MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fibas Structured version   Unicode version

Theorem fibas 17073
Description: A collection of finite intersections is a basis. The initial set is a subbasis for the topology. (Contributed by Jeff Hankins, 25-Aug-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
fibas  |-  ( fi
`  A )  e.  TopBases

Proof of Theorem fibas
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fvex 5771 . 2  |-  ( fi
`  A )  e. 
_V
2 fiin 7456 . . 3  |-  ( ( x  e.  ( fi
`  A )  /\  y  e.  ( fi `  A ) )  -> 
( x  i^i  y
)  e.  ( fi
`  A ) )
32rgen2a 2778 . 2  |-  A. x  e.  ( fi `  A
) A. y  e.  ( fi `  A
) ( x  i^i  y )  e.  ( fi `  A )
4 fiinbas 17048 . 2  |-  ( ( ( fi `  A
)  e.  _V  /\  A. x  e.  ( fi
`  A ) A. y  e.  ( fi `  A ) ( x  i^i  y )  e.  ( fi `  A
) )  ->  ( fi `  A )  e.  TopBases )
51, 3, 4mp2an 655 1  |-  ( fi
`  A )  e.  TopBases
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    e. wcel 1727   A.wral 2711   _Vcvv 2962    i^i cin 3305   ` cfv 5483   ficfi 7444   TopBasesctb 16993
This theorem is referenced by:  restbas  17253  ordttopon  17288  ordtopn1  17289  ordtopn2  17290  ordtrest2  17299  leordtval2  17307  2ndcsb  17543  ptbas  17642  xkotop  17651  alexsublem  18106  alexsub  18107  alexsubb  18108  alexsubALTlem3  18111  alexsubALTlem4  18112  alexsubALT  18113  ptcmplem1  18114  topjoin  26432
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1668  ax-8 1689  ax-13 1729  ax-14 1731  ax-6 1746  ax-7 1751  ax-11 1763  ax-12 1953  ax-ext 2423  ax-sep 4355  ax-nul 4363  ax-pow 4406  ax-pr 4432  ax-un 4730
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2291  df-mo 2292  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2567  df-ne 2607  df-ral 2716  df-rex 2717  df-reu 2718  df-rab 2720  df-v 2964  df-sbc 3168  df-csb 3268  df-dif 3309  df-un 3311  df-in 3313  df-ss 3320  df-pss 3322  df-nul 3614  df-if 3764  df-pw 3825  df-sn 3844  df-pr 3845  df-tp 3846  df-op 3847  df-uni 4040  df-int 4075  df-iun 4119  df-br 4238  df-opab 4292  df-mpt 4293  df-tr 4328  df-eprel 4523  df-id 4527  df-po 4532  df-so 4533  df-fr 4570  df-we 4572  df-ord 4613  df-on 4614  df-lim 4615  df-suc 4616  df-om 4875  df-xp 4913  df-rel 4914  df-cnv 4915  df-co 4916  df-dm 4917  df-rn 4918  df-res 4919  df-ima 4920  df-iota 5447  df-fun 5485  df-fn 5486  df-f 5487  df-f1 5488  df-fo 5489  df-f1o 5490  df-fv 5491  df-ov 6113  df-oprab 6114  df-mpt2 6115  df-recs 6662  df-rdg 6697  df-oadd 6757  df-er 6934  df-en 7139  df-fin 7142  df-fi 7445  df-bases 16996
  Copyright terms: Public domain W3C validator