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Theorem fgss2 17569
Description: A condition for a filter to be finer than another involving their filter bases. (Contributed by Jeff Hankins, 3-Sep-2009.) (Revised by Stefan O'Rear, 2-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
fgss2  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  X )  /\  G  e.  ( fBas `  X
) )  ->  (
( X filGen F ) 
C_  ( X filGen G )  <->  A. x  e.  F  E. y  e.  G  y  C_  x ) )
Distinct variable groups:    x, y, F    x, G, y    x, X, y

Proof of Theorem fgss2
Dummy variables  u  t  v are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssfg 17567 . . . . . 6  |-  ( F  e.  ( fBas `  X
)  ->  F  C_  ( X filGen F ) )
21adantr 451 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  X )  /\  G  e.  ( fBas `  X
) )  ->  F  C_  ( X filGen F ) )
32sseld 3179 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  X )  /\  G  e.  ( fBas `  X
) )  ->  (
x  e.  F  ->  x  e.  ( X filGen F ) ) )
4 ssel2 3175 . . . . . 6  |-  ( ( ( X filGen F ) 
C_  ( X filGen G )  /\  x  e.  ( X filGen F ) )  ->  x  e.  ( X filGen G ) )
5 elfg 17566 . . . . . . . 8  |-  ( G  e.  ( fBas `  X
)  ->  ( x  e.  ( X filGen G )  <-> 
( x  C_  X  /\  E. y  e.  G  y  C_  x ) ) )
6 simpr 447 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  C_  X  /\  E. y  e.  G  y 
C_  x )  ->  E. y  e.  G  y  C_  x )
75, 6syl6bi 219 . . . . . . 7  |-  ( G  e.  ( fBas `  X
)  ->  ( x  e.  ( X filGen G )  ->  E. y  e.  G  y  C_  x ) )
87adantl 452 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  X )  /\  G  e.  ( fBas `  X
) )  ->  (
x  e.  ( X
filGen G )  ->  E. y  e.  G  y  C_  x ) )
94, 8syl5 28 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  X )  /\  G  e.  ( fBas `  X
) )  ->  (
( ( X filGen F )  C_  ( X filGen G )  /\  x  e.  ( X filGen F ) )  ->  E. y  e.  G  y  C_  x ) )
109exp3a 425 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  X )  /\  G  e.  ( fBas `  X
) )  ->  (
( X filGen F ) 
C_  ( X filGen G )  ->  ( x  e.  ( X filGen F )  ->  E. y  e.  G  y  C_  x ) ) )
113, 10syl5d 62 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  X )  /\  G  e.  ( fBas `  X
) )  ->  (
( X filGen F ) 
C_  ( X filGen G )  ->  ( x  e.  F  ->  E. y  e.  G  y  C_  x ) ) )
1211ralrimdv 2632 . 2  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  X )  /\  G  e.  ( fBas `  X
) )  ->  (
( X filGen F ) 
C_  ( X filGen G )  ->  A. x  e.  F  E. y  e.  G  y  C_  x ) )
13 sseq2 3200 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  u  ->  (
y  C_  x  <->  y  C_  u ) )
1413rexbidv 2564 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  u  ->  ( E. y  e.  G  y  C_  x  <->  E. y  e.  G  y  C_  u ) )
1514rspcv 2880 . . . . . . . . . . 11  |-  ( u  e.  F  ->  ( A. x  e.  F  E. y  e.  G  y  C_  x  ->  E. y  e.  G  y  C_  u ) )
1615adantl 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F  e.  (
fBas `  X )  /\  G  e.  ( fBas `  X ) )  /\  u  e.  F
)  ->  ( A. x  e.  F  E. y  e.  G  y  C_  x  ->  E. y  e.  G  y  C_  u ) )
17 sstr 3187 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  C_  u  /\  u  C_  t )  -> 
y  C_  t )
18 sseq1 3199 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( v  =  y  ->  (
v  C_  t  <->  y  C_  t ) )
1918rspcev 2884 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( y  e.  G  /\  y  C_  t )  ->  E. v  e.  G  v  C_  t )
2019adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( F  e.  ( fBas `  X
)  /\  G  e.  ( fBas `  X )
)  /\  u  e.  F )  /\  (
y  e.  G  /\  y  C_  t ) )  ->  E. v  e.  G  v  C_  t )
2120a1d 22 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( F  e.  ( fBas `  X
)  /\  G  e.  ( fBas `  X )
)  /\  u  e.  F )  /\  (
y  e.  G  /\  y  C_  t ) )  ->  ( t  C_  X  ->  E. v  e.  G  v  C_  t ) )
2217, 21sylanr2 634 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( F  e.  ( fBas `  X
)  /\  G  e.  ( fBas `  X )
)  /\  u  e.  F )  /\  (
y  e.  G  /\  ( y  C_  u  /\  u  C_  t ) ) )  ->  (
t  C_  X  ->  E. v  e.  G  v 
C_  t ) )
2322ancld 536 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( F  e.  ( fBas `  X
)  /\  G  e.  ( fBas `  X )
)  /\  u  e.  F )  /\  (
y  e.  G  /\  ( y  C_  u  /\  u  C_  t ) ) )  ->  (
t  C_  X  ->  ( t  C_  X  /\  E. v  e.  G  v 
C_  t ) ) )
2423exp45 597 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F  e.  (
fBas `  X )  /\  G  e.  ( fBas `  X ) )  /\  u  e.  F
)  ->  ( y  e.  G  ->  ( y 
C_  u  ->  (
u  C_  t  ->  ( t  C_  X  ->  ( t  C_  X  /\  E. v  e.  G  v 
C_  t ) ) ) ) ) )
2524rexlimdv 2666 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F  e.  (
fBas `  X )  /\  G  e.  ( fBas `  X ) )  /\  u  e.  F
)  ->  ( E. y  e.  G  y  C_  u  ->  ( u  C_  t  ->  ( t  C_  X  ->  ( t  C_  X  /\  E. v  e.  G  v  C_  t ) ) ) ) )
2616, 25syld 40 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F  e.  (
fBas `  X )  /\  G  e.  ( fBas `  X ) )  /\  u  e.  F
)  ->  ( A. x  e.  F  E. y  e.  G  y  C_  x  ->  ( u  C_  t  ->  ( t  C_  X  ->  ( t  C_  X  /\  E. v  e.  G  v  C_  t ) ) ) ) )
2726impancom 427 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F  e.  (
fBas `  X )  /\  G  e.  ( fBas `  X ) )  /\  A. x  e.  F  E. y  e.  G  y  C_  x
)  ->  ( u  e.  F  ->  ( u 
C_  t  ->  (
t  C_  X  ->  ( t  C_  X  /\  E. v  e.  G  v 
C_  t ) ) ) ) )
2827rexlimdv 2666 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F  e.  (
fBas `  X )  /\  G  e.  ( fBas `  X ) )  /\  A. x  e.  F  E. y  e.  G  y  C_  x
)  ->  ( E. u  e.  F  u  C_  t  ->  ( t  C_  X  ->  ( t  C_  X  /\  E. v  e.  G  v  C_  t ) ) ) )
2928com23 72 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e.  (
fBas `  X )  /\  G  e.  ( fBas `  X ) )  /\  A. x  e.  F  E. y  e.  G  y  C_  x
)  ->  ( t  C_  X  ->  ( E. u  e.  F  u  C_  t  ->  ( t  C_  X  /\  E. v  e.  G  v  C_  t ) ) ) )
3029imp3a 420 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e.  (
fBas `  X )  /\  G  e.  ( fBas `  X ) )  /\  A. x  e.  F  E. y  e.  G  y  C_  x
)  ->  ( (
t  C_  X  /\  E. u  e.  F  u 
C_  t )  -> 
( t  C_  X  /\  E. v  e.  G  v  C_  t ) ) )
31 elfg 17566 . . . . . . 7  |-  ( F  e.  ( fBas `  X
)  ->  ( t  e.  ( X filGen F )  <-> 
( t  C_  X  /\  E. u  e.  F  u  C_  t ) ) )
3231adantr 451 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  X )  /\  G  e.  ( fBas `  X
) )  ->  (
t  e.  ( X
filGen F )  <->  ( t  C_  X  /\  E. u  e.  F  u  C_  t
) ) )
3332adantr 451 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e.  (
fBas `  X )  /\  G  e.  ( fBas `  X ) )  /\  A. x  e.  F  E. y  e.  G  y  C_  x
)  ->  ( t  e.  ( X filGen F )  <-> 
( t  C_  X  /\  E. u  e.  F  u  C_  t ) ) )
34 elfg 17566 . . . . . . 7  |-  ( G  e.  ( fBas `  X
)  ->  ( t  e.  ( X filGen G )  <-> 
( t  C_  X  /\  E. v  e.  G  v  C_  t ) ) )
3534adantl 452 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  X )  /\  G  e.  ( fBas `  X
) )  ->  (
t  e.  ( X
filGen G )  <->  ( t  C_  X  /\  E. v  e.  G  v  C_  t ) ) )
3635adantr 451 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e.  (
fBas `  X )  /\  G  e.  ( fBas `  X ) )  /\  A. x  e.  F  E. y  e.  G  y  C_  x
)  ->  ( t  e.  ( X filGen G )  <-> 
( t  C_  X  /\  E. v  e.  G  v  C_  t ) ) )
3730, 33, 363imtr4d 259 . . . 4  |-  ( ( ( F  e.  (
fBas `  X )  /\  G  e.  ( fBas `  X ) )  /\  A. x  e.  F  E. y  e.  G  y  C_  x
)  ->  ( t  e.  ( X filGen F )  ->  t  e.  ( X filGen G ) ) )
3837ssrdv 3185 . . 3  |-  ( ( ( F  e.  (
fBas `  X )  /\  G  e.  ( fBas `  X ) )  /\  A. x  e.  F  E. y  e.  G  y  C_  x
)  ->  ( X filGen F )  C_  ( X filGen G ) )
3938ex 423 . 2  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  X )  /\  G  e.  ( fBas `  X
) )  ->  ( A. x  e.  F  E. y  e.  G  y  C_  x  ->  ( X filGen F )  C_  ( X filGen G ) ) )
4012, 39impbid 183 1  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  X )  /\  G  e.  ( fBas `  X
) )  ->  (
( X filGen F ) 
C_  ( X filGen G )  <->  A. x  e.  F  E. y  e.  G  y  C_  x ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   E.wrex 2544    C_ wss 3152   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   fBascfbas 17518   filGencfg 17519
This theorem is referenced by:  fil2ss  25557
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-fbas 17520  df-fg 17521
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