Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  filnm Unicode version

Theorem filnm 27068
Description: Finite left modules are Noetherian. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Jan-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
filnm.b  |-  B  =  ( Base `  W
)
Assertion
Ref Expression
filnm  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  B  e.  Fin )  ->  W  e. LNoeM )

Proof of Theorem filnm
Dummy variables  a 
b are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 444 . 2  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  B  e.  Fin )  ->  W  e.  LMod )
2 filnm.b . . . . . . . 8  |-  B  =  ( Base `  W
)
3 eqid 2412 . . . . . . . 8  |-  ( LSubSp `  W )  =  (
LSubSp `  W )
42, 3lssss 15976 . . . . . . 7  |-  ( a  e.  ( LSubSp `  W
)  ->  a  C_  B )
54adantl 453 . . . . . 6  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  B  e.  Fin )  /\  a  e.  ( LSubSp `
 W ) )  ->  a  C_  B
)
6 vex 2927 . . . . . . 7  |-  a  e. 
_V
76elpw 3773 . . . . . 6  |-  ( a  e.  ~P B  <->  a  C_  B )
85, 7sylibr 204 . . . . 5  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  B  e.  Fin )  /\  a  e.  ( LSubSp `
 W ) )  ->  a  e.  ~P B )
9 simplr 732 . . . . . 6  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  B  e.  Fin )  /\  a  e.  ( LSubSp `
 W ) )  ->  B  e.  Fin )
10 ssfi 7296 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  Fin  /\  a  C_  B )  -> 
a  e.  Fin )
119, 5, 10syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  B  e.  Fin )  /\  a  e.  ( LSubSp `
 W ) )  ->  a  e.  Fin )
12 elin 3498 . . . . 5  |-  ( a  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  <->  ( a  e.  ~P B  /\  a  e.  Fin ) )
138, 11, 12sylanbrc 646 . . . 4  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  B  e.  Fin )  /\  a  e.  ( LSubSp `
 W ) )  ->  a  e.  ( ~P B  i^i  Fin ) )
14 eqid 2412 . . . . . . 7  |-  ( LSpan `  W )  =  (
LSpan `  W )
153, 14lspid 16021 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  a  e.  ( LSubSp `  W )
)  ->  ( ( LSpan `  W ) `  a )  =  a )
1615adantlr 696 . . . . 5  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  B  e.  Fin )  /\  a  e.  ( LSubSp `
 W ) )  ->  ( ( LSpan `  W ) `  a
)  =  a )
1716eqcomd 2417 . . . 4  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  B  e.  Fin )  /\  a  e.  ( LSubSp `
 W ) )  ->  a  =  ( ( LSpan `  W ) `  a ) )
18 fveq2 5695 . . . . . 6  |-  ( b  =  a  ->  (
( LSpan `  W ) `  b )  =  ( ( LSpan `  W ) `  a ) )
1918eqeq2d 2423 . . . . 5  |-  ( b  =  a  ->  (
a  =  ( (
LSpan `  W ) `  b )  <->  a  =  ( ( LSpan `  W
) `  a )
) )
2019rspcev 3020 . . . 4  |-  ( ( a  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  /\  a  =  (
( LSpan `  W ) `  a ) )  ->  E. b  e.  ( ~P B  i^i  Fin )
a  =  ( (
LSpan `  W ) `  b ) )
2113, 17, 20syl2anc 643 . . 3  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  B  e.  Fin )  /\  a  e.  ( LSubSp `
 W ) )  ->  E. b  e.  ( ~P B  i^i  Fin ) a  =  ( ( LSpan `  W ) `  b ) )
2221ralrimiva 2757 . 2  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  B  e.  Fin )  ->  A. a  e.  ( LSubSp `  W ) E. b  e.  ( ~P B  i^i  Fin )
a  =  ( (
LSpan `  W ) `  b ) )
232, 3, 14islnm2 27052 . 2  |-  ( W  e. LNoeM 
<->  ( W  e.  LMod  /\ 
A. a  e.  (
LSubSp `  W ) E. b  e.  ( ~P B  i^i  Fin )
a  =  ( (
LSpan `  W ) `  b ) ) )
241, 22, 23sylanbrc 646 1  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  B  e.  Fin )  ->  W  e. LNoeM )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721   A.wral 2674   E.wrex 2675    i^i cin 3287    C_ wss 3288   ~Pcpw 3767   ` cfv 5421   Fincfn 7076   Basecbs 13432   LModclmod 15913   LSubSpclss 15971   LSpanclspn 16010  LNoeMclnm 27049
This theorem is referenced by:  pwslnmlem0  27069
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2393  ax-rep 4288  ax-sep 4298  ax-nul 4306  ax-pow 4345  ax-pr 4371  ax-un 4668  ax-cnex 9010  ax-resscn 9011  ax-1cn 9012  ax-icn 9013  ax-addcl 9014  ax-addrcl 9015  ax-mulcl 9016  ax-mulrcl 9017  ax-mulcom 9018  ax-addass 9019  ax-mulass 9020  ax-distr 9021  ax-i2m1 9022  ax-1ne0 9023  ax-1rid 9024  ax-rnegex 9025  ax-rrecex 9026  ax-cnre 9027  ax-pre-lttri 9028  ax-pre-lttrn 9029  ax-pre-ltadd 9030  ax-pre-mulgt0 9031
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2399  df-cleq 2405  df-clel 2408  df-nfc 2537  df-ne 2577  df-nel 2578  df-ral 2679  df-rex 2680  df-reu 2681  df-rmo 2682  df-rab 2683  df-v 2926  df-sbc 3130  df-csb 3220  df-dif 3291  df-un 3293  df-in 3295  df-ss 3302  df-pss 3304  df-nul 3597  df-if 3708  df-pw 3769  df-sn 3788  df-pr 3789  df-tp 3790  df-op 3791  df-uni 3984  df-int 4019  df-iun 4063  df-br 4181  df-opab 4235  df-mpt 4236  df-tr 4271  df-eprel 4462  df-id 4466  df-po 4471  df-so 4472  df-fr 4509  df-we 4511  df-ord 4552  df-on 4553  df-lim 4554  df-suc 4555  df-om 4813  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5385  df-fun 5423  df-fn 5424  df-f 5425  df-f1 5426  df-fo 5427  df-f1o 5428  df-fv 5429  df-ov 6051  df-oprab 6052  df-mpt2 6053  df-1st 6316  df-2nd 6317  df-riota 6516  df-recs 6600  df-rdg 6635  df-er 6872  df-en 7077  df-dom 7078  df-sdom 7079  df-fin 7080  df-pnf 9086  df-mnf 9087  df-xr 9088  df-ltxr 9089  df-le 9090  df-sub 9257  df-neg 9258  df-nn 9965  df-2 10022  df-3 10023  df-4 10024  df-5 10025  df-6 10026  df-ndx 13435  df-slot 13436  df-base 13437  df-sets 13438  df-ress 13439  df-plusg 13505  df-sca 13508  df-vsca 13509  df-0g 13690  df-mnd 14653  df-grp 14775  df-minusg 14776  df-sbg 14777  df-subg 14904  df-mgp 15612  df-rng 15626  df-ur 15628  df-lmod 15915  df-lss 15972  df-lsp 16011  df-lfig 27042  df-lnm 27050
  Copyright terms: Public domain W3C validator