MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  filfbas Unicode version

Theorem filfbas 17543
Description: A filter is a filter base. (Contributed by Jeff Hankins, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Jul-2015.)
Assertion
Ref Expression
filfbas  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  F  e.  ( fBas `  X )
)

Proof of Theorem filfbas
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isfil 17542 . 2  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  <->  ( F  e.  ( fBas `  X
)  /\  A. x  e.  ~P  X ( ( F  i^i  ~P x
)  =/=  (/)  ->  x  e.  F ) ) )
21simplbi 446 1  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  F  e.  ( fBas `  X )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1684    =/= wne 2446   A.wral 2543    i^i cin 3151   (/)c0 3455   ~Pcpw 3625   ` cfv 5255   fBascfbas 17518   Filcfil 17540
This theorem is referenced by:  0nelfil  17544  filsspw  17546  filelss  17547  filin  17549  filtop  17550  snfbas  17561  fgfil  17570  elfilss  17571  filfinnfr  17572  fgabs  17574  filcon  17578  fgtr  17585  trfg  17586  ufilb  17601  ufilmax  17602  isufil2  17603  ssufl  17613  ufileu  17614  filufint  17615  ufilen  17625  fmfg  17644  fmufil  17654  fmid  17655  fmco  17656  ufldom  17657  hausflim  17676  flimrest  17678  flimclslem  17679  flfnei  17686  isflf  17688  flfcnp  17699  fclsrest  17719  fclsfnflim  17722  flimfnfcls  17723  isfcf  17729  cnpfcfi  17735  cnpfcf  17736  cfilresi  18721  cfilres  18722  cmetss  18740  relcmpcmet  18742  minveclem4a  18794  efilcp  25552  cnfilca  25556  fil2ss  25557  filnetlem4  26330
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fv 5263  df-fil 17541
  Copyright terms: Public domain W3C validator