MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ficardid Structured version   Unicode version

Theorem ficardid 7850
Description: A finite set is equinumerous to its cardinal number. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Sep-2013.)
Assertion
Ref Expression
ficardid  |-  ( A  e.  Fin  ->  ( card `  A )  ~~  A )

Proof of Theorem ficardid
StepHypRef Expression
1 finnum 7836 . 2  |-  ( A  e.  Fin  ->  A  e.  dom  card )
2 cardid2 7841 . 2  |-  ( A  e.  dom  card  ->  (
card `  A )  ~~  A )
31, 2syl 16 1  |-  ( A  e.  Fin  ->  ( card `  A )  ~~  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1726   class class class wbr 4213   dom cdm 4879   ` cfv 5455    ~~ cen 7107   Fincfn 7110   cardccrd 7823
This theorem is referenced by:  isinffi  7880  finnisoeu  7995  ackbij1lem5  8105  ackbij1lem9  8109  ackbij1b  8120  ackbij2lem2  8121  fin1a2lem11  8291
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2418  ax-sep 4331  ax-nul 4339  ax-pow 4378  ax-pr 4404  ax-un 4702
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2424  df-cleq 2430  df-clel 2433  df-nfc 2562  df-ne 2602  df-ral 2711  df-rex 2712  df-rab 2715  df-v 2959  df-sbc 3163  df-dif 3324  df-un 3326  df-in 3328  df-ss 3335  df-pss 3337  df-nul 3630  df-if 3741  df-pw 3802  df-sn 3821  df-pr 3822  df-tp 3823  df-op 3824  df-uni 4017  df-int 4052  df-br 4214  df-opab 4268  df-mpt 4269  df-tr 4304  df-eprel 4495  df-id 4499  df-po 4504  df-so 4505  df-fr 4542  df-we 4544  df-ord 4585  df-on 4586  df-lim 4587  df-suc 4588  df-om 4847  df-xp 4885  df-rel 4886  df-cnv 4887  df-co 4888  df-dm 4889  df-rn 4890  df-res 4891  df-ima 4892  df-iota 5419  df-fun 5457  df-fn 5458  df-f 5459  df-f1 5460  df-fo 5461  df-f1o 5462  df-fv 5463  df-er 6906  df-en 7111  df-fin 7114  df-card 7827
  Copyright terms: Public domain W3C validator