Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  filnm Unicode version

Theorem filnm 27192
Description: Finite left modules are Noetherian. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Jan-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
filnm.b  |-  B  =  ( Base `  W
)
Assertion
Ref Expression
filnm  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  B  e.  Fin )  ->  W  e. LNoeM )

Proof of Theorem filnm
Dummy variables  a 
b are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 443 . 2  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  B  e.  Fin )  ->  W  e.  LMod )
2 filnm.b . . . . . . . 8  |-  B  =  ( Base `  W
)
3 eqid 2283 . . . . . . . 8  |-  ( LSubSp `  W )  =  (
LSubSp `  W )
42, 3lssss 15694 . . . . . . 7  |-  ( a  e.  ( LSubSp `  W
)  ->  a  C_  B )
54adantl 452 . . . . . 6  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  B  e.  Fin )  /\  a  e.  ( LSubSp `
 W ) )  ->  a  C_  B
)
6 vex 2791 . . . . . . 7  |-  a  e. 
_V
76elpw 3631 . . . . . 6  |-  ( a  e.  ~P B  <->  a  C_  B )
85, 7sylibr 203 . . . . 5  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  B  e.  Fin )  /\  a  e.  ( LSubSp `
 W ) )  ->  a  e.  ~P B )
9 simplr 731 . . . . . 6  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  B  e.  Fin )  /\  a  e.  ( LSubSp `
 W ) )  ->  B  e.  Fin )
10 ssfi 7083 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  Fin  /\  a  C_  B )  -> 
a  e.  Fin )
119, 5, 10syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  B  e.  Fin )  /\  a  e.  ( LSubSp `
 W ) )  ->  a  e.  Fin )
12 elin 3358 . . . . 5  |-  ( a  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  <->  ( a  e.  ~P B  /\  a  e.  Fin ) )
138, 11, 12sylanbrc 645 . . . 4  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  B  e.  Fin )  /\  a  e.  ( LSubSp `
 W ) )  ->  a  e.  ( ~P B  i^i  Fin ) )
14 eqid 2283 . . . . . . 7  |-  ( LSpan `  W )  =  (
LSpan `  W )
153, 14lspid 15739 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  a  e.  ( LSubSp `  W )
)  ->  ( ( LSpan `  W ) `  a )  =  a )
1615adantlr 695 . . . . 5  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  B  e.  Fin )  /\  a  e.  ( LSubSp `
 W ) )  ->  ( ( LSpan `  W ) `  a
)  =  a )
1716eqcomd 2288 . . . 4  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  B  e.  Fin )  /\  a  e.  ( LSubSp `
 W ) )  ->  a  =  ( ( LSpan `  W ) `  a ) )
18 fveq2 5525 . . . . . 6  |-  ( b  =  a  ->  (
( LSpan `  W ) `  b )  =  ( ( LSpan `  W ) `  a ) )
1918eqeq2d 2294 . . . . 5  |-  ( b  =  a  ->  (
a  =  ( (
LSpan `  W ) `  b )  <->  a  =  ( ( LSpan `  W
) `  a )
) )
2019rspcev 2884 . . . 4  |-  ( ( a  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  /\  a  =  (
( LSpan `  W ) `  a ) )  ->  E. b  e.  ( ~P B  i^i  Fin )
a  =  ( (
LSpan `  W ) `  b ) )
2113, 17, 20syl2anc 642 . . 3  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  B  e.  Fin )  /\  a  e.  ( LSubSp `
 W ) )  ->  E. b  e.  ( ~P B  i^i  Fin ) a  =  ( ( LSpan `  W ) `  b ) )
2221ralrimiva 2626 . 2  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  B  e.  Fin )  ->  A. a  e.  ( LSubSp `  W ) E. b  e.  ( ~P B  i^i  Fin )
a  =  ( (
LSpan `  W ) `  b ) )
232, 3, 14islnm2 27176 . 2  |-  ( W  e. LNoeM 
<->  ( W  e.  LMod  /\ 
A. a  e.  (
LSubSp `  W ) E. b  e.  ( ~P B  i^i  Fin )
a  =  ( (
LSpan `  W ) `  b ) ) )
241, 22, 23sylanbrc 645 1  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  B  e.  Fin )  ->  W  e. LNoeM )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   E.wrex 2544    i^i cin 3151    C_ wss 3152   ~Pcpw 3625   ` cfv 5255   Fincfn 6863   Basecbs 13148   LModclmod 15627   LSubSpclss 15689   LSpanclspn 15728  LNoeMclnm 27173
This theorem is referenced by:  pwslnmlem0  27193
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-ress 13155  df-plusg 13221  df-sca 13224  df-vsca 13225  df-0g 13404  df-mnd 14367  df-grp 14489  df-minusg 14490  df-sbg 14491  df-subg 14618  df-mgp 15326  df-rng 15340  df-ur 15342  df-lmod 15629  df-lss 15690  df-lsp 15729  df-lfig 27166  df-lnm 27174
  Copyright terms: Public domain W3C validator