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Theorem fictb 7871
Description: A set is countable iff its collection of finite intersections is countable. (Contributed by Jeff Hankins, 24-Aug-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 17-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
fictb  |-  ( A  e.  B  ->  ( A  ~<_  om  <->  ( fi `  A )  ~<_  om )
)

Proof of Theorem fictb
Dummy variables  x  f  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 brdomi 6873 . . . . 5  |-  ( A  ~<_  om  ->  E. f 
f : A -1-1-> om )
21adantl 452 . . . 4  |-  ( ( A  e.  B  /\  A  ~<_  om )  ->  E. f 
f : A -1-1-> om )
3 reldom 6869 . . . . . 6  |-  Rel  ~<_
43brrelex2i 4730 . . . . 5  |-  ( A  ~<_  om  ->  om  e.  _V )
5 omelon2 4668 . . . . . . . . . . 11  |-  ( om  e.  _V  ->  om  e.  On )
65ad2antlr 707 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  B  /\  om  e.  _V )  /\  f : A -1-1-> om )  ->  om  e.  On )
7 pwexg 4194 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  B  ->  ~P A  e.  _V )
87ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  B  /\  om  e.  _V )  /\  f : A -1-1-> om )  ->  ~P A  e. 
_V )
9 inex1g 4157 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ~P A  e.  _V  ->  ( ~P A  i^i  Fin )  e.  _V )
108, 9syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  B  /\  om  e.  _V )  /\  f : A -1-1-> om )  ->  ( ~P A  i^i  Fin )  e.  _V )
11 difss 3303 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ~P A  i^i  Fin )  \  { (/) } ) 
C_  ( ~P A  i^i  Fin )
12 ssdomg 6907 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ~P A  i^i  Fin )  e.  _V  ->  ( ( ( ~P A  i^i  Fin )  \  { (/)
} )  C_  ( ~P A  i^i  Fin )  ->  ( ( ~P A  i^i  Fin )  \  { (/)
} )  ~<_  ( ~P A  i^i  Fin )
) )
1310, 11, 12ee10 1366 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  B  /\  om  e.  _V )  /\  f : A -1-1-> om )  ->  ( ( ~P A  i^i  Fin )  \  { (/) } )  ~<_  ( ~P A  i^i  Fin ) )
14 f1f1orn 5483 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f : A -1-1-> om  ->  f : A -1-1-onto-> ran  f )
1514adantl 452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  B  /\  om  e.  _V )  /\  f : A -1-1-> om )  ->  f : A -1-1-onto-> ran  f )
16 f1opwfi 7159 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f : A -1-1-onto-> ran  f  ->  (
x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  ( f " x
) ) : ( ~P A  i^i  Fin )
-1-1-onto-> ( ~P ran  f  i^i 
Fin ) )
1715, 16syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  B  /\  om  e.  _V )  /\  f : A -1-1-> om )  ->  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  ( f "
x ) ) : ( ~P A  i^i  Fin ) -1-1-onto-> ( ~P ran  f  i^i  Fin ) )
18 f1oeng 6880 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ~P A  i^i  Fin )  e.  _V  /\  ( x  e.  ( ~P A  i^i  Fin )  |->  ( f " x
) ) : ( ~P A  i^i  Fin )
-1-1-onto-> ( ~P ran  f  i^i 
Fin ) )  -> 
( ~P A  i^i  Fin )  ~~  ( ~P
ran  f  i^i  Fin ) )
1910, 17, 18syl2anc 642 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  B  /\  om  e.  _V )  /\  f : A -1-1-> om )  ->  ( ~P A  i^i  Fin )  ~~  ( ~P ran  f  i^i  Fin ) )
20 pwexg 4194 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( om  e.  _V  ->  ~P om  e.  _V )
2120ad2antlr 707 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  B  /\  om  e.  _V )  /\  f : A -1-1-> om )  ->  ~P om  e.  _V )
22 inex1g 4157 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ~P
om  e.  _V  ->  ( ~P om  i^i  Fin )  e.  _V )
2321, 22syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  B  /\  om  e.  _V )  /\  f : A -1-1-> om )  ->  ( ~P om  i^i  Fin )  e.  _V )
24 f1f 5437 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( f : A -1-1-> om  ->  f : A --> om )
2524adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  B  /\  om  e.  _V )  /\  f : A -1-1-> om )  ->  f : A --> om )
26 frn 5395 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( f : A --> om  ->  ran  f  C_  om )
2725, 26syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  B  /\  om  e.  _V )  /\  f : A -1-1-> om )  ->  ran  f  C_  om )
28 sspwb 4223 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ran  f  C_  om  <->  ~P ran  f  C_  ~P om )
2927, 28sylib 188 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  B  /\  om  e.  _V )  /\  f : A -1-1-> om )  ->  ~P ran  f  C_ 
~P om )
30 ssrin 3394 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ~P
ran  f  C_  ~P om  ->  ( ~P ran  f  i^i  Fin )  C_  ( ~P om  i^i  Fin ) )
3129, 30syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  B  /\  om  e.  _V )  /\  f : A -1-1-> om )  ->  ( ~P ran  f  i^i  Fin )  C_  ( ~P om  i^i  Fin ) )
32 ssdomg 6907 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ~P om  i^i  Fin )  e.  _V  ->  ( ( ~P ran  f  i^i  Fin )  C_  ( ~P om  i^i  Fin )  ->  ( ~P ran  f  i^i  Fin )  ~<_  ( ~P
om  i^i  Fin )
) )
3323, 31, 32sylc 56 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  B  /\  om  e.  _V )  /\  f : A -1-1-> om )  ->  ( ~P ran  f  i^i  Fin )  ~<_  ( ~P om  i^i  Fin ) )
34 sneq 3651 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( f  =  z  ->  { f }  =  { z } )
35 pweq 3628 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( f  =  z  ->  ~P f  =  ~P z
)
3634, 35xpeq12d 4714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( f  =  z  ->  ( { f }  X.  ~P f )  =  ( { z }  X.  ~P z ) )
3736cbviunv 3941 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  U_ f  e.  x  ( {
f }  X.  ~P f )  =  U_ z  e.  x  ( { z }  X.  ~P z )
38 iuneq1 3918 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  =  y  ->  U_ z  e.  x  ( {
z }  X.  ~P z )  =  U_ z  e.  y  ( { z }  X.  ~P z ) )
3937, 38syl5eq 2327 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  y  ->  U_ f  e.  x  ( {
f }  X.  ~P f )  =  U_ z  e.  y  ( { z }  X.  ~P z ) )
4039fveq2d 5529 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  y  ->  ( card `  U_ f  e.  x  ( { f }  X.  ~P f
) )  =  (
card `  U_ z  e.  y  ( { z }  X.  ~P z
) ) )
4140cbvmptv 4111 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  |->  ( card `  U_ f  e.  x  ( { f }  X.  ~P f ) ) )  =  ( y  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  |->  ( card `  U_ z  e.  y  ( {
z }  X.  ~P z ) ) )
4241ackbij1 7864 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  |->  ( card `  U_ f  e.  x  ( { f }  X.  ~P f ) ) ) : ( ~P om  i^i  Fin ) -1-1-onto-> om
43 f1oeng 6880 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ~P om  i^i  Fin )  e.  _V  /\  ( x  e.  ( ~P om  i^i  Fin )  |->  ( card `  U_ f  e.  x  ( {
f }  X.  ~P f ) ) ) : ( ~P om  i^i  Fin ) -1-1-onto-> om )  ->  ( ~P om  i^i  Fin )  ~~  om )
4423, 42, 43sylancl 643 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  B  /\  om  e.  _V )  /\  f : A -1-1-> om )  ->  ( ~P om  i^i  Fin )  ~~  om )
45 domentr 6920 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ~P ran  f  i^i  Fin )  ~<_  ( ~P
om  i^i  Fin )  /\  ( ~P om  i^i  Fin )  ~~  om )  ->  ( ~P ran  f  i^i  Fin )  ~<_  om )
4633, 44, 45syl2anc 642 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  B  /\  om  e.  _V )  /\  f : A -1-1-> om )  ->  ( ~P ran  f  i^i  Fin )  ~<_  om )
47 endomtr 6919 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ~P A  i^i  Fin )  ~~  ( ~P
ran  f  i^i  Fin )  /\  ( ~P ran  f  i^i  Fin )  ~<_  om )  ->  ( ~P A  i^i  Fin )  ~<_  om )
4819, 46, 47syl2anc 642 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  B  /\  om  e.  _V )  /\  f : A -1-1-> om )  ->  ( ~P A  i^i  Fin )  ~<_  om )
49 domtr 6914 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ~P A  i^i  Fin )  \  { (/)
} )  ~<_  ( ~P A  i^i  Fin )  /\  ( ~P A  i^i  Fin )  ~<_  om )  ->  (
( ~P A  i^i  Fin )  \  { (/) } )  ~<_  om )
5013, 48, 49syl2anc 642 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  B  /\  om  e.  _V )  /\  f : A -1-1-> om )  ->  ( ( ~P A  i^i  Fin )  \  { (/) } )  ~<_  om )
51 ondomen 7664 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( om  e.  On  /\  ( ( ~P A  i^i  Fin )  \  { (/)
} )  ~<_  om )  ->  ( ( ~P A  i^i  Fin )  \  { (/)
} )  e.  dom  card )
526, 50, 51syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  B  /\  om  e.  _V )  /\  f : A -1-1-> om )  ->  ( ( ~P A  i^i  Fin )  \  { (/) } )  e. 
dom  card )
53 eqid 2283 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  ( ( ~P A  i^i  Fin )  \  { (/) } )  |->  |^| y )  =  ( y  e.  ( ( ~P A  i^i  Fin )  \  { (/) } ) 
|->  |^| y )
5453fifo 7185 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  B  ->  (
y  e.  ( ( ~P A  i^i  Fin )  \  { (/) } ) 
|->  |^| y ) : ( ( ~P A  i^i  Fin )  \  { (/)
} ) -onto-> ( fi
`  A ) )
5554ad2antrr 706 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  B  /\  om  e.  _V )  /\  f : A -1-1-> om )  ->  ( y  e.  ( ( ~P A  i^i  Fin )  \  { (/)
} )  |->  |^| y
) : ( ( ~P A  i^i  Fin )  \  { (/) } )
-onto-> ( fi `  A
) )
56 fodomnum 7684 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ~P A  i^i  Fin )  \  { (/) } )  e.  dom  card  -> 
( ( y  e.  ( ( ~P A  i^i  Fin )  \  { (/)
} )  |->  |^| y
) : ( ( ~P A  i^i  Fin )  \  { (/) } )
-onto-> ( fi `  A
)  ->  ( fi `  A )  ~<_  ( ( ~P A  i^i  Fin )  \  { (/) } ) ) )
5752, 55, 56sylc 56 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  B  /\  om  e.  _V )  /\  f : A -1-1-> om )  ->  ( fi `  A )  ~<_  ( ( ~P A  i^i  Fin )  \  { (/) } ) )
58 domtr 6914 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( fi `  A
)  ~<_  ( ( ~P A  i^i  Fin )  \  { (/) } )  /\  ( ( ~P A  i^i  Fin )  \  { (/)
} )  ~<_  om )  ->  ( fi `  A
)  ~<_  om )
5957, 50, 58syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  B  /\  om  e.  _V )  /\  f : A -1-1-> om )  ->  ( fi `  A )  ~<_  om )
6059ex 423 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  B  /\  om  e.  _V )  -> 
( f : A -1-1-> om 
->  ( fi `  A
)  ~<_  om ) )
6160exlimdv 1664 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  B  /\  om  e.  _V )  -> 
( E. f  f : A -1-1-> om  ->  ( fi `  A )  ~<_  om ) )
624, 61sylan2 460 . . . 4  |-  ( ( A  e.  B  /\  A  ~<_  om )  ->  ( E. f  f : A -1-1-> om  ->  ( fi
`  A )  ~<_  om ) )
632, 62mpd 14 . . 3  |-  ( ( A  e.  B  /\  A  ~<_  om )  ->  ( fi `  A )  ~<_  om )
6463ex 423 . 2  |-  ( A  e.  B  ->  ( A  ~<_  om  ->  ( fi
`  A )  ~<_  om ) )
65 fvex 5539 . . . 4  |-  ( fi
`  A )  e. 
_V
66 ssfii 7172 . . . 4  |-  ( A  e.  B  ->  A  C_  ( fi `  A
) )
67 ssdomg 6907 . . . 4  |-  ( ( fi `  A )  e.  _V  ->  ( A  C_  ( fi `  A )  ->  A  ~<_  ( fi `  A ) ) )
6865, 66, 67mpsyl 59 . . 3  |-  ( A  e.  B  ->  A  ~<_  ( fi `  A ) )
69 domtr 6914 . . . 4  |-  ( ( A  ~<_  ( fi `  A )  /\  ( fi `  A )  ~<_  om )  ->  A  ~<_  om )
7069ex 423 . . 3  |-  ( A  ~<_  ( fi `  A
)  ->  ( ( fi `  A )  ~<_  om 
->  A  ~<_  om )
)
7168, 70syl 15 . 2  |-  ( A  e.  B  ->  (
( fi `  A
)  ~<_  om  ->  A  ~<_  om ) )
7264, 71impbid 183 1  |-  ( A  e.  B  ->  ( A  ~<_  om  <->  ( fi `  A )  ~<_  om )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358   E.wex 1528    = wceq 1623    e. wcel 1684   _Vcvv 2788    \ cdif 3149    i^i cin 3151    C_ wss 3152   (/)c0 3455   ~Pcpw 3625   {csn 3640   |^|cint 3862   U_ciun 3905   class class class wbr 4023    e. cmpt 4077   Oncon0 4392   omcom 4656    X. cxp 4687   dom cdm 4689   ran crn 4690   "cima 4692   -->wf 5251   -1-1->wf1 5252   -onto->wfo 5253   -1-1-onto->wf1o 5254   ` cfv 5255    ~~ cen 6860    ~<_ cdom 6861   Fincfn 6863   ficfi 7164   cardccrd 7568
This theorem is referenced by:  2ndcsb  17175
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-fi 7165  df-card 7572  df-acn 7575  df-cda 7794
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