MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fidomtri2 Unicode version

Theorem fidomtri2 7717
Description: Trichotomy of dominance without AC when one set is finite. (Contributed by Stefan O'Rear, 30-Oct-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 7-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
fidomtri2  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  Fin )  ->  ( A  ~<_  B  <->  -.  B  ~<  A ) )

Proof of Theorem fidomtri2
StepHypRef Expression
1 domnsym 7075 . 2  |-  ( A  ~<_  B  ->  -.  B  ~<  A )
2 sdomdom 6977 . . . . . . 7  |-  ( A 
~<  B  ->  A  ~<_  B )
32con3i 127 . . . . . 6  |-  ( -.  A  ~<_  B  ->  -.  A  ~<  B )
4 fidomtri 7716 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  Fin  /\  A  e.  V )  ->  ( B  ~<_  A  <->  -.  A  ~<  B ) )
54ancoms 439 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  Fin )  ->  ( B  ~<_  A  <->  -.  A  ~<  B ) )
63, 5syl5ibr 212 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  Fin )  ->  ( -.  A  ~<_  B  ->  B  ~<_  A ) )
7 ensym 6998 . . . . . . . 8  |-  ( B 
~~  A  ->  A  ~~  B )
8 endom 6976 . . . . . . . 8  |-  ( A 
~~  B  ->  A  ~<_  B )
97, 8syl 15 . . . . . . 7  |-  ( B 
~~  A  ->  A  ~<_  B )
109con3i 127 . . . . . 6  |-  ( -.  A  ~<_  B  ->  -.  B  ~~  A )
1110a1i 10 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  Fin )  ->  ( -.  A  ~<_  B  ->  -.  B  ~~  A ) )
126, 11jcad 519 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  Fin )  ->  ( -.  A  ~<_  B  ->  ( B  ~<_  A  /\  -.  B  ~~  A ) ) )
13 brsdom 6972 . . . 4  |-  ( B 
~<  A  <->  ( B  ~<_  A  /\  -.  B  ~~  A ) )
1412, 13syl6ibr 218 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  Fin )  ->  ( -.  A  ~<_  B  ->  B  ~<  A ) )
1514con1d 116 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  Fin )  ->  ( -.  B  ~<  A  ->  A  ~<_  B ) )
161, 15impbid2 195 1  |-  ( ( A  e.  V  /\  B  e.  Fin )  ->  ( A  ~<_  B  <->  -.  B  ~<  A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    e. wcel 1710   class class class wbr 4104    ~~ cen 6948    ~<_ cdom 6949    ~< csdm 6950   Fincfn 6951
This theorem is referenced by:  gchdomtri  8341  gchcda1  8368  frgpcyg  16633
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1930  ax-ext 2339  ax-sep 4222  ax-nul 4230  ax-pow 4269  ax-pr 4295  ax-un 4594
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2213  df-mo 2214  df-clab 2345  df-cleq 2351  df-clel 2354  df-nfc 2483  df-ne 2523  df-ral 2624  df-rex 2625  df-rab 2628  df-v 2866  df-sbc 3068  df-dif 3231  df-un 3233  df-in 3235  df-ss 3242  df-pss 3244  df-nul 3532  df-if 3642  df-pw 3703  df-sn 3722  df-pr 3723  df-tp 3724  df-op 3725  df-uni 3909  df-int 3944  df-br 4105  df-opab 4159  df-mpt 4160  df-tr 4195  df-eprel 4387  df-id 4391  df-po 4396  df-so 4397  df-fr 4434  df-we 4436  df-ord 4477  df-on 4478  df-lim 4479  df-suc 4480  df-om 4739  df-xp 4777  df-rel 4778  df-cnv 4779  df-co 4780  df-dm 4781  df-rn 4782  df-res 4783  df-ima 4784  df-iota 5301  df-fun 5339  df-fn 5340  df-f 5341  df-f1 5342  df-fo 5343  df-f1o 5344  df-fv 5345  df-er 6747  df-en 6952  df-dom 6953  df-sdom 6954  df-fin 6955  df-card 7662
  Copyright terms: Public domain W3C validator