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Theorem filbcmb 26535
Description: Combine a finite set of lower bounds. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)
Assertion
Ref Expression
filbcmb  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A  =/=  (/)  /\  B  C_  RR )  ->  ( A. x  e.  A  E. y  e.  B  A. z  e.  B  (
y  <_  z  ->  ph )  ->  E. y  e.  B  A. z  e.  B  ( y  <_  z  ->  A. x  e.  A  ph ) ) )
Distinct variable groups:    x, A, y, z    x, B, y, z    ph, y
Allowed substitution hints:    ph( x, z)

Proof of Theorem filbcmb
Dummy variables  u  v  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 reex 8844 . . . . 5  |-  RR  e.  _V
21ssex 4174 . . . 4  |-  ( B 
C_  RR  ->  B  e. 
_V )
3 indexfi 7179 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  _V  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  A. z  e.  B  (
y  <_  z  ->  ph ) )  ->  E. w  e.  Fin  ( w  C_  B  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  w  A. z  e.  B  ( y  <_ 
z  ->  ph )  /\  A. y  e.  w  E. x  e.  A  A. z  e.  B  (
y  <_  z  ->  ph ) ) )
433expia 1153 . . . 4  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  _V )  ->  ( A. x  e.  A  E. y  e.  B  A. z  e.  B  ( y  <_ 
z  ->  ph )  ->  E. w  e.  Fin  ( w  C_  B  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  w  A. z  e.  B  (
y  <_  z  ->  ph )  /\  A. y  e.  w  E. x  e.  A  A. z  e.  B  ( y  <_  z  ->  ph ) ) ) )
52, 4sylan2 460 . . 3  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  C_  RR )  -> 
( A. x  e.  A  E. y  e.  B  A. z  e.  B  ( y  <_ 
z  ->  ph )  ->  E. w  e.  Fin  ( w  C_  B  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  w  A. z  e.  B  (
y  <_  z  ->  ph )  /\  A. y  e.  w  E. x  e.  A  A. z  e.  B  ( y  <_  z  ->  ph ) ) ) )
653adant2 974 . 2  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A  =/=  (/)  /\  B  C_  RR )  ->  ( A. x  e.  A  E. y  e.  B  A. z  e.  B  (
y  <_  z  ->  ph )  ->  E. w  e.  Fin  ( w  C_  B  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  w  A. z  e.  B  ( y  <_ 
z  ->  ph )  /\  A. y  e.  w  E. x  e.  A  A. z  e.  B  (
y  <_  z  ->  ph ) ) ) )
7 r19.2z 3556 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  w  A. z  e.  B  (
y  <_  z  ->  ph ) )  ->  E. x  e.  A  E. y  e.  w  A. z  e.  B  ( y  <_  z  ->  ph ) )
8 rexn0 3569 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( E. y  e.  w  A. z  e.  B  (
y  <_  z  ->  ph )  ->  w  =/=  (/) )
98rexlimivw 2676 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E. x  e.  A  E. y  e.  w  A. z  e.  B  (
y  <_  z  ->  ph )  ->  w  =/=  (/) )
107, 9syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  w  A. z  e.  B  (
y  <_  z  ->  ph ) )  ->  w  =/=  (/) )
1110ex 423 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  =/=  (/)  ->  ( A. x  e.  A  E. y  e.  w  A. z  e.  B  (
y  <_  z  ->  ph )  ->  w  =/=  (/) ) )
12113ad2ant2 977 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A  =/=  (/)  /\  B  C_  RR )  ->  ( A. x  e.  A  E. y  e.  w  A. z  e.  B  (
y  <_  z  ->  ph )  ->  w  =/=  (/) ) )
1312ad2antrr 706 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e. 
Fin  /\  A  =/=  (/) 
/\  B  C_  RR )  /\  w  e.  Fin )  /\  w  C_  B
)  ->  ( A. x  e.  A  E. y  e.  w  A. z  e.  B  (
y  <_  z  ->  ph )  ->  w  =/=  (/) ) )
14 sstr 3200 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( w  C_  B  /\  B  C_  RR )  ->  w  C_  RR )
1514ancoms 439 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( B  C_  RR  /\  w  C_  B )  ->  w  C_  RR )
16 fimaxre 9717 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( w  C_  RR  /\  w  e.  Fin  /\  w  =/=  (/) )  ->  E. y  e.  w  A. u  e.  w  u  <_  y )
17163expia 1153 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( w  C_  RR  /\  w  e.  Fin )  ->  (
w  =/=  (/)  ->  E. y  e.  w  A. u  e.  w  u  <_  y ) )
1815, 17sylan 457 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( B  C_  RR  /\  w  C_  B )  /\  w  e.  Fin )  ->  ( w  =/=  (/)  ->  E. y  e.  w  A. u  e.  w  u  <_  y ) )
1918anasss 628 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( B  C_  RR  /\  (
w  C_  B  /\  w  e.  Fin )
)  ->  ( w  =/=  (/)  ->  E. y  e.  w  A. u  e.  w  u  <_  y ) )
2019ancom2s 777 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( B  C_  RR  /\  (
w  e.  Fin  /\  w  C_  B ) )  ->  ( w  =/=  (/)  ->  E. y  e.  w  A. u  e.  w  u  <_  y ) )
21203ad2antl3 1119 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  A  =/=  (/)  /\  B  C_  RR )  /\  (
w  e.  Fin  /\  w  C_  B ) )  ->  ( w  =/=  (/)  ->  E. y  e.  w  A. u  e.  w  u  <_  y ) )
2221anassrs 629 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e. 
Fin  /\  A  =/=  (/) 
/\  B  C_  RR )  /\  w  e.  Fin )  /\  w  C_  B
)  ->  ( w  =/=  (/)  ->  E. y  e.  w  A. u  e.  w  u  <_  y ) )
2313, 22syld 40 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e. 
Fin  /\  A  =/=  (/) 
/\  B  C_  RR )  /\  w  e.  Fin )  /\  w  C_  B
)  ->  ( A. x  e.  A  E. y  e.  w  A. z  e.  B  (
y  <_  z  ->  ph )  ->  E. y  e.  w  A. u  e.  w  u  <_  y ) )
2423a1dd 42 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e. 
Fin  /\  A  =/=  (/) 
/\  B  C_  RR )  /\  w  e.  Fin )  /\  w  C_  B
)  ->  ( A. x  e.  A  E. y  e.  w  A. z  e.  B  (
y  <_  z  ->  ph )  ->  ( A. y  e.  w  E. x  e.  A  A. z  e.  B  (
y  <_  z  ->  ph )  ->  E. y  e.  w  A. u  e.  w  u  <_  y ) ) )
2524ex 423 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  A  =/=  (/)  /\  B  C_  RR )  /\  w  e.  Fin )  ->  (
w  C_  B  ->  ( A. x  e.  A  E. y  e.  w  A. z  e.  B  ( y  <_  z  ->  ph )  ->  ( A. y  e.  w  E. x  e.  A  A. z  e.  B  ( y  <_  z  ->  ph )  ->  E. y  e.  w  A. u  e.  w  u  <_  y ) ) ) )
26253impd 1165 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  A  =/=  (/)  /\  B  C_  RR )  /\  w  e.  Fin )  ->  (
( w  C_  B  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  w  A. z  e.  B  ( y  <_  z  ->  ph )  /\  A. y  e.  w  E. x  e.  A  A. z  e.  B  (
y  <_  z  ->  ph ) )  ->  E. y  e.  w  A. u  e.  w  u  <_  y ) )
27 nfv 1609 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ y ( B  C_  RR  /\  w  C_  B )
28 nfcv 2432 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ y A
29 nfre1 2612 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ y E. y  e.  w  A. z  e.  B  ( y  <_  z  ->  ph )
3028, 29nfral 2609 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ y A. x  e.  A  E. y  e.  w  A. z  e.  B  ( y  <_  z  ->  ph )
3127, 30nfan 1783 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ y ( ( B  C_  RR  /\  w  C_  B
)  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  w  A. z  e.  B  ( y  <_  z  ->  ph ) )
32 nfv 1609 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/ z ( B  C_  RR  /\  w  C_  B )
33 nfcv 2432 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/_ z A
34 nfcv 2432 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/_ z
w
35 nfra1 2606 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/ z A. z  e.  B  ( y  <_  z  ->  ph )
3634, 35nfrex 2611 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/ z E. y  e.  w  A. z  e.  B  ( y  <_  z  ->  ph )
3733, 36nfral 2609 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/ z A. x  e.  A  E. y  e.  w  A. z  e.  B  ( y  <_  z  ->  ph )
3832, 37nfan 1783 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ z ( ( B  C_  RR  /\  w  C_  B
)  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  w  A. z  e.  B  ( y  <_  z  ->  ph ) )
39 nfv 1609 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ z ( y  e.  w  /\  A. u  e.  w  u  <_  y )
4038, 39nfan 1783 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ z ( ( ( B 
C_  RR  /\  w  C_  B )  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  w  A. z  e.  B  (
y  <_  z  ->  ph ) )  /\  (
y  e.  w  /\  A. u  e.  w  u  <_  y ) )
41 breq1 4042 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( y  =  v  ->  (
y  <_  z  <->  v  <_  z ) )
4241imbi1d 308 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( y  =  v  ->  (
( y  <_  z  ->  ph )  <->  ( v  <_  z  ->  ph ) ) )
4342ralbidv 2576 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( y  =  v  ->  ( A. z  e.  B  ( y  <_  z  ->  ph )  <->  A. z  e.  B  ( v  <_  z  ->  ph ) ) )
4443cbvrexv 2778 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( E. y  e.  w  A. z  e.  B  (
y  <_  z  ->  ph )  <->  E. v  e.  w  A. z  e.  B  ( v  <_  z  ->  ph ) )
45 rsp 2616 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( A. z  e.  B  (
v  <_  z  ->  ph )  ->  ( z  e.  B  ->  ( v  <_  z  ->  ph )
) )
46 ssel2 3188 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( w  C_  B  /\  v  e.  w )  ->  v  e.  B )
47 ssel2 3188 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( B  C_  RR  /\  v  e.  B )  ->  v  e.  RR )
4846, 47sylan2 460 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( B  C_  RR  /\  (
w  C_  B  /\  v  e.  w )
)  ->  v  e.  RR )
4948anassrs 629 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( B  C_  RR  /\  w  C_  B )  /\  v  e.  w
)  ->  v  e.  RR )
5049adantlr 695 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( B  C_  RR  /\  w  C_  B
)  /\  ( y  e.  w  /\  A. u  e.  w  u  <_  y ) )  /\  v  e.  w )  ->  v  e.  RR )
5150adantlr 695 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ( B 
C_  RR  /\  w  C_  B )  /\  (
y  e.  w  /\  A. u  e.  w  u  <_  y ) )  /\  ( z  e.  B  /\  y  <_ 
z ) )  /\  v  e.  w )  ->  v  e.  RR )
52 ssel2 3188 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( w  C_  B  /\  y  e.  w )  ->  y  e.  B )
53 ssel2 3188 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( B  C_  RR  /\  y  e.  B )  ->  y  e.  RR )
5452, 53sylan2 460 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( B  C_  RR  /\  (
w  C_  B  /\  y  e.  w )
)  ->  y  e.  RR )
5554anassrs 629 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( B  C_  RR  /\  w  C_  B )  /\  y  e.  w
)  ->  y  e.  RR )
5655adantrr 697 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( B  C_  RR  /\  w  C_  B )  /\  ( y  e.  w  /\  A. u  e.  w  u  <_  y ) )  ->  y  e.  RR )
5756ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ( B 
C_  RR  /\  w  C_  B )  /\  (
y  e.  w  /\  A. u  e.  w  u  <_  y ) )  /\  ( z  e.  B  /\  y  <_ 
z ) )  /\  v  e.  w )  ->  y  e.  RR )
58 ssel2 3188 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( B  C_  RR  /\  z  e.  B )  ->  z  e.  RR )
5958adantlr 695 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( B  C_  RR  /\  w  C_  B )  /\  z  e.  B
)  ->  z  e.  RR )
6059ad2ant2r 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( B  C_  RR  /\  w  C_  B
)  /\  ( y  e.  w  /\  A. u  e.  w  u  <_  y ) )  /\  (
z  e.  B  /\  y  <_  z ) )  ->  z  e.  RR )
6160adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ( B 
C_  RR  /\  w  C_  B )  /\  (
y  e.  w  /\  A. u  e.  w  u  <_  y ) )  /\  ( z  e.  B  /\  y  <_ 
z ) )  /\  v  e.  w )  ->  z  e.  RR )
62 breq1 4042 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( u  =  v  ->  (
u  <_  y  <->  v  <_  y ) )
6362rspccva 2896 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( A. u  e.  w  u  <_  y  /\  v  e.  w )  ->  v  <_  y )
6463adantll 694 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( y  e.  w  /\  A. u  e.  w  u  <_  y )  /\  v  e.  w )  ->  v  <_  y )
6564adantll 694 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( B  C_  RR  /\  w  C_  B
)  /\  ( y  e.  w  /\  A. u  e.  w  u  <_  y ) )  /\  v  e.  w )  ->  v  <_  y )
6665adantlr 695 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ( B 
C_  RR  /\  w  C_  B )  /\  (
y  e.  w  /\  A. u  e.  w  u  <_  y ) )  /\  ( z  e.  B  /\  y  <_ 
z ) )  /\  v  e.  w )  ->  v  <_  y )
67 simplrr 737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ( B 
C_  RR  /\  w  C_  B )  /\  (
y  e.  w  /\  A. u  e.  w  u  <_  y ) )  /\  ( z  e.  B  /\  y  <_ 
z ) )  /\  v  e.  w )  ->  y  <_  z )
6851, 57, 61, 66, 67letrd 8989 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ( B 
C_  RR  /\  w  C_  B )  /\  (
y  e.  w  /\  A. u  e.  w  u  <_  y ) )  /\  ( z  e.  B  /\  y  <_ 
z ) )  /\  v  e.  w )  ->  v  <_  z )
69 pm2.27 35 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( z  e.  B  ->  (
( z  e.  B  ->  ( v  <_  z  ->  ph ) )  -> 
( v  <_  z  ->  ph ) ) )
7069adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( z  e.  B  /\  y  <_  z )  -> 
( ( z  e.  B  ->  ( v  <_  z  ->  ph ) )  ->  ( v  <_ 
z  ->  ph ) ) )
7170ad2antlr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ( B 
C_  RR  /\  w  C_  B )  /\  (
y  e.  w  /\  A. u  e.  w  u  <_  y ) )  /\  ( z  e.  B  /\  y  <_ 
z ) )  /\  v  e.  w )  ->  ( ( z  e.  B  ->  ( v  <_  z  ->  ph ) )  ->  ( v  <_ 
z  ->  ph ) ) )
7268, 71mpid 37 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( B 
C_  RR  /\  w  C_  B )  /\  (
y  e.  w  /\  A. u  e.  w  u  <_  y ) )  /\  ( z  e.  B  /\  y  <_ 
z ) )  /\  v  e.  w )  ->  ( ( z  e.  B  ->  ( v  <_  z  ->  ph ) )  ->  ph ) )
7345, 72syl5 28 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( B 
C_  RR  /\  w  C_  B )  /\  (
y  e.  w  /\  A. u  e.  w  u  <_  y ) )  /\  ( z  e.  B  /\  y  <_ 
z ) )  /\  v  e.  w )  ->  ( A. z  e.  B  ( v  <_ 
z  ->  ph )  ->  ph ) )
7473adantlr 695 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( ( B  C_  RR  /\  w  C_  B )  /\  (
y  e.  w  /\  A. u  e.  w  u  <_  y ) )  /\  ( z  e.  B  /\  y  <_ 
z ) )  /\  x  e.  A )  /\  v  e.  w
)  ->  ( A. z  e.  B  (
v  <_  z  ->  ph )  ->  ph ) )
7574rexlimdva 2680 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( B 
C_  RR  /\  w  C_  B )  /\  (
y  e.  w  /\  A. u  e.  w  u  <_  y ) )  /\  ( z  e.  B  /\  y  <_ 
z ) )  /\  x  e.  A )  ->  ( E. v  e.  w  A. z  e.  B  ( v  <_ 
z  ->  ph )  ->  ph ) )
7644, 75syl5bi 208 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( B 
C_  RR  /\  w  C_  B )  /\  (
y  e.  w  /\  A. u  e.  w  u  <_  y ) )  /\  ( z  e.  B  /\  y  <_ 
z ) )  /\  x  e.  A )  ->  ( E. y  e.  w  A. z  e.  B  ( y  <_ 
z  ->  ph )  ->  ph ) )
7776ralimdva 2634 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( B  C_  RR  /\  w  C_  B
)  /\  ( y  e.  w  /\  A. u  e.  w  u  <_  y ) )  /\  (
z  e.  B  /\  y  <_  z ) )  ->  ( A. x  e.  A  E. y  e.  w  A. z  e.  B  ( y  <_  z  ->  ph )  ->  A. x  e.  A  ph ) )
7877imp 418 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( B 
C_  RR  /\  w  C_  B )  /\  (
y  e.  w  /\  A. u  e.  w  u  <_  y ) )  /\  ( z  e.  B  /\  y  <_ 
z ) )  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  w  A. z  e.  B  (
y  <_  z  ->  ph ) )  ->  A. x  e.  A  ph )
7978an32s 779 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( B 
C_  RR  /\  w  C_  B )  /\  (
y  e.  w  /\  A. u  e.  w  u  <_  y ) )  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  w  A. z  e.  B  ( y  <_ 
z  ->  ph ) )  /\  ( z  e.  B  /\  y  <_ 
z ) )  ->  A. x  e.  A  ph )
8079exp32 588 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( B  C_  RR  /\  w  C_  B
)  /\  ( y  e.  w  /\  A. u  e.  w  u  <_  y ) )  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  w  A. z  e.  B  (
y  <_  z  ->  ph ) )  ->  (
z  e.  B  -> 
( y  <_  z  ->  A. x  e.  A  ph ) ) )
8180an32s 779 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( B  C_  RR  /\  w  C_  B
)  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  w  A. z  e.  B  ( y  <_  z  ->  ph ) )  /\  ( y  e.  w  /\  A. u  e.  w  u  <_  y ) )  ->  (
z  e.  B  -> 
( y  <_  z  ->  A. x  e.  A  ph ) ) )
8240, 81ralrimi 2637 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( B  C_  RR  /\  w  C_  B
)  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  w  A. z  e.  B  ( y  <_  z  ->  ph ) )  /\  ( y  e.  w  /\  A. u  e.  w  u  <_  y ) )  ->  A. z  e.  B  ( y  <_  z  ->  A. x  e.  A  ph ) )
8382exp32 588 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( B  C_  RR  /\  w  C_  B )  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  w  A. z  e.  B  ( y  <_  z  ->  ph ) )  -> 
( y  e.  w  ->  ( A. u  e.  w  u  <_  y  ->  A. z  e.  B  ( y  <_  z  ->  A. x  e.  A  ph ) ) ) )
8431, 83reximdai 2664 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( B  C_  RR  /\  w  C_  B )  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  w  A. z  e.  B  ( y  <_  z  ->  ph ) )  -> 
( E. y  e.  w  A. u  e.  w  u  <_  y  ->  E. y  e.  w  A. z  e.  B  ( y  <_  z  ->  A. x  e.  A  ph ) ) )
8584adantrr 697 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( B  C_  RR  /\  w  C_  B )  /\  ( A. x  e.  A  E. y  e.  w  A. z  e.  B  ( y  <_ 
z  ->  ph )  /\  A. y  e.  w  E. x  e.  A  A. z  e.  B  (
y  <_  z  ->  ph ) ) )  -> 
( E. y  e.  w  A. u  e.  w  u  <_  y  ->  E. y  e.  w  A. z  e.  B  ( y  <_  z  ->  A. x  e.  A  ph ) ) )
86 ssrexv 3251 . . . . . . . . . 10  |-  ( w 
C_  B  ->  ( E. y  e.  w  A. z  e.  B  ( y  <_  z  ->  A. x  e.  A  ph )  ->  E. y  e.  B  A. z  e.  B  ( y  <_  z  ->  A. x  e.  A  ph ) ) )
8786ad2antlr 707 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( B  C_  RR  /\  w  C_  B )  /\  ( A. x  e.  A  E. y  e.  w  A. z  e.  B  ( y  <_ 
z  ->  ph )  /\  A. y  e.  w  E. x  e.  A  A. z  e.  B  (
y  <_  z  ->  ph ) ) )  -> 
( E. y  e.  w  A. z  e.  B  ( y  <_ 
z  ->  A. x  e.  A  ph )  ->  E. y  e.  B  A. z  e.  B  ( y  <_  z  ->  A. x  e.  A  ph ) ) )
8885, 87syld 40 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( B  C_  RR  /\  w  C_  B )  /\  ( A. x  e.  A  E. y  e.  w  A. z  e.  B  ( y  <_ 
z  ->  ph )  /\  A. y  e.  w  E. x  e.  A  A. z  e.  B  (
y  <_  z  ->  ph ) ) )  -> 
( E. y  e.  w  A. u  e.  w  u  <_  y  ->  E. y  e.  B  A. z  e.  B  ( y  <_  z  ->  A. x  e.  A  ph ) ) )
8988exp43 595 . . . . . . 7  |-  ( B 
C_  RR  ->  ( w 
C_  B  ->  ( A. x  e.  A  E. y  e.  w  A. z  e.  B  ( y  <_  z  ->  ph )  ->  ( A. y  e.  w  E. x  e.  A  A. z  e.  B  ( y  <_  z  ->  ph )  ->  ( E. y  e.  w  A. u  e.  w  u  <_  y  ->  E. y  e.  B  A. z  e.  B  ( y  <_  z  ->  A. x  e.  A  ph ) ) ) ) ) )
90893impd 1165 . . . . . 6  |-  ( B 
C_  RR  ->  ( ( w  C_  B  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  w  A. z  e.  B  (
y  <_  z  ->  ph )  /\  A. y  e.  w  E. x  e.  A  A. z  e.  B  ( y  <_  z  ->  ph ) )  ->  ( E. y  e.  w  A. u  e.  w  u  <_  y  ->  E. y  e.  B  A. z  e.  B  ( y  <_  z  ->  A. x  e.  A  ph ) ) ) )
91903ad2ant3 978 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A  =/=  (/)  /\  B  C_  RR )  ->  ( ( w  C_  B  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  w  A. z  e.  B  (
y  <_  z  ->  ph )  /\  A. y  e.  w  E. x  e.  A  A. z  e.  B  ( y  <_  z  ->  ph ) )  ->  ( E. y  e.  w  A. u  e.  w  u  <_  y  ->  E. y  e.  B  A. z  e.  B  ( y  <_  z  ->  A. x  e.  A  ph ) ) ) )
9291adantr 451 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  A  =/=  (/)  /\  B  C_  RR )  /\  w  e.  Fin )  ->  (
( w  C_  B  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  w  A. z  e.  B  ( y  <_  z  ->  ph )  /\  A. y  e.  w  E. x  e.  A  A. z  e.  B  (
y  <_  z  ->  ph ) )  ->  ( E. y  e.  w  A. u  e.  w  u  <_  y  ->  E. y  e.  B  A. z  e.  B  ( y  <_  z  ->  A. x  e.  A  ph ) ) ) )
9326, 92mpdd 36 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  A  =/=  (/)  /\  B  C_  RR )  /\  w  e.  Fin )  ->  (
( w  C_  B  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  w  A. z  e.  B  ( y  <_  z  ->  ph )  /\  A. y  e.  w  E. x  e.  A  A. z  e.  B  (
y  <_  z  ->  ph ) )  ->  E. y  e.  B  A. z  e.  B  ( y  <_  z  ->  A. x  e.  A  ph ) ) )
9493rexlimdva 2680 . 2  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A  =/=  (/)  /\  B  C_  RR )  ->  ( E. w  e.  Fin  (
w  C_  B  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  w  A. z  e.  B  (
y  <_  z  ->  ph )  /\  A. y  e.  w  E. x  e.  A  A. z  e.  B  ( y  <_  z  ->  ph ) )  ->  E. y  e.  B  A. z  e.  B  ( y  <_  z  ->  A. x  e.  A  ph ) ) )
956, 94syld 40 1  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A  =/=  (/)  /\  B  C_  RR )  ->  ( A. x  e.  A  E. y  e.  B  A. z  e.  B  (
y  <_  z  ->  ph )  ->  E. y  e.  B  A. z  e.  B  ( y  <_  z  ->  A. x  e.  A  ph ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696    =/= wne 2459   A.wral 2556   E.wrex 2557   _Vcvv 2801    C_ wss 3165   (/)c0 3468   class class class wbr 4039   Fincfn 6879   RRcr 8752    <_ cle 8884
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-1o 6495  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889
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