Theorem filn0 17855

Description: The empty set is not a filter. Remark below def. 1 of [BourbakiTop1] p. I.36. (Contributed by FL, 30-Oct-2007.) (Revised by Stefan O'Rear, 28-Jul-2015.)

Assertion

Ref	Expression
filn0	|- ( F e. ( Fil ` X ) -> F =/= (/) )

Proof of Theorem filn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		filtop 17848	. 2 |- ( F e. ( Fil ` X ) -> X e. F )
2		ne0i 3602	. 2 |- ( X e. F -> F =/= (/) )
3	1, 2	syl 16	1 |- ( F e. ( Fil ` X ) -> F =/= (/) )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 1721   =/= wne 2575   (/)c0 3596   ` cfv 5421   Filcfil 17838

This theorem is referenced by:  ufileu  17912  filufint  17913  uffixfr  17916  uffix2  17917  uffixsn  17918  hausflim  17974  fclsval  18001  isfcls  18002  fclsopn  18007  fclsfnflim  18020  filnetlem4  26308

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2393  ax-sep 4298  ax-nul 4306  ax-pow 4345  ax-pr 4371

This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2399  df-cleq 2405  df-clel 2408  df-nfc 2537  df-ne 2577  df-nel 2578  df-ral 2679  df-rex 2680  df-rab 2683  df-v 2926  df-sbc 3130  df-csb 3220  df-dif 3291  df-un 3293  df-in 3295  df-ss 3302  df-nul 3597  df-if 3708  df-pw 3769  df-sn 3788  df-pr 3789  df-op 3791  df-uni 3984  df-br 4181  df-opab 4235  df-mpt 4236  df-id 4466  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5385  df-fun 5423  df-fv 5429  df-fbas 16662  df-fil 17839