MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fiidomfld Unicode version

Theorem fiidomfld 16296
Description: A finite integral domain is a field. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
fidomndrng.b  |-  B  =  ( Base `  R
)
Assertion
Ref Expression
fiidomfld  |-  ( B  e.  Fin  ->  ( R  e. IDomn  <->  R  e. Field ) )

Proof of Theorem fiidomfld
StepHypRef Expression
1 fidomndrng.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  R
)
21fidomndrng 16295 . . 3  |-  ( B  e.  Fin  ->  ( R  e. Domn  <->  R  e.  DivRing ) )
32anbi2d 685 . 2  |-  ( B  e.  Fin  ->  (
( R  e.  CRing  /\  R  e. Domn )  <->  ( R  e.  CRing  /\  R  e.  DivRing ) ) )
4 isidom 16292 . 2  |-  ( R  e. IDomn 
<->  ( R  e.  CRing  /\  R  e. Domn ) )
5 isfld 15772 . . 3  |-  ( R  e. Field 
<->  ( R  e.  DivRing  /\  R  e.  CRing ) )
6 ancom 438 . . 3  |-  ( ( R  e.  DivRing  /\  R  e.  CRing )  <->  ( R  e.  CRing  /\  R  e.  DivRing ) )
75, 6bitri 241 . 2  |-  ( R  e. Field 
<->  ( R  e.  CRing  /\  R  e.  DivRing ) )
83, 4, 73bitr4g 280 1  |-  ( B  e.  Fin  ->  ( R  e. IDomn  <->  R  e. Field ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717   ` cfv 5395   Fincfn 7046   Basecbs 13397   CRingccrg 15589   DivRingcdr 15763  Fieldcfield 15764  Domncdomn 16268  IDomncidom 16269
This theorem is referenced by:  znfld  16765
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2369  ax-rep 4262  ax-sep 4272  ax-nul 4280  ax-pow 4319  ax-pr 4345  ax-un 4642  ax-cnex 8980  ax-resscn 8981  ax-1cn 8982  ax-icn 8983  ax-addcl 8984  ax-addrcl 8985  ax-mulcl 8986  ax-mulrcl 8987  ax-mulcom 8988  ax-addass 8989  ax-mulass 8990  ax-distr 8991  ax-i2m1 8992  ax-1ne0 8993  ax-1rid 8994  ax-rnegex 8995  ax-rrecex 8996  ax-cnre 8997  ax-pre-lttri 8998  ax-pre-lttrn 8999  ax-pre-ltadd 9000  ax-pre-mulgt0 9001
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2243  df-mo 2244  df-clab 2375  df-cleq 2381  df-clel 2384  df-nfc 2513  df-ne 2553  df-nel 2554  df-ral 2655  df-rex 2656  df-reu 2657  df-rmo 2658  df-rab 2659  df-v 2902  df-sbc 3106  df-csb 3196  df-dif 3267  df-un 3269  df-in 3271  df-ss 3278  df-pss 3280  df-nul 3573  df-if 3684  df-pw 3745  df-sn 3764  df-pr 3765  df-tp 3766  df-op 3767  df-uni 3959  df-iun 4038  df-br 4155  df-opab 4209  df-mpt 4210  df-tr 4245  df-eprel 4436  df-id 4440  df-po 4445  df-so 4446  df-fr 4483  df-we 4485  df-ord 4526  df-on 4527  df-lim 4528  df-suc 4529  df-om 4787  df-xp 4825  df-rel 4826  df-cnv 4827  df-co 4828  df-dm 4829  df-rn 4830  df-res 4831  df-ima 4832  df-iota 5359  df-fun 5397  df-fn 5398  df-f 5399  df-f1 5400  df-fo 5401  df-f1o 5402  df-fv 5403  df-ov 6024  df-oprab 6025  df-mpt2 6026  df-1st 6289  df-2nd 6290  df-tpos 6416  df-riota 6486  df-recs 6570  df-rdg 6605  df-1o 6661  df-2o 6662  df-er 6842  df-map 6957  df-en 7047  df-dom 7048  df-sdom 7049  df-fin 7050  df-pnf 9056  df-mnf 9057  df-xr 9058  df-ltxr 9059  df-le 9060  df-sub 9226  df-neg 9227  df-nn 9934  df-2 9991  df-3 9992  df-ndx 13400  df-slot 13401  df-base 13402  df-sets 13403  df-ress 13404  df-plusg 13470  df-mulr 13471  df-0g 13655  df-mnd 14618  df-grp 14740  df-minusg 14741  df-sbg 14742  df-ghm 14932  df-mgp 15577  df-rng 15591  df-ur 15593  df-oppr 15656  df-dvdsr 15674  df-unit 15675  df-invr 15705  df-drng 15765  df-field 15766  df-nzr 16257  df-rlreg 16271  df-domn 16272  df-idom 16273
  Copyright terms: Public domain W3C validator