Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fidomndrng Structured version   Unicode version

Theorem fidomndrng 16368
 Description: A finite domain is a division ring. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
fidomndrng.b
Assertion
Ref Expression
fidomndrng Domn

Proof of Theorem fidomndrng
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 domnrng 16357 . . . . 5 Domn
21adantl 454 . . . 4 Domn
3 domnnzr 16356 . . . . . . . . . . 11 Domn NzRing
43adantl 454 . . . . . . . . . 10 Domn NzRing
5 eqid 2437 . . . . . . . . . . 11
6 eqid 2437 . . . . . . . . . . 11
75, 6nzrnz 16332 . . . . . . . . . 10 NzRing
84, 7syl 16 . . . . . . . . 9 Domn
98neneqd 2618 . . . . . . . 8 Domn
10 eqid 2437 . . . . . . . . . 10 Unit Unit
1110, 6, 50unit 15786 . . . . . . . . 9 Unit
122, 11syl 16 . . . . . . . 8 Domn Unit
139, 12mtbird 294 . . . . . . 7 Domn Unit
14 disjsn 3869 . . . . . . 7 Unit Unit
1513, 14sylibr 205 . . . . . 6 Domn Unit
16 fidomndrng.b . . . . . . . 8
1716, 10unitss 15766 . . . . . . 7 Unit
18 reldisj 3672 . . . . . . 7 Unit Unit Unit
1917, 18ax-mp 8 . . . . . 6 Unit Unit
2015, 19sylib 190 . . . . 5 Domn Unit
21 eqid 2437 . . . . . . . . 9 r r
22 eqid 2437 . . . . . . . . 9
23 simplr 733 . . . . . . . . 9 Domn Domn
24 simpll 732 . . . . . . . . 9 Domn
25 simpr 449 . . . . . . . . 9 Domn
26 eqid 2437 . . . . . . . . 9
2716, 6, 5, 21, 22, 23, 24, 25, 26fidomndrnglem 16367 . . . . . . . 8 Domn r
28 eqid 2437 . . . . . . . . . 10 oppr oppr
2928, 16opprbas 15735 . . . . . . . . 9 oppr
3028, 6oppr0 15739 . . . . . . . . 9 oppr
3128, 5oppr1 15740 . . . . . . . . 9 oppr
32 eqid 2437 . . . . . . . . 9 roppr roppr
33 eqid 2437 . . . . . . . . 9 oppr oppr
3428opprdomn 16362 . . . . . . . . . 10 Domn oppr Domn
3523, 34syl 16 . . . . . . . . 9 Domn oppr Domn
36 eqid 2437 . . . . . . . . 9 oppr oppr
3729, 30, 31, 32, 33, 35, 24, 25, 36fidomndrnglem 16367 . . . . . . . 8 Domn roppr
3810, 5, 21, 28, 32isunit 15763 . . . . . . . 8 Unit r roppr
3927, 37, 38sylanbrc 647 . . . . . . 7 Domn Unit
4039ex 425 . . . . . 6 Domn Unit
4140ssrdv 3355 . . . . 5 Domn Unit
4220, 41eqssd 3366 . . . 4 Domn Unit
4316, 10, 6isdrng 15840 . . . 4 Unit
442, 42, 43sylanbrc 647 . . 3 Domn
4544ex 425 . 2 Domn
46 drngdomn 16364 . 2 Domn
4745, 46impbid1 196 1 Domn
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 178   wa 360   wceq 1653   wcel 1726   wne 2600   cdif 3318   cin 3320   wss 3321  c0 3629  csn 3815   class class class wbr 4213   cmpt 4267  cfv 5455  (class class class)co 6082  cfn 7110  cbs 13470  cmulr 13531  c0g 13724  crg 15661  cur 15663  opprcoppr 15728  rcdsr 15744  Unitcui 15745  cdr 15836  NzRingcnzr 16329  Domncdomn 16341 This theorem is referenced by:  fiidomfld  16369 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2418  ax-rep 4321  ax-sep 4331  ax-nul 4339  ax-pow 4378  ax-pr 4404  ax-un 4702  ax-cnex 9047  ax-resscn 9048  ax-1cn 9049  ax-icn 9050  ax-addcl 9051  ax-addrcl 9052  ax-mulcl 9053  ax-mulrcl 9054  ax-mulcom 9055  ax-addass 9056  ax-mulass 9057  ax-distr 9058  ax-i2m1 9059  ax-1ne0 9060  ax-1rid 9061  ax-rnegex 9062  ax-rrecex 9063  ax-cnre 9064  ax-pre-lttri 9065  ax-pre-lttrn 9066  ax-pre-ltadd 9067  ax-pre-mulgt0 9068 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2424  df-cleq 2430  df-clel 2433  df-nfc 2562  df-ne 2602  df-nel 2603  df-ral 2711  df-rex 2712  df-reu 2713  df-rmo 2714  df-rab 2715  df-v 2959  df-sbc 3163  df-csb 3253  df-dif 3324  df-un 3326  df-in 3328  df-ss 3335  df-pss 3337  df-nul 3630  df-if 3741  df-pw 3802  df-sn 3821  df-pr 3822  df-tp 3823  df-op 3824  df-uni 4017  df-iun 4096  df-br 4214  df-opab 4268  df-mpt 4269  df-tr 4304  df-eprel 4495  df-id 4499  df-po 4504  df-so 4505  df-fr 4542  df-we 4544  df-ord 4585  df-on 4586  df-lim 4587  df-suc 4588  df-om 4847  df-xp 4885  df-rel 4886  df-cnv 4887  df-co 4888  df-dm 4889  df-rn 4890  df-res 4891  df-ima 4892  df-iota 5419  df-fun 5457  df-fn 5458  df-f 5459  df-f1 5460  df-fo 5461  df-f1o 5462  df-fv 5463  df-ov 6085  df-oprab 6086  df-mpt2 6087  df-1st 6350  df-2nd 6351  df-tpos 6480  df-riota 6550  df-recs 6634  df-rdg 6669  df-1o 6725  df-2o 6726  df-er 6906  df-map 7021  df-en 7111  df-dom 7112  df-sdom 7113  df-fin 7114  df-pnf 9123  df-mnf 9124  df-xr 9125  df-ltxr 9126  df-le 9127  df-sub 9294  df-neg 9295  df-nn 10002  df-2 10059  df-3 10060  df-ndx 13473  df-slot 13474  df-base 13475  df-sets 13476  df-ress 13477  df-plusg 13543  df-mulr 13544  df-0g 13728  df-mnd 14691  df-grp 14813  df-minusg 14814  df-sbg 14815  df-ghm 15005  df-mgp 15650  df-rng 15664  df-ur 15666  df-oppr 15729  df-dvdsr 15747  df-unit 15748  df-invr 15778  df-drng 15838  df-nzr 16330  df-rlreg 16344  df-domn 16345
 Copyright terms: Public domain W3C validator