Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  filnm Unicode version

Theorem filnm 26698
Description: Finite left modules are Noetherian. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Jan-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
filnm.b  |-  B  =  ( Base `  W
)
Assertion
Ref Expression
filnm  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  B  e.  Fin )  ->  W  e. LNoeM )

Proof of Theorem filnm
Dummy variables  a 
b are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 443 . 2  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  B  e.  Fin )  ->  W  e.  LMod )
2 filnm.b . . . . . . . 8  |-  B  =  ( Base `  W
)
3 eqid 2366 . . . . . . . 8  |-  ( LSubSp `  W )  =  (
LSubSp `  W )
42, 3lssss 15904 . . . . . . 7  |-  ( a  e.  ( LSubSp `  W
)  ->  a  C_  B )
54adantl 452 . . . . . 6  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  B  e.  Fin )  /\  a  e.  ( LSubSp `
 W ) )  ->  a  C_  B
)
6 vex 2876 . . . . . . 7  |-  a  e. 
_V
76elpw 3720 . . . . . 6  |-  ( a  e.  ~P B  <->  a  C_  B )
85, 7sylibr 203 . . . . 5  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  B  e.  Fin )  /\  a  e.  ( LSubSp `
 W ) )  ->  a  e.  ~P B )
9 simplr 731 . . . . . 6  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  B  e.  Fin )  /\  a  e.  ( LSubSp `
 W ) )  ->  B  e.  Fin )
10 ssfi 7226 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  Fin  /\  a  C_  B )  -> 
a  e.  Fin )
119, 5, 10syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  B  e.  Fin )  /\  a  e.  ( LSubSp `
 W ) )  ->  a  e.  Fin )
12 elin 3446 . . . . 5  |-  ( a  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  <->  ( a  e.  ~P B  /\  a  e.  Fin ) )
138, 11, 12sylanbrc 645 . . . 4  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  B  e.  Fin )  /\  a  e.  ( LSubSp `
 W ) )  ->  a  e.  ( ~P B  i^i  Fin ) )
14 eqid 2366 . . . . . . 7  |-  ( LSpan `  W )  =  (
LSpan `  W )
153, 14lspid 15949 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  a  e.  ( LSubSp `  W )
)  ->  ( ( LSpan `  W ) `  a )  =  a )
1615adantlr 695 . . . . 5  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  B  e.  Fin )  /\  a  e.  ( LSubSp `
 W ) )  ->  ( ( LSpan `  W ) `  a
)  =  a )
1716eqcomd 2371 . . . 4  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  B  e.  Fin )  /\  a  e.  ( LSubSp `
 W ) )  ->  a  =  ( ( LSpan `  W ) `  a ) )
18 fveq2 5632 . . . . . 6  |-  ( b  =  a  ->  (
( LSpan `  W ) `  b )  =  ( ( LSpan `  W ) `  a ) )
1918eqeq2d 2377 . . . . 5  |-  ( b  =  a  ->  (
a  =  ( (
LSpan `  W ) `  b )  <->  a  =  ( ( LSpan `  W
) `  a )
) )
2019rspcev 2969 . . . 4  |-  ( ( a  e.  ( ~P B  i^i  Fin )  /\  a  =  (
( LSpan `  W ) `  a ) )  ->  E. b  e.  ( ~P B  i^i  Fin )
a  =  ( (
LSpan `  W ) `  b ) )
2113, 17, 20syl2anc 642 . . 3  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  B  e.  Fin )  /\  a  e.  ( LSubSp `
 W ) )  ->  E. b  e.  ( ~P B  i^i  Fin ) a  =  ( ( LSpan `  W ) `  b ) )
2221ralrimiva 2711 . 2  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  B  e.  Fin )  ->  A. a  e.  ( LSubSp `  W ) E. b  e.  ( ~P B  i^i  Fin )
a  =  ( (
LSpan `  W ) `  b ) )
232, 3, 14islnm2 26682 . 2  |-  ( W  e. LNoeM 
<->  ( W  e.  LMod  /\ 
A. a  e.  (
LSubSp `  W ) E. b  e.  ( ~P B  i^i  Fin )
a  =  ( (
LSpan `  W ) `  b ) ) )
241, 22, 23sylanbrc 645 1  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  B  e.  Fin )  ->  W  e. LNoeM )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1647    e. wcel 1715   A.wral 2628   E.wrex 2629    i^i cin 3237    C_ wss 3238   ~Pcpw 3714   ` cfv 5358   Fincfn 7006   Basecbs 13356   LModclmod 15837   LSubSpclss 15899   LSpanclspn 15938  LNoeMclnm 26679
This theorem is referenced by:  pwslnmlem0  26699
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1551  ax-5 1562  ax-17 1621  ax-9 1659  ax-8 1680  ax-13 1717  ax-14 1719  ax-6 1734  ax-7 1739  ax-11 1751  ax-12 1937  ax-ext 2347  ax-rep 4233  ax-sep 4243  ax-nul 4251  ax-pow 4290  ax-pr 4316  ax-un 4615  ax-cnex 8940  ax-resscn 8941  ax-1cn 8942  ax-icn 8943  ax-addcl 8944  ax-addrcl 8945  ax-mulcl 8946  ax-mulrcl 8947  ax-mulcom 8948  ax-addass 8949  ax-mulass 8950  ax-distr 8951  ax-i2m1 8952  ax-1ne0 8953  ax-1rid 8954  ax-rnegex 8955  ax-rrecex 8956  ax-cnre 8957  ax-pre-lttri 8958  ax-pre-lttrn 8959  ax-pre-ltadd 8960  ax-pre-mulgt0 8961
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 936  df-3an 937  df-tru 1324  df-ex 1547  df-nf 1550  df-sb 1654  df-eu 2221  df-mo 2222  df-clab 2353  df-cleq 2359  df-clel 2362  df-nfc 2491  df-ne 2531  df-nel 2532  df-ral 2633  df-rex 2634  df-reu 2635  df-rmo 2636  df-rab 2637  df-v 2875  df-sbc 3078  df-csb 3168  df-dif 3241  df-un 3243  df-in 3245  df-ss 3252  df-pss 3254  df-nul 3544  df-if 3655  df-pw 3716  df-sn 3735  df-pr 3736  df-tp 3737  df-op 3738  df-uni 3930  df-int 3965  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4180  df-mpt 4181  df-tr 4216  df-eprel 4408  df-id 4412  df-po 4417  df-so 4418  df-fr 4455  df-we 4457  df-ord 4498  df-on 4499  df-lim 4500  df-suc 4501  df-om 4760  df-xp 4798  df-rel 4799  df-cnv 4800  df-co 4801  df-dm 4802  df-rn 4803  df-res 4804  df-ima 4805  df-iota 5322  df-fun 5360  df-fn 5361  df-f 5362  df-f1 5363  df-fo 5364  df-f1o 5365  df-fv 5366  df-ov 5984  df-oprab 5985  df-mpt2 5986  df-1st 6249  df-2nd 6250  df-riota 6446  df-recs 6530  df-rdg 6565  df-er 6802  df-en 7007  df-dom 7008  df-sdom 7009  df-fin 7010  df-pnf 9016  df-mnf 9017  df-xr 9018  df-ltxr 9019  df-le 9020  df-sub 9186  df-neg 9187  df-nn 9894  df-2 9951  df-3 9952  df-4 9953  df-5 9954  df-6 9955  df-ndx 13359  df-slot 13360  df-base 13361  df-sets 13362  df-ress 13363  df-plusg 13429  df-sca 13432  df-vsca 13433  df-0g 13614  df-mnd 14577  df-grp 14699  df-minusg 14700  df-sbg 14701  df-subg 14828  df-mgp 15536  df-rng 15550  df-ur 15552  df-lmod 15839  df-lss 15900  df-lsp 15939  df-lfig 26672  df-lnm 26680
  Copyright terms: Public domain W3C validator