MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  filcon Structured version   Unicode version

Theorem filcon 17915
Description: A filter gives rise to a connected topology. (Contributed by Jeff Hankins, 6-Dec-2009.) (Revised by Stefan O'Rear, 2-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
filcon  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  ( F  u.  { (/) } )  e. 
Con )

Proof of Theorem filcon
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 id 20 . . 3  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  F  e.  ( Fil `  X ) )
2 filunibas 17913 . . . 4  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  U. F  =  X )
32fveq2d 5732 . . 3  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  ( Fil ` 
U. F )  =  ( Fil `  X
) )
41, 3eleqtrrd 2513 . 2  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  F  e.  ( Fil `  U. F
) )
5 nss 3406 . . . . . . . 8  |-  ( -.  x  C_  { (/) }  <->  E. y
( y  e.  x  /\  -.  y  e.  { (/)
} ) )
6 simpll 731 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  U. F
)  /\  x  C_  ( F  u.  { (/) } ) )  /\  ( y  e.  x  /\  -.  y  e.  { (/) } ) )  ->  F  e.  ( Fil `  U. F
) )
7 ssel2 3343 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  C_  ( F  u.  { (/) } )  /\  y  e.  x )  ->  y  e.  ( F  u.  { (/) } ) )
87adantll 695 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  U. F
)  /\  x  C_  ( F  u.  { (/) } ) )  /\  y  e.  x )  ->  y  e.  ( F  u.  { (/)
} ) )
9 elun 3488 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  e.  ( F  u.  {
(/) } )  <->  ( y  e.  F  \/  y  e.  { (/) } ) )
108, 9sylib 189 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  U. F
)  /\  x  C_  ( F  u.  { (/) } ) )  /\  y  e.  x )  ->  (
y  e.  F  \/  y  e.  { (/) } ) )
1110orcomd 378 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  U. F
)  /\  x  C_  ( F  u.  { (/) } ) )  /\  y  e.  x )  ->  (
y  e.  { (/) }  \/  y  e.  F
) )
1211ord 367 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  U. F
)  /\  x  C_  ( F  u.  { (/) } ) )  /\  y  e.  x )  ->  ( -.  y  e.  { (/) }  ->  y  e.  F
) )
1312impr 603 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  U. F
)  /\  x  C_  ( F  u.  { (/) } ) )  /\  ( y  e.  x  /\  -.  y  e.  { (/) } ) )  ->  y  e.  F )
14 uniss 4036 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x 
C_  ( F  u.  {
(/) } )  ->  U. x  C_ 
U. ( F  u.  {
(/) } ) )
1514ad2antlr 708 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  U. F
)  /\  x  C_  ( F  u.  { (/) } ) )  /\  ( y  e.  x  /\  -.  y  e.  { (/) } ) )  ->  U. x  C_ 
U. ( F  u.  {
(/) } ) )
16 uniun 4034 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  U. ( F  u.  { (/) } )  =  ( U. F  u.  U. { (/) } )
17 0ex 4339 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  (/)  e.  _V
1817unisn 4031 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  U. { (/)
}  =  (/)
1918uneq2i 3498 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( U. F  u.  U. { (/) } )  =  ( U. F  u.  (/) )
20 un0 3652 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( U. F  u.  (/) )  = 
U. F
2116, 19, 203eqtrri 2461 . . . . . . . . . . . . 13  |-  U. F  =  U. ( F  u.  {
(/) } )
2215, 21syl6sseqr 3395 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  U. F
)  /\  x  C_  ( F  u.  { (/) } ) )  /\  ( y  e.  x  /\  -.  y  e.  { (/) } ) )  ->  U. x  C_ 
U. F )
23 elssuni 4043 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  x  ->  y  C_ 
U. x )
2423ad2antrl 709 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  U. F
)  /\  x  C_  ( F  u.  { (/) } ) )  /\  ( y  e.  x  /\  -.  y  e.  { (/) } ) )  ->  y  C_  U. x )
25 filss 17885 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  U. F )  /\  ( y  e.  F  /\  U. x  C_  U. F  /\  y  C_  U. x
) )  ->  U. x  e.  F )
266, 13, 22, 24, 25syl13anc 1186 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  U. F
)  /\  x  C_  ( F  u.  { (/) } ) )  /\  ( y  e.  x  /\  -.  y  e.  { (/) } ) )  ->  U. x  e.  F )
27 elun1 3514 . . . . . . . . . . 11  |-  ( U. x  e.  F  ->  U. x  e.  ( F  u.  { (/) } ) )
2826, 27syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  U. F
)  /\  x  C_  ( F  u.  { (/) } ) )  /\  ( y  e.  x  /\  -.  y  e.  { (/) } ) )  ->  U. x  e.  ( F  u.  { (/)
} ) )
2928ex 424 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  U. F )  /\  x  C_  ( F  u.  {
(/) } ) )  -> 
( ( y  e.  x  /\  -.  y  e.  { (/) } )  ->  U. x  e.  ( F  u.  { (/) } ) ) )
3029exlimdv 1646 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  U. F )  /\  x  C_  ( F  u.  {
(/) } ) )  -> 
( E. y ( y  e.  x  /\  -.  y  e.  { (/) } )  ->  U. x  e.  ( F  u.  { (/)
} ) ) )
315, 30syl5bi 209 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  U. F )  /\  x  C_  ( F  u.  {
(/) } ) )  -> 
( -.  x  C_  {
(/) }  ->  U. x  e.  ( F  u.  { (/)
} ) ) )
32 uni0b 4040 . . . . . . . 8  |-  ( U. x  =  (/)  <->  x  C_  { (/) } )
33 ssun2 3511 . . . . . . . . . 10  |-  { (/) } 
C_  ( F  u.  {
(/) } )
3417snid 3841 . . . . . . . . . 10  |-  (/)  e.  { (/)
}
3533, 34sselii 3345 . . . . . . . . 9  |-  (/)  e.  ( F  u.  { (/) } )
36 eleq1 2496 . . . . . . . . 9  |-  ( U. x  =  (/)  ->  ( U. x  e.  ( F  u.  { (/) } )  <->  (/) 
e.  ( F  u.  {
(/) } ) ) )
3735, 36mpbiri 225 . . . . . . . 8  |-  ( U. x  =  (/)  ->  U. x  e.  ( F  u.  { (/)
} ) )
3832, 37sylbir 205 . . . . . . 7  |-  ( x 
C_  { (/) }  ->  U. x  e.  ( F  u.  { (/) } ) )
3931, 38pm2.61d2 154 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  U. F )  /\  x  C_  ( F  u.  {
(/) } ) )  ->  U. x  e.  ( F  u.  { (/) } ) )
4039ex 424 . . . . 5  |-  ( F  e.  ( Fil `  U. F )  ->  (
x  C_  ( F  u.  { (/) } )  ->  U. x  e.  ( F  u.  { (/) } ) ) )
4140alrimiv 1641 . . . 4  |-  ( F  e.  ( Fil `  U. F )  ->  A. x
( x  C_  ( F  u.  { (/) } )  ->  U. x  e.  ( F  u.  { (/) } ) ) )
42 filin 17886 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  U. F )  /\  x  e.  F  /\  y  e.  F )  ->  ( x  i^i  y
)  e.  F )
43 elun1 3514 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  i^i  y )  e.  F  ->  (
x  i^i  y )  e.  ( F  u.  { (/)
} ) )
4442, 43syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  U. F )  /\  x  e.  F  /\  y  e.  F )  ->  ( x  i^i  y
)  e.  ( F  u.  { (/) } ) )
45443expa 1153 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F  e.  ( Fil `  U. F
)  /\  x  e.  F )  /\  y  e.  F )  ->  (
x  i^i  y )  e.  ( F  u.  { (/)
} ) )
4645ralrimiva 2789 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  U. F )  /\  x  e.  F )  ->  A. y  e.  F  ( x  i^i  y
)  e.  ( F  u.  { (/) } ) )
47 elsni 3838 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  { (/) }  ->  y  =  (/) )
48 ineq2 3536 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  (/)  ->  ( x  i^i  y )  =  ( x  i^i  (/) ) )
49 in0 3653 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  i^i  (/) )  =  (/)
5048, 49syl6eq 2484 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  (/)  ->  ( x  i^i  y )  =  (/) )
5150, 35syl6eqel 2524 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  (/)  ->  ( x  i^i  y )  e.  ( F  u.  { (/)
} ) )
5247, 51syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  { (/) }  ->  ( x  i^i  y )  e.  ( F  u.  {
(/) } ) )
5352rgen 2771 . . . . . . 7  |-  A. y  e.  { (/) }  ( x  i^i  y )  e.  ( F  u.  { (/)
} )
54 ralun 3529 . . . . . . 7  |-  ( ( A. y  e.  F  ( x  i^i  y
)  e.  ( F  u.  { (/) } )  /\  A. y  e. 
{ (/) }  ( x  i^i  y )  e.  ( F  u.  { (/)
} ) )  ->  A. y  e.  ( F  u.  { (/) } ) ( x  i^i  y
)  e.  ( F  u.  { (/) } ) )
5546, 53, 54sylancl 644 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  U. F )  /\  x  e.  F )  ->  A. y  e.  ( F  u.  { (/) } ) ( x  i^i  y )  e.  ( F  u.  { (/) } ) )
5655ralrimiva 2789 . . . . 5  |-  ( F  e.  ( Fil `  U. F )  ->  A. x  e.  F  A. y  e.  ( F  u.  { (/)
} ) ( x  i^i  y )  e.  ( F  u.  { (/)
} ) )
57 elsni 3838 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  { (/) }  ->  x  =  (/) )
58 ineq1 3535 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  (/)  ->  ( x  i^i  y )  =  ( (/)  i^i  y
) )
59 0ss 3656 . . . . . . . . . . 11  |-  (/)  C_  y
60 df-ss 3334 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (/)  C_  y  <->  ( (/)  i^i  y
)  =  (/) )
6159, 60mpbi 200 . . . . . . . . . 10  |-  ( (/)  i^i  y )  =  (/)
6258, 61syl6eq 2484 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  (/)  ->  ( x  i^i  y )  =  (/) )
6362, 35syl6eqel 2524 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  (/)  ->  ( x  i^i  y )  e.  ( F  u.  { (/)
} ) )
6463ralrimivw 2790 . . . . . . 7  |-  ( x  =  (/)  ->  A. y  e.  ( F  u.  { (/)
} ) ( x  i^i  y )  e.  ( F  u.  { (/)
} ) )
6557, 64syl 16 . . . . . 6  |-  ( x  e.  { (/) }  ->  A. y  e.  ( F  u.  { (/) } ) ( x  i^i  y
)  e.  ( F  u.  { (/) } ) )
6665rgen 2771 . . . . 5  |-  A. x  e.  { (/) } A. y  e.  ( F  u.  { (/)
} ) ( x  i^i  y )  e.  ( F  u.  { (/)
} )
67 ralun 3529 . . . . 5  |-  ( ( A. x  e.  F  A. y  e.  ( F  u.  { (/) } ) ( x  i^i  y
)  e.  ( F  u.  { (/) } )  /\  A. x  e. 
{ (/) } A. y  e.  ( F  u.  { (/)
} ) ( x  i^i  y )  e.  ( F  u.  { (/)
} ) )  ->  A. x  e.  ( F  u.  { (/) } ) A. y  e.  ( F  u.  { (/) } ) ( x  i^i  y )  e.  ( F  u.  { (/) } ) )
6856, 66, 67sylancl 644 . . . 4  |-  ( F  e.  ( Fil `  U. F )  ->  A. x  e.  ( F  u.  { (/)
} ) A. y  e.  ( F  u.  { (/)
} ) ( x  i^i  y )  e.  ( F  u.  { (/)
} ) )
69 p0ex 4386 . . . . . 6  |-  { (/) }  e.  _V
70 unexg 4710 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  U. F )  /\  {
(/) }  e.  _V )  ->  ( F  u.  {
(/) } )  e.  _V )
7169, 70mpan2 653 . . . . 5  |-  ( F  e.  ( Fil `  U. F )  ->  ( F  u.  { (/) } )  e.  _V )
72 istopg 16968 . . . . 5  |-  ( ( F  u.  { (/) } )  e.  _V  ->  ( ( F  u.  { (/)
} )  e.  Top  <->  ( A. x ( x  C_  ( F  u.  { (/) } )  ->  U. x  e.  ( F  u.  { (/)
} ) )  /\  A. x  e.  ( F  u.  { (/) } ) A. y  e.  ( F  u.  { (/) } ) ( x  i^i  y )  e.  ( F  u.  { (/) } ) ) ) )
7371, 72syl 16 . . . 4  |-  ( F  e.  ( Fil `  U. F )  ->  (
( F  u.  { (/)
} )  e.  Top  <->  ( A. x ( x  C_  ( F  u.  { (/) } )  ->  U. x  e.  ( F  u.  { (/)
} ) )  /\  A. x  e.  ( F  u.  { (/) } ) A. y  e.  ( F  u.  { (/) } ) ( x  i^i  y )  e.  ( F  u.  { (/) } ) ) ) )
7441, 68, 73mpbir2and 889 . . 3  |-  ( F  e.  ( Fil `  U. F )  ->  ( F  u.  { (/) } )  e.  Top )
7521cldopn 17095 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( Clsd `  ( F  u.  { (/) } ) )  ->  ( U. F  \  x )  e.  ( F  u.  { (/)
} ) )
76 elun 3488 . . . . . . . 8  |-  ( ( U. F  \  x
)  e.  ( F  u.  { (/) } )  <-> 
( ( U. F  \  x )  e.  F  \/  ( U. F  \  x )  e.  { (/)
} ) )
7775, 76sylib 189 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( Clsd `  ( F  u.  { (/) } ) )  ->  ( ( U. F  \  x
)  e.  F  \/  ( U. F  \  x
)  e.  { (/) } ) )
78 elun 3488 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( F  u.  {
(/) } )  <->  ( x  e.  F  \/  x  e.  { (/) } ) )
79 filfbas 17880 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( F  e.  ( Fil `  U. F )  ->  F  e.  ( fBas `  U. F ) )
80 fbncp 17871 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  U. F )  /\  x  e.  F )  ->  -.  ( U. F  \  x )  e.  F
)
8179, 80sylan 458 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  U. F )  /\  x  e.  F )  ->  -.  ( U. F  \  x )  e.  F
)
8281pm2.21d 100 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  U. F )  /\  x  e.  F )  ->  ( ( U. F  \  x )  e.  F  ->  x  =  (/) ) )
8382ex 424 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F  e.  ( Fil `  U. F )  ->  (
x  e.  F  -> 
( ( U. F  \  x )  e.  F  ->  x  =  (/) ) ) )
8457a1d 23 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  { (/) }  ->  ( ( U. F  \  x )  e.  F  ->  x  =  (/) ) )
8584a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F  e.  ( Fil `  U. F )  ->  (
x  e.  { (/) }  ->  ( ( U. F  \  x )  e.  F  ->  x  =  (/) ) ) )
8683, 85jaod 370 . . . . . . . . . 10  |-  ( F  e.  ( Fil `  U. F )  ->  (
( x  e.  F  \/  x  e.  { (/) } )  ->  ( ( U. F  \  x
)  e.  F  ->  x  =  (/) ) ) )
8778, 86syl5bi 209 . . . . . . . . 9  |-  ( F  e.  ( Fil `  U. F )  ->  (
x  e.  ( F  u.  { (/) } )  ->  ( ( U. F  \  x )  e.  F  ->  x  =  (/) ) ) )
8887imp 419 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  U. F )  /\  x  e.  ( F  u.  { (/) } ) )  ->  ( ( U. F  \  x )  e.  F  ->  x  =  (/) ) )
89 elsni 3838 . . . . . . . . 9  |-  ( ( U. F  \  x
)  e.  { (/) }  ->  ( U. F  \  x )  =  (/) )
90 elssuni 4043 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( F  u.  {
(/) } )  ->  x  C_ 
U. ( F  u.  {
(/) } ) )
9190, 21syl6sseqr 3395 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( F  u.  {
(/) } )  ->  x  C_ 
U. F )
9291adantl 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  U. F )  /\  x  e.  ( F  u.  { (/) } ) )  ->  x  C_  U. F
)
93 ssdif0 3686 . . . . . . . . . . 11  |-  ( U. F  C_  x  <->  ( U. F  \  x )  =  (/) )
9493biimpri 198 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( U. F  \  x
)  =  (/)  ->  U. F  C_  x )
95 eqss 3363 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  U. F  <->  ( x  C_ 
U. F  /\  U. F  C_  x ) )
9695simplbi2 609 . . . . . . . . . 10  |-  ( x 
C_  U. F  ->  ( U. F  C_  x  ->  x  =  U. F ) )
9792, 94, 96syl2im 36 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  U. F )  /\  x  e.  ( F  u.  { (/) } ) )  ->  ( ( U. F  \  x )  =  (/)  ->  x  =  U. F ) )
9889, 97syl5 30 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  U. F )  /\  x  e.  ( F  u.  { (/) } ) )  ->  ( ( U. F  \  x )  e. 
{ (/) }  ->  x  =  U. F ) )
9988, 98orim12d 812 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  U. F )  /\  x  e.  ( F  u.  { (/) } ) )  ->  ( ( ( U. F  \  x
)  e.  F  \/  ( U. F  \  x
)  e.  { (/) } )  ->  ( x  =  (/)  \/  x  = 
U. F ) ) )
10077, 99syl5 30 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  U. F )  /\  x  e.  ( F  u.  { (/) } ) )  ->  ( x  e.  ( Clsd `  ( F  u.  { (/) } ) )  ->  ( x  =  (/)  \/  x  = 
U. F ) ) )
101100expimpd 587 . . . . 5  |-  ( F  e.  ( Fil `  U. F )  ->  (
( x  e.  ( F  u.  { (/) } )  /\  x  e.  ( Clsd `  ( F  u.  { (/) } ) ) )  ->  (
x  =  (/)  \/  x  =  U. F ) ) )
102 elin 3530 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( ( F  u.  { (/) } )  i^i  ( Clsd `  ( F  u.  { (/) } ) ) )  <->  ( x  e.  ( F  u.  { (/)
} )  /\  x  e.  ( Clsd `  ( F  u.  { (/) } ) ) ) )
103 vex 2959 . . . . . 6  |-  x  e. 
_V
104103elpr 3832 . . . . 5  |-  ( x  e.  { (/) ,  U. F }  <->  ( x  =  (/)  \/  x  =  U. F ) )
105101, 102, 1043imtr4g 262 . . . 4  |-  ( F  e.  ( Fil `  U. F )  ->  (
x  e.  ( ( F  u.  { (/) } )  i^i  ( Clsd `  ( F  u.  { (/)
} ) ) )  ->  x  e.  { (/)
,  U. F } ) )
106105ssrdv 3354 . . 3  |-  ( F  e.  ( Fil `  U. F )  ->  (
( F  u.  { (/)
} )  i^i  ( Clsd `  ( F  u.  {
(/) } ) ) ) 
C_  { (/) ,  U. F } )
10721iscon2 17477 . . 3  |-  ( ( F  u.  { (/) } )  e.  Con  <->  ( ( F  u.  { (/) } )  e.  Top  /\  (
( F  u.  { (/)
} )  i^i  ( Clsd `  ( F  u.  {
(/) } ) ) ) 
C_  { (/) ,  U. F } ) )
10874, 106, 107sylanbrc 646 . 2  |-  ( F  e.  ( Fil `  U. F )  ->  ( F  u.  { (/) } )  e.  Con )
1094, 108syl 16 1  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  ( F  u.  { (/) } )  e. 
Con )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    \/ wo 358    /\ wa 359    /\ w3a 936   A.wal 1549   E.wex 1550    = wceq 1652    e. wcel 1725   A.wral 2705   _Vcvv 2956    \ cdif 3317    u. cun 3318    i^i cin 3319    C_ wss 3320   (/)c0 3628   {csn 3814   {cpr 3815   U.cuni 4015   ` cfv 5454   fBascfbas 16689   Topctop 16958   Clsdccld 17080   Conccon 17474   Filcfil 17877
This theorem is referenced by:  ufildr  17963
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-op 3823  df-uni 4016  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-id 4498  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-fv 5462  df-fbas 16699  df-top 16963  df-cld 17083  df-con 17475  df-fil 17878
  Copyright terms: Public domain W3C validator