MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fibas Unicode version

Theorem fibas 16715
Description: A collection of finite intersections is a basis. The initial set is a subbasis for the topology. (Contributed by Jeff Hankins, 25-Aug-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
fibas  |-  ( fi
`  A )  e.  TopBases

Proof of Theorem fibas
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fvex 5539 . 2  |-  ( fi
`  A )  e. 
_V
2 fiin 7175 . . 3  |-  ( ( x  e.  ( fi
`  A )  /\  y  e.  ( fi `  A ) )  -> 
( x  i^i  y
)  e.  ( fi
`  A ) )
32rgen2a 2609 . 2  |-  A. x  e.  ( fi `  A
) A. y  e.  ( fi `  A
) ( x  i^i  y )  e.  ( fi `  A )
4 fiinbas 16690 . 2  |-  ( ( ( fi `  A
)  e.  _V  /\  A. x  e.  ( fi
`  A ) A. y  e.  ( fi `  A ) ( x  i^i  y )  e.  ( fi `  A
) )  ->  ( fi `  A )  e.  TopBases )
51, 3, 4mp2an 653 1  |-  ( fi
`  A )  e.  TopBases
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    e. wcel 1684   A.wral 2543   _Vcvv 2788    i^i cin 3151   ` cfv 5255   ficfi 7164   TopBasesctb 16635
This theorem is referenced by:  restbas  16889  ordttopon  16923  ordtopn1  16924  ordtopn2  16925  ordtrest2  16934  leordtval2  16942  2ndcsb  17175  ptbas  17274  xkotop  17283  alexsublem  17738  alexsub  17739  alexsubb  17740  alexsubALTlem3  17743  alexsubALTlem4  17744  alexsubALT  17745  ptcmplem1  17746  elsubops  25532  intopcoaconb  25540  intopcoaconc  25541  topjoin  26314
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-oadd 6483  df-er 6660  df-en 6864  df-fin 6867  df-fi 7165  df-bases 16638
  Copyright terms: Public domain W3C validator