Theorem filfbas 17841

Description: A filter is a filter base. (Contributed by Jeff Hankins, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Jul-2015.)

Assertion

Ref	Expression
filfbas	|- ( F e. ( Fil ` X ) -> F e. ( fBas ` X ) )

Proof of Theorem filfbas

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isfil 17840	. 2 |- ( F e. ( Fil ` X ) <-> ( F e. ( fBas ` X ) /\ A. x e. ~P X ( ( F i^i ~P x ) =/= (/) -> x e. F ) ) )
2	1	simplbi 447	1 |- ( F e. ( Fil ` X ) -> F e. ( fBas ` X ) )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 1721   =/= wne 2575   A.wral 2674   i^i cin 3287   (/)c0 3596   ~Pcpw 3767   ` cfv 5421   fBascfbas 16652   Filcfil 17838

This theorem is referenced by:  0nelfil  17842  filsspw  17844  filelss  17845  filin  17847  filtop  17848  snfbas  17859  fgfil  17868  elfilss  17869  filfinnfr  17870  fgabs  17872  filcon  17876  fgtr  17883  trfg  17884  ufilb  17899  ufilmax  17900  isufil2  17901  ssufl  17911  ufileu  17912  filufint  17913  ufilen  17923  fmfg  17942  fmufil  17952  fmid  17953  fmco  17954  ufldom  17955  hausflim  17974  flimrest  17976  flimclslem  17977  flfnei  17984  isflf  17986  flfcnp  17997  fclsrest  18017  fclsfnflim  18020  flimfnfcls  18021  isfcf  18027  cnpfcfi  18033  cnpfcf  18034  cnextcn  18059  cfilufg  18284  neipcfilu  18287  cnextucn  18294  ucnextcn  18295  cfilresi  19209  cfilres  19210  cmetss  19228  relcmpcmet  19230  cfilucfil3OLD  19232  cfilucfil3  19233  minveclem4a  19292  filnetlem4  26308

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2393  ax-sep 4298  ax-nul 4306  ax-pow 4345  ax-pr 4371

This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2399  df-cleq 2405  df-clel 2408  df-nfc 2537  df-ne 2577  df-ral 2679  df-rex 2680  df-rab 2683  df-v 2926  df-sbc 3130  df-csb 3220  df-dif 3291  df-un 3293  df-in 3295  df-ss 3302  df-nul 3597  df-if 3708  df-pw 3769  df-sn 3788  df-pr 3789  df-op 3791  df-uni 3984  df-br 4181  df-opab 4235  df-mpt 4236  df-id 4466  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5385  df-fun 5423  df-fv 5429  df-fil 17839