MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fibas Unicode version

Theorem fibas 16821
Description: A collection of finite intersections is a basis. The initial set is a subbasis for the topology. (Contributed by Jeff Hankins, 25-Aug-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
fibas  |-  ( fi
`  A )  e.  TopBases

Proof of Theorem fibas
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fvex 5622 . 2  |-  ( fi
`  A )  e. 
_V
2 fiin 7265 . . 3  |-  ( ( x  e.  ( fi
`  A )  /\  y  e.  ( fi `  A ) )  -> 
( x  i^i  y
)  e.  ( fi
`  A ) )
32rgen2a 2685 . 2  |-  A. x  e.  ( fi `  A
) A. y  e.  ( fi `  A
) ( x  i^i  y )  e.  ( fi `  A )
4 fiinbas 16796 . 2  |-  ( ( ( fi `  A
)  e.  _V  /\  A. x  e.  ( fi
`  A ) A. y  e.  ( fi `  A ) ( x  i^i  y )  e.  ( fi `  A
) )  ->  ( fi `  A )  e.  TopBases )
51, 3, 4mp2an 653 1  |-  ( fi
`  A )  e.  TopBases
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    e. wcel 1710   A.wral 2619   _Vcvv 2864    i^i cin 3227   ` cfv 5337   ficfi 7254   TopBasesctb 16741
This theorem is referenced by:  restbas  16995  ordttopon  17029  ordtopn1  17030  ordtopn2  17031  ordtrest2  17040  leordtval2  17048  2ndcsb  17281  ptbas  17380  xkotop  17389  alexsublem  17840  alexsub  17841  alexsubb  17842  alexsubALTlem3  17845  alexsubALTlem4  17846  alexsubALT  17847  ptcmplem1  17848  topjoin  25638
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1930  ax-ext 2339  ax-sep 4222  ax-nul 4230  ax-pow 4269  ax-pr 4295  ax-un 4594
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2213  df-mo 2214  df-clab 2345  df-cleq 2351  df-clel 2354  df-nfc 2483  df-ne 2523  df-ral 2624  df-rex 2625  df-reu 2626  df-rab 2628  df-v 2866  df-sbc 3068  df-csb 3158  df-dif 3231  df-un 3233  df-in 3235  df-ss 3242  df-pss 3244  df-nul 3532  df-if 3642  df-pw 3703  df-sn 3722  df-pr 3723  df-tp 3724  df-op 3725  df-uni 3909  df-int 3944  df-iun 3988  df-br 4105  df-opab 4159  df-mpt 4160  df-tr 4195  df-eprel 4387  df-id 4391  df-po 4396  df-so 4397  df-fr 4434  df-we 4436  df-ord 4477  df-on 4478  df-lim 4479  df-suc 4480  df-om 4739  df-xp 4777  df-rel 4778  df-cnv 4779  df-co 4780  df-dm 4781  df-rn 4782  df-res 4783  df-ima 4784  df-iota 5301  df-fun 5339  df-fn 5340  df-f 5341  df-f1 5342  df-fo 5343  df-f1o 5344  df-fv 5345  df-ov 5948  df-oprab 5949  df-mpt2 5950  df-recs 6475  df-rdg 6510  df-oadd 6570  df-er 6747  df-en 6952  df-fin 6955  df-fi 7255  df-bases 16744
  Copyright terms: Public domain W3C validator