Theorem filfbas 17880

Description: A filter is a filter base. (Contributed by Jeff Hankins, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Jul-2015.)

Assertion

Ref	Expression
filfbas	|- ( F e. ( Fil ` X ) -> F e. ( fBas ` X ) )

Proof of Theorem filfbas

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isfil 17879	. 2 |- ( F e. ( Fil ` X ) <-> ( F e. ( fBas ` X ) /\ A. x e. ~P X ( ( F i^i ~P x ) =/= (/) -> x e. F ) ) )
2	1	simplbi 447	1 |- ( F e. ( Fil ` X ) -> F e. ( fBas ` X ) )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 1725   =/= wne 2599   A.wral 2705   i^i cin 3319   (/)c0 3628   ~Pcpw 3799   ` cfv 5454   fBascfbas 16689   Filcfil 17877

This theorem is referenced by:  0nelfil  17881  filsspw  17883  filelss  17884  filin  17886  filtop  17887  snfbas  17898  fgfil  17907  elfilss  17908  filfinnfr  17909  fgabs  17911  filcon  17915  fgtr  17922  trfg  17923  ufilb  17938  ufilmax  17939  isufil2  17940  ssufl  17950  ufileu  17951  filufint  17952  ufilen  17962  fmfg  17981  fmufil  17991  fmid  17992  fmco  17993  ufldom  17994  hausflim  18013  flimrest  18015  flimclslem  18016  flfnei  18023  isflf  18025  flfcnp  18036  fclsrest  18056  fclsfnflim  18059  flimfnfcls  18060  isfcf  18066  cnpfcfi  18072  cnpfcf  18073  cnextcn  18098  cfilufg  18323  neipcfilu  18326  cnextucn  18333  ucnextcn  18334  cfilresi  19248  cfilres  19249  cmetss  19267  relcmpcmet  19269  cfilucfil3OLD  19271  cfilucfil3  19272  minveclem4a  19331  filnetlem4  26410

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403

This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-ral 2710  df-rex 2711  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-op 3823  df-uni 4016  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-id 4498  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fv 5462  df-fil 17878