MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  filelss Unicode version

Theorem filelss 17867
Description: An element of a filter is a subset of the base set. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Jul-2015.)
Assertion
Ref Expression
filelss  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  A  e.  F )  ->  A  C_  X )

Proof of Theorem filelss
StepHypRef Expression
1 filfbas 17863 . 2  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  F  e.  ( fBas `  X )
)
2 fbelss 17848 . 2  |-  ( ( F  e.  ( fBas `  X )  /\  A  e.  F )  ->  A  C_  X )
31, 2sylan 458 1  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  A  e.  F )  ->  A  C_  X )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    e. wcel 1725    C_ wss 3307   ` cfv 5440   fBascfbas 16672   Filcfil 17860
This theorem is referenced by:  filin  17869  filtop  17870  filuni  17900  trfil2  17902  trfil3  17903  fgtr  17905  trfg  17906  ufilmax  17922  isufil2  17923  ufileu  17934  filufint  17935  cfinufil  17943  ufilen  17945  rnelfm  17968  fmfnfmlem4  17972  fmid  17975  flimclsi  17993  flimrest  17998  txflf  18021  fclsopn  18029  fclsrest  18039  flimfnfcls  18043  fclscmpi  18044  iscfil2  19202  cfil3i  19205  iscmet3lem2  19228  iscmet3  19229  cfilresi  19231  cfilres  19232  filnetlem3  26341
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2411  ax-sep 4317  ax-nul 4325  ax-pow 4364  ax-pr 4390
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2417  df-cleq 2423  df-clel 2426  df-nfc 2555  df-ne 2595  df-nel 2596  df-ral 2697  df-rex 2698  df-rab 2701  df-v 2945  df-sbc 3149  df-csb 3239  df-dif 3310  df-un 3312  df-in 3314  df-ss 3321  df-nul 3616  df-if 3727  df-pw 3788  df-sn 3807  df-pr 3808  df-op 3810  df-uni 4003  df-br 4200  df-opab 4254  df-mpt 4255  df-id 4485  df-xp 4870  df-rel 4871  df-cnv 4872  df-co 4873  df-dm 4874  df-rn 4875  df-res 4876  df-ima 4877  df-iota 5404  df-fun 5442  df-fv 5448  df-fbas 16682  df-fil 17861
  Copyright terms: Public domain W3C validator