MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fidomtri Structured version   Unicode version

Theorem fidomtri 7882
Description: Trichotomy of dominance without AC when one set is finite. (Contributed by Stefan O'Rear, 30-Oct-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
fidomtri  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  V )  ->  ( A  ~<_  B  <->  -.  B  ~<  A ) )

Proof of Theorem fidomtri
Dummy variable  a is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 domnsym 7235 . 2  |-  ( A  ~<_  B  ->  -.  B  ~<  A )
2 finnum 7837 . . . . . 6  |-  ( A  e.  Fin  ->  A  e.  dom  card )
32adantr 453 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  V )  ->  A  e.  dom  card )
4 finnum 7837 . . . . 5  |-  ( B  e.  Fin  ->  B  e.  dom  card )
5 domtri2 7878 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  dom  card  /\  B  e.  dom  card )  ->  ( A  ~<_  B  <->  -.  B  ~<  A ) )
63, 4, 5syl2an 465 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  V )  /\  B  e.  Fin )  ->  ( A  ~<_  B  <->  -.  B  ~<  A ) )
76biimprd 216 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  V )  /\  B  e.  Fin )  ->  ( -.  B  ~<  A  ->  A  ~<_  B ) )
8 isinffi 7881 . . . . . . 7  |-  ( ( -.  B  e.  Fin  /\  A  e.  Fin )  ->  E. a  a : A -1-1-> B )
98ancoms 441 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  -.  B  e.  Fin )  ->  E. a  a : A -1-1-> B )
109adantlr 697 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  V )  /\  -.  B  e. 
Fin )  ->  E. a 
a : A -1-1-> B
)
11 brdomg 7120 . . . . . 6  |-  ( B  e.  V  ->  ( A  ~<_  B  <->  E. a 
a : A -1-1-> B
) )
1211ad2antlr 709 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  V )  /\  -.  B  e. 
Fin )  ->  ( A  ~<_  B  <->  E. a 
a : A -1-1-> B
) )
1310, 12mpbird 225 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  V )  /\  -.  B  e. 
Fin )  ->  A  ~<_  B )
1413a1d 24 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  V )  /\  -.  B  e. 
Fin )  ->  ( -.  B  ~<  A  ->  A  ~<_  B ) )
157, 14pm2.61dan 768 . 2  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  V )  ->  ( -.  B  ~<  A  ->  A  ~<_  B ) )
161, 15impbid2 197 1  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  V )  ->  ( A  ~<_  B  <->  -.  B  ~<  A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360   E.wex 1551    e. wcel 1726   class class class wbr 4214   dom cdm 4880   -1-1->wf1 5453    ~<_ cdom 7109    ~< csdm 7110   Fincfn 7111   cardccrd 7824
This theorem is referenced by:  fidomtri2  7883  fin56  8275  hauspwdom  17566  harinf  27107
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-er 6907  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-fin 7115  df-card 7828
  Copyright terms: Public domain W3C validator