MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fidomtri2 Unicode version

Theorem fidomtri2 7837
Description: Trichotomy of dominance without AC when one set is finite. (Contributed by Stefan O'Rear, 30-Oct-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 7-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
fidomtri2  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  Fin )  ->  ( A  ~<_  B  <->  -.  B  ~<  A ) )

Proof of Theorem fidomtri2
StepHypRef Expression
1 domnsym 7192 . 2  |-  ( A  ~<_  B  ->  -.  B  ~<  A )
2 sdomdom 7094 . . . . . . 7  |-  ( A 
~<  B  ->  A  ~<_  B )
32con3i 129 . . . . . 6  |-  ( -.  A  ~<_  B  ->  -.  A  ~<  B )
4 fidomtri 7836 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  Fin  /\  A  e.  V )  ->  ( B  ~<_  A  <->  -.  A  ~<  B ) )
54ancoms 440 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  Fin )  ->  ( B  ~<_  A  <->  -.  A  ~<  B ) )
63, 5syl5ibr 213 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  Fin )  ->  ( -.  A  ~<_  B  ->  B  ~<_  A ) )
7 ensym 7115 . . . . . . . 8  |-  ( B 
~~  A  ->  A  ~~  B )
8 endom 7093 . . . . . . . 8  |-  ( A 
~~  B  ->  A  ~<_  B )
97, 8syl 16 . . . . . . 7  |-  ( B 
~~  A  ->  A  ~<_  B )
109con3i 129 . . . . . 6  |-  ( -.  A  ~<_  B  ->  -.  B  ~~  A )
1110a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  Fin )  ->  ( -.  A  ~<_  B  ->  -.  B  ~~  A ) )
126, 11jcad 520 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  Fin )  ->  ( -.  A  ~<_  B  ->  ( B  ~<_  A  /\  -.  B  ~~  A ) ) )
13 brsdom 7089 . . . 4  |-  ( B 
~<  A  <->  ( B  ~<_  A  /\  -.  B  ~~  A ) )
1412, 13syl6ibr 219 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  Fin )  ->  ( -.  A  ~<_  B  ->  B  ~<  A ) )
1514con1d 118 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  Fin )  ->  ( -.  B  ~<  A  ->  A  ~<_  B ) )
161, 15impbid2 196 1  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  Fin )  ->  ( A  ~<_  B  <->  -.  B  ~<  A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    e. wcel 1721   class class class wbr 4172    ~~ cen 7065    ~<_ cdom 7066    ~< csdm 7067   Fincfn 7068
This theorem is referenced by:  gchdomtri  8460  gchcda1  8487  frgpcyg  16809
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-ral 2671  df-rex 2672  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-er 6864  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-card 7782
  Copyright terms: Public domain W3C validator