . . . . 7  |-  ( G  e.  ( fBas `  X
)  ->  ( t  e.  ( X filGen G )  <-> 
( t  C_  X  /\  E. v  e.  G  v  C_  t ) ) )
3534adantl 452 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  X )  /\  G  e.  ( fBas `  X
) )  ->  (
t  e.  ( X
filGen G )  <->  ( t  C_  X  /\  E. v  e.  G  v  C_  t ) ) )
3635adantr 451 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e.  (
fBas `  X )  /\  G  e.  ( fBas `  X ) )  /\  A. x  e.  F  E. y  e.  G  y  C_  x
)  ->  ( t  e.  ( X filGen G )  <-> 
( t  C_  X  /\  E. v  e.  G  v  C_  t ) ) )
3730, 33, 363imtr4d 259 . . . 4  |-  ( ( ( F  e.  (
fBas `  X )  /\  G  e.  ( fBas `  X ) )  /\  A. x  e.  F  E. y  e.  G  y  C_  x
)  ->  ( t  e.  ( X filGen F )  ->  t  e.  ( X filGen G ) ) )
3837ssrdv 3198 . . 3  |-  ( ( ( F  e.  (
fBas `  X )  /\  G  e.  ( fBas `  X ) )  /\  A. x  e.  F  E. y  e.  G  y  C_  x
)  ->  ( X filGen F )  C_  ( X filGen G ) )
3938ex 423 . 2  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  X )  /\  G  e.  ( fBas `  X
) )  ->  ( A. x  e.  F  E. y  e.  G  y  C_  x  ->  ( X filGen F )  C_  ( X filGen G ) ) )
4012, 39impbid 183 1  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  X )  /\  G  e.  ( fBas `  X
) )  ->  (
( X filGen F ) 
C_  ( X filGen G )  <->  A. x  e.  F  E. y  e.  G  y  C_  x ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556   E.wrex 2557    C_ wss 3165   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   fBascfbas 17534   filGencfg 17535
This theorem is referenced by:  fil2ss  25660
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-fbas 17536  df-fg 17537
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