MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  filelss Structured version   Unicode version

Theorem filelss 17884
Description: An element of a filter is a subset of the base set. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Jul-2015.)
Assertion
Ref Expression
filelss  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  A  e.  F )  ->  A  C_  X )

Proof of Theorem filelss
StepHypRef Expression
1 filfbas 17880 . 2  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  F  e.  ( fBas `  X )
)
2 fbelss 17865 . 2  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  X )  /\  A  e.  F )  ->  A  C_  X )
31, 2sylan 458 1  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  A  e.  F )  ->  A  C_  X )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    e. wcel 1725    C_ wss 3320   ` cfv 5454   fBascfbas 16689   Filcfil 17877
This theorem is referenced by:  filin  17886  filtop  17887  filuni  17917  trfil2  17919  trfil3  17920  fgtr  17922  trfg  17923  ufilmax  17939  isufil2  17940  ufileu  17951  filufint  17952  cfinufil  17960  ufilen  17962  rnelfm  17985  fmfnfmlem4  17989  fmid  17992  flimclsi  18010  flimrest  18015  txflf  18038  fclsopn  18046  fclsrest  18056  flimfnfcls  18060  fclscmpi  18061  iscfil2  19219  cfil3i  19222  iscmet3lem2  19245  iscmet3  19246  cfilresi  19248  cfilres  19249  filnetlem3  26409
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-op 3823  df-uni 4016  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-id 4498  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fv 5462  df-fbas 16699  df-fil 17878
  Copyright terms: Public domain W3C validator