MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  filssufil Structured version   Unicode version

Theorem filssufil 17945
Description: A filter is contained in some ultrafilter. (Requires the Axiom of Choice, via numth3 8351.) (Contributed by Jeff Hankins, 2-Dec-2009.) (Revised by Stefan O'Rear, 29-Jul-2015.)
Assertion
Ref Expression
filssufil  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  E. f  e.  ( UFil `  X
) F  C_  f
)
Distinct variable groups:    f, F    f, X

Proof of Theorem filssufil
StepHypRef Expression
1 filtop 17888 . . 3  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  X  e.  F )
2 pwexg 4384 . . 3  |-  ( X  e.  F  ->  ~P X  e.  _V )
3 pwexg 4384 . . 3  |-  ( ~P X  e.  _V  ->  ~P ~P X  e.  _V )
4 numth3 8351 . . 3  |-  ( ~P ~P X  e.  _V  ->  ~P ~P X  e. 
dom  card )
51, 2, 3, 44syl 20 . 2  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  ~P ~P X  e.  dom  card )
6 filssufilg 17944 . 2  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  ~P ~P X  e.  dom  card )  ->  E. f  e.  ( UFil `  X
) F  C_  f
)
75, 6mpdan 651 1  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  E. f  e.  ( UFil `  X
) F  C_  f
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1726   E.wrex 2707   _Vcvv 2957    C_ wss 3321   ~Pcpw 3800   dom cdm 4879   ` cfv 5455   cardccrd 7823   Filcfil 17878   UFilcufil 17932
This theorem is referenced by:  ufileu  17952  filufint  17953  ufinffr  17962  ufilen  17963
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2418  ax-rep 4321  ax-sep 4331  ax-nul 4339  ax-pow 4378  ax-pr 4404  ax-un 4702  ax-ac2 8344
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2424  df-cleq 2430  df-clel 2433  df-nfc 2562  df-ne 2602  df-nel 2603  df-ral 2711  df-rex 2712  df-reu 2713  df-rmo 2714  df-rab 2715  df-v 2959  df-sbc 3163  df-csb 3253  df-dif 3324  df-un 3326  df-in 3328  df-ss 3335  df-pss 3337  df-nul 3630  df-if 3741  df-pw 3802  df-sn 3821  df-pr 3822  df-tp 3823  df-op 3824  df-uni 4017  df-int 4052  df-iun 4096  df-br 4214  df-opab 4268  df-mpt 4269  df-tr 4304  df-eprel 4495  df-id 4499  df-po 4504  df-so 4505  df-fr 4542  df-se 4543  df-we 4544  df-ord 4585  df-on 4586  df-lim 4587  df-suc 4588  df-om 4847  df-xp 4885  df-rel 4886  df-cnv 4887  df-co 4888  df-dm 4889  df-rn 4890  df-res 4891  df-ima 4892  df-iota 5419  df-fun 5457  df-fn 5458  df-f 5459  df-f1 5460  df-fo 5461  df-f1o 5462  df-fv 5463  df-isom 5464  df-ov 6085  df-oprab 6086  df-mpt2 6087  df-rpss 6523  df-riota 6550  df-recs 6634  df-rdg 6669  df-1o 6725  df-oadd 6729  df-er 6906  df-en 7111  df-dom 7112  df-fin 7114  df-fi 7417  df-card 7827  df-ac 7998  df-cda 8049  df-fbas 16700  df-fg 16701  df-fil 17879  df-ufil 17934
  Copyright terms: Public domain W3C validator