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Theorem fiin 7191
Description: The elements of  ( fi
`  C ) are closed under finite intersection. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
fiin  |-  ( ( A  e.  ( fi
`  C )  /\  B  e.  ( fi `  C ) )  -> 
( A  i^i  B
)  e.  ( fi
`  C ) )

Proof of Theorem fiin
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elfvex 5571 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ( fi `  C )  ->  C  e.  _V )
2 elfi 7183 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( fi
`  C )  /\  C  e.  _V )  ->  ( A  e.  ( fi `  C )  <->  E. x  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) A  =  |^| x ) )
31, 2mpdan 649 . . . . 5  |-  ( A  e.  ( fi `  C )  ->  ( A  e.  ( fi `  C )  <->  E. x  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) A  =  |^| x ) )
43ibi 232 . . . 4  |-  ( A  e.  ( fi `  C )  ->  E. x  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) A  =  |^| x )
54adantr 451 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( fi
`  C )  /\  B  e.  ( fi `  C ) )  ->  E. x  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) A  =  |^| x )
6 simpr 447 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( fi
`  C )  /\  B  e.  ( fi `  C ) )  ->  B  e.  ( fi `  C ) )
7 elfi 7183 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  ( fi
`  C )  /\  C  e.  _V )  ->  ( B  e.  ( fi `  C )  <->  E. y  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) B  =  |^| y ) )
87ancoms 439 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  _V  /\  B  e.  ( fi `  C ) )  -> 
( B  e.  ( fi `  C )  <->  E. y  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) B  =  |^| y ) )
91, 8sylan 457 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( fi
`  C )  /\  B  e.  ( fi `  C ) )  -> 
( B  e.  ( fi `  C )  <->  E. y  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) B  =  |^| y ) )
106, 9mpbid 201 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( fi
`  C )  /\  B  e.  ( fi `  C ) )  ->  E. y  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) B  =  |^| y )
11 elin 3371 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( ~P C  i^i  Fin )  <->  ( x  e.  ~P C  /\  x  e.  Fin ) )
12 elin 3371 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  ( ~P C  i^i  Fin )  <->  ( y  e.  ~P C  /\  y  e.  Fin ) )
13 elpwi 3646 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  ~P C  ->  x  C_  C )
14 elpwi 3646 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  e.  ~P C  -> 
y  C_  C )
1513, 14anim12i 549 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  ~P C  /\  y  e.  ~P C )  ->  (
x  C_  C  /\  y  C_  C ) )
16 unss 3362 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  C_  C  /\  y  C_  C )  <->  ( x  u.  y )  C_  C
)
1715, 16sylib 188 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  ~P C  /\  y  e.  ~P C )  ->  (
x  u.  y ) 
C_  C )
18 vex 2804 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  x  e. 
_V
19 vex 2804 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  y  e. 
_V
2018, 19unex 4534 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  u.  y )  e. 
_V
2120elpw 3644 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  u.  y )  e.  ~P C  <->  ( x  u.  y )  C_  C
)
2217, 21sylibr 203 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  ~P C  /\  y  e.  ~P C )  ->  (
x  u.  y )  e.  ~P C )
23 unfi 7140 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  Fin  /\  y  e.  Fin )  ->  ( x  u.  y
)  e.  Fin )
2422, 23anim12i 549 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  ~P C  /\  y  e.  ~P C )  /\  (
x  e.  Fin  /\  y  e.  Fin )
)  ->  ( (
x  u.  y )  e.  ~P C  /\  ( x  u.  y
)  e.  Fin )
)
2524an4s 799 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  ~P C  /\  x  e.  Fin )  /\  ( y  e. 
~P C  /\  y  e.  Fin ) )  -> 
( ( x  u.  y )  e.  ~P C  /\  ( x  u.  y )  e.  Fin ) )
2611, 12, 25syl2anb 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  ( ~P C  i^i  Fin )  /\  y  e.  ( ~P C  i^i  Fin )
)  ->  ( (
x  u.  y )  e.  ~P C  /\  ( x  u.  y
)  e.  Fin )
)
27 elin 3371 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  u.  y )  e.  ( ~P C  i^i  Fin )  <->  ( (
x  u.  y )  e.  ~P C  /\  ( x  u.  y
)  e.  Fin )
)
2826, 27sylibr 203 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ( ~P C  i^i  Fin )  /\  y  e.  ( ~P C  i^i  Fin )
)  ->  ( x  u.  y )  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) )
29 ineq12 3378 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  =  |^| x  /\  B  =  |^| y )  ->  ( A  i^i  B )  =  ( |^| x  i^i  |^| y ) )
30 intun 3910 . . . . . . . . 9  |-  |^| (
x  u.  y )  =  ( |^| x  i^i  |^| y )
3129, 30syl6eqr 2346 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  =  |^| x  /\  B  =  |^| y )  ->  ( A  i^i  B )  = 
|^| ( x  u.  y ) )
32 inteq 3881 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  ( x  u.  y )  ->  |^| z  =  |^| ( x  u.  y ) )
3332eqeq2d 2307 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  ( x  u.  y )  ->  (
( A  i^i  B
)  =  |^| z  <->  ( A  i^i  B )  =  |^| ( x  u.  y ) ) )
3433rspcev 2897 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  u.  y
)  e.  ( ~P C  i^i  Fin )  /\  ( A  i^i  B
)  =  |^| (
x  u.  y ) )  ->  E. z  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) ( A  i^i  B )  =  |^| z
)
3528, 31, 34syl2an 463 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  ( ~P C  i^i  Fin )  /\  y  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) )  /\  ( A  =  |^| x  /\  B  =  |^| y ) )  ->  E. z  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) ( A  i^i  B )  =  |^| z
)
3635an4s 799 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  ( ~P C  i^i  Fin )  /\  A  =  |^| x )  /\  (
y  e.  ( ~P C  i^i  Fin )  /\  B  =  |^| y ) )  ->  E. z  e.  ( ~P C  i^i  Fin )
( A  i^i  B
)  =  |^| z
)
3736expr 598 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  ( ~P C  i^i  Fin )  /\  A  =  |^| x )  /\  y  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) )  ->  ( B  =  |^| y  ->  E. z  e.  ( ~P C  i^i  Fin )
( A  i^i  B
)  =  |^| z
) )
3837rexlimdva 2680 . . . 4  |-  ( ( x  e.  ( ~P C  i^i  Fin )  /\  A  =  |^| x )  ->  ( E. y  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) B  =  |^| y  ->  E. z  e.  ( ~P C  i^i  Fin )
( A  i^i  B
)  =  |^| z
) )
3938rexlimiva 2675 . . 3  |-  ( E. x  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) A  =  |^| x  -> 
( E. y  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) B  =  |^| y  ->  E. z  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) ( A  i^i  B )  =  |^| z
) )
405, 10, 39sylc 56 . 2  |-  ( ( A  e.  ( fi
`  C )  /\  B  e.  ( fi `  C ) )  ->  E. z  e.  ( ~P C  i^i  Fin )
( A  i^i  B
)  =  |^| z
)
41 inex1g 4173 . . . 4  |-  ( A  e.  ( fi `  C )  ->  ( A  i^i  B )  e. 
_V )
42 elfi 7183 . . . 4  |-  ( ( ( A  i^i  B
)  e.  _V  /\  C  e.  _V )  ->  ( ( A  i^i  B )  e.  ( fi
`  C )  <->  E. z  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) ( A  i^i  B )  =  |^| z
) )
4341, 1, 42syl2anc 642 . . 3  |-  ( A  e.  ( fi `  C )  ->  (
( A  i^i  B
)  e.  ( fi
`  C )  <->  E. z  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) ( A  i^i  B )  =  |^| z
) )
4443adantr 451 . 2  |-  ( ( A  e.  ( fi
`  C )  /\  B  e.  ( fi `  C ) )  -> 
( ( A  i^i  B )  e.  ( fi
`  C )  <->  E. z  e.  ( ~P C  i^i  Fin ) ( A  i^i  B )  =  |^| z
) )
4540, 44mpbird 223 1  |-  ( ( A  e.  ( fi
`  C )  /\  B  e.  ( fi `  C ) )  -> 
( A  i^i  B
)  e.  ( fi
`  C ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   E.wrex 2557   _Vcvv 2801    u. cun 3163    i^i cin 3164    C_ wss 3165   ~Pcpw 3638   |^|cint 3878   ` cfv 5271   Fincfn 6879   ficfi 7180
This theorem is referenced by:  dffi2  7192  inficl  7194  elfiun  7199  dffi3  7200  fibas  16731  ordtbas2  16937  fsubbas  17578
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-oadd 6499  df-er 6676  df-en 6880  df-fin 6883  df-fi 7181
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