MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  filfbas Unicode version

Theorem filfbas 17559
Description: A filter is a filter base. (Contributed by Jeff Hankins, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Jul-2015.)
Assertion
Ref Expression
filfbas  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  F  e.  ( fBas `  X )
)

Proof of Theorem filfbas
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isfil 17558 . 2  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  <->  ( F  e.  ( fBas `  X
)  /\  A. x  e.  ~P  X ( ( F  i^i  ~P x
)  =/=  (/)  ->  x  e.  F ) ) )
21simplbi 446 1  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  F  e.  ( fBas `  X )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1696    =/= wne 2459   A.wral 2556    i^i cin 3164   (/)c0 3468   ~Pcpw 3638   ` cfv 5271   fBascfbas 17534   Filcfil 17556
This theorem is referenced by:  0nelfil  17560  filsspw  17562  filelss  17563  filin  17565  filtop  17566  snfbas  17577  fgfil  17586  elfilss  17587  filfinnfr  17588  fgabs  17590  filcon  17594  fgtr  17601  trfg  17602  ufilb  17617  ufilmax  17618  isufil2  17619  ssufl  17629  ufileu  17630  filufint  17631  ufilen  17641  fmfg  17660  fmufil  17670  fmid  17671  fmco  17672  ufldom  17673  hausflim  17692  flimrest  17694  flimclslem  17695  flfnei  17702  isflf  17704  flfcnp  17715  fclsrest  17735  fclsfnflim  17738  flimfnfcls  17739  isfcf  17745  cnpfcfi  17751  cnpfcf  17752  cfilresi  18737  cfilres  18738  cmetss  18756  relcmpcmet  18758  minveclem4a  18810  efilcp  25655  cnfilca  25659  fil2ss  25660  filnetlem4  26433
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fv 5279  df-fil 17557
  Copyright terms: Public domain W3C validator