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Theorem filssufilg 17606
Description: A filter is contained in some ultrafilter. This version of filssufil 17607 contains the choice as a hypothesis (in the assumption that  ~P ~P X is well-orderable). (Contributed by Mario Carneiro, 24-May-2015.) (Revised by Stefan O'Rear, 2-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
filssufilg  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  ~P ~P X  e.  dom  card )  ->  E. f  e.  ( UFil `  X
) F  C_  f
)
Distinct variable groups:    f, F    f, X

Proof of Theorem filssufilg
Dummy variables  g  h  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 447 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  ~P ~P X  e.  dom  card )  ->  ~P ~P X  e.  dom  card )
2 rabss 3250 . . . . 5  |-  ( { g  e.  ( Fil `  X )  |  F  C_  g }  C_  ~P ~P X  <->  A. g  e.  ( Fil `  X ) ( F  C_  g  ->  g  e.  ~P ~P X ) )
3 filsspw 17546 . . . . . . 7  |-  ( g  e.  ( Fil `  X
)  ->  g  C_  ~P X )
4 vex 2791 . . . . . . . 8  |-  g  e. 
_V
54elpw 3631 . . . . . . 7  |-  ( g  e.  ~P ~P X  <->  g 
C_  ~P X )
63, 5sylibr 203 . . . . . 6  |-  ( g  e.  ( Fil `  X
)  ->  g  e.  ~P ~P X )
76a1d 22 . . . . 5  |-  ( g  e.  ( Fil `  X
)  ->  ( F  C_  g  ->  g  e.  ~P ~P X ) )
82, 7mprgbir 2613 . . . 4  |-  { g  e.  ( Fil `  X
)  |  F  C_  g }  C_  ~P ~P X
9 ssnum 7666 . . . 4  |-  ( ( ~P ~P X  e. 
dom  card  /\  { g  e.  ( Fil `  X
)  |  F  C_  g }  C_  ~P ~P X )  ->  { g  e.  ( Fil `  X
)  |  F  C_  g }  e.  dom  card )
101, 8, 9sylancl 643 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  ~P ~P X  e.  dom  card )  ->  { g  e.  ( Fil `  X
)  |  F  C_  g }  e.  dom  card )
11 ssid 3197 . . . . . . 7  |-  F  C_  F
1211jctr 526 . . . . . 6  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  ( F  e.  ( Fil `  X
)  /\  F  C_  F
) )
13 sseq2 3200 . . . . . . 7  |-  ( g  =  F  ->  ( F  C_  g  <->  F  C_  F
) )
1413elrab 2923 . . . . . 6  |-  ( F  e.  { g  e.  ( Fil `  X
)  |  F  C_  g }  <->  ( F  e.  ( Fil `  X
)  /\  F  C_  F
) )
1512, 14sylibr 203 . . . . 5  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  F  e.  { g  e.  ( Fil `  X )  |  F  C_  g } )
16 ne0i 3461 . . . . 5  |-  ( F  e.  { g  e.  ( Fil `  X
)  |  F  C_  g }  ->  { g  e.  ( Fil `  X
)  |  F  C_  g }  =/=  (/) )
1715, 16syl 15 . . . 4  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  { g  e.  ( Fil `  X
)  |  F  C_  g }  =/=  (/) )
1817adantr 451 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  ~P ~P X  e.  dom  card )  ->  { g  e.  ( Fil `  X
)  |  F  C_  g }  =/=  (/) )
19 simpr1 961 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  (
x  C_  { g  e.  ( Fil `  X
)  |  F  C_  g }  /\  x  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  x
) )  ->  x  C_ 
{ g  e.  ( Fil `  X )  |  F  C_  g } )
20 ssrab 3251 . . . . . . . . . 10  |-  ( x 
C_  { g  e.  ( Fil `  X
)  |  F  C_  g }  <->  ( x  C_  ( Fil `  X )  /\  A. g  e.  x  F  C_  g
) )
2119, 20sylib 188 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  (
x  C_  { g  e.  ( Fil `  X
)  |  F  C_  g }  /\  x  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  x
) )  ->  (
x  C_  ( Fil `  X )  /\  A. g  e.  x  F  C_  g ) )
2221simpld 445 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  (
x  C_  { g  e.  ( Fil `  X
)  |  F  C_  g }  /\  x  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  x
) )  ->  x  C_  ( Fil `  X
) )
23 simpr2 962 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  (
x  C_  { g  e.  ( Fil `  X
)  |  F  C_  g }  /\  x  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  x
) )  ->  x  =/=  (/) )
24 simpr3 963 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  (
x  C_  { g  e.  ( Fil `  X
)  |  F  C_  g }  /\  x  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  x
) )  -> [ C.]  Or  x )
25 sorpssun 6284 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( [
C.]  Or  x  /\  ( g  e.  x  /\  h  e.  x
) )  ->  (
g  u.  h )  e.  x )
2625ralrimivva 2635 . . . . . . . . 9  |-  ( [ C.]  Or  x  ->  A. g  e.  x  A. h  e.  x  ( g  u.  h )  e.  x
)
2724, 26syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  (
x  C_  { g  e.  ( Fil `  X
)  |  F  C_  g }  /\  x  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  x
) )  ->  A. g  e.  x  A. h  e.  x  ( g  u.  h )  e.  x
)
28 filuni 17580 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  C_  ( Fil `  X )  /\  x  =/=  (/)  /\  A. g  e.  x  A. h  e.  x  ( g  u.  h )  e.  x
)  ->  U. x  e.  ( Fil `  X
) )
2922, 23, 27, 28syl3anc 1182 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  (
x  C_  { g  e.  ( Fil `  X
)  |  F  C_  g }  /\  x  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  x
) )  ->  U. x  e.  ( Fil `  X
) )
30 n0 3464 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =/=  (/)  <->  E. h  h  e.  x )
31 ssel2 3175 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  C_  { g  e.  ( Fil `  X
)  |  F  C_  g }  /\  h  e.  x )  ->  h  e.  { g  e.  ( Fil `  X )  |  F  C_  g } )
32 sseq2 3200 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( g  =  h  ->  ( F  C_  g  <->  F  C_  h
) )
3332elrab 2923 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( h  e.  { g  e.  ( Fil `  X
)  |  F  C_  g }  <->  ( h  e.  ( Fil `  X
)  /\  F  C_  h
) )
3431, 33sylib 188 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  C_  { g  e.  ( Fil `  X
)  |  F  C_  g }  /\  h  e.  x )  ->  (
h  e.  ( Fil `  X )  /\  F  C_  h ) )
3534simprd 449 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  C_  { g  e.  ( Fil `  X
)  |  F  C_  g }  /\  h  e.  x )  ->  F  C_  h )
36 ssuni 3849 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F  C_  h  /\  h  e.  x )  ->  F  C_  U. x
)
3735, 36sylancom 648 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  C_  { g  e.  ( Fil `  X
)  |  F  C_  g }  /\  h  e.  x )  ->  F  C_ 
U. x )
3837ex 423 . . . . . . . . . 10  |-  ( x 
C_  { g  e.  ( Fil `  X
)  |  F  C_  g }  ->  ( h  e.  x  ->  F  C_ 
U. x ) )
3938exlimdv 1664 . . . . . . . . 9  |-  ( x 
C_  { g  e.  ( Fil `  X
)  |  F  C_  g }  ->  ( E. h  h  e.  x  ->  F  C_  U. x
) )
4030, 39syl5bi 208 . . . . . . . 8  |-  ( x 
C_  { g  e.  ( Fil `  X
)  |  F  C_  g }  ->  ( x  =/=  (/)  ->  F  C_  U. x
) )
4119, 23, 40sylc 56 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  (
x  C_  { g  e.  ( Fil `  X
)  |  F  C_  g }  /\  x  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  x
) )  ->  F  C_ 
U. x )
42 sseq2 3200 . . . . . . . 8  |-  ( g  =  U. x  -> 
( F  C_  g  <->  F 
C_  U. x ) )
4342elrab 2923 . . . . . . 7  |-  ( U. x  e.  { g  e.  ( Fil `  X
)  |  F  C_  g }  <->  ( U. x  e.  ( Fil `  X
)  /\  F  C_  U. x
) )
4429, 41, 43sylanbrc 645 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  (
x  C_  { g  e.  ( Fil `  X
)  |  F  C_  g }  /\  x  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  x
) )  ->  U. x  e.  { g  e.  ( Fil `  X )  |  F  C_  g } )
4544ex 423 . . . . 5  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  ( (
x  C_  { g  e.  ( Fil `  X
)  |  F  C_  g }  /\  x  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  x
)  ->  U. x  e.  { g  e.  ( Fil `  X )  |  F  C_  g } ) )
4645alrimiv 1617 . . . 4  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  A. x
( ( x  C_  { g  e.  ( Fil `  X )  |  F  C_  g }  /\  x  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  x
)  ->  U. x  e.  { g  e.  ( Fil `  X )  |  F  C_  g } ) )
4746adantr 451 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  ~P ~P X  e.  dom  card )  ->  A. x
( ( x  C_  { g  e.  ( Fil `  X )  |  F  C_  g }  /\  x  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  x
)  ->  U. x  e.  { g  e.  ( Fil `  X )  |  F  C_  g } ) )
48 zornn0g 8132 . . 3  |-  ( ( { g  e.  ( Fil `  X )  |  F  C_  g }  e.  dom  card  /\  {
g  e.  ( Fil `  X )  |  F  C_  g }  =/=  (/)  /\  A. x ( ( x 
C_  { g  e.  ( Fil `  X
)  |  F  C_  g }  /\  x  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  x
)  ->  U. x  e.  { g  e.  ( Fil `  X )  |  F  C_  g } ) )  ->  E. f  e.  { g  e.  ( Fil `  X
)  |  F  C_  g } A. h  e. 
{ g  e.  ( Fil `  X )  |  F  C_  g }  -.  f  C.  h
)
4910, 18, 47, 48syl3anc 1182 . 2  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  ~P ~P X  e.  dom  card )  ->  E. f  e.  { g  e.  ( Fil `  X )  |  F  C_  g } A. h  e.  {
g  e.  ( Fil `  X )  |  F  C_  g }  -.  f  C.  h )
50 sseq2 3200 . . . . 5  |-  ( g  =  f  ->  ( F  C_  g  <->  F  C_  f
) )
5150elrab 2923 . . . 4  |-  ( f  e.  { g  e.  ( Fil `  X
)  |  F  C_  g }  <->  ( f  e.  ( Fil `  X
)  /\  F  C_  f
) )
5232ralrab 2927 . . . 4  |-  ( A. h  e.  { g  e.  ( Fil `  X
)  |  F  C_  g }  -.  f  C.  h  <->  A. h  e.  ( Fil `  X ) ( F  C_  h  ->  -.  f  C.  h
) )
53 simpll 730 . . . . . 6  |-  ( ( ( f  e.  ( Fil `  X )  /\  F  C_  f
)  /\  A. h  e.  ( Fil `  X
) ( F  C_  h  ->  -.  f  C.  h ) )  -> 
f  e.  ( Fil `  X ) )
54 sstr2 3186 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F 
C_  f  ->  (
f  C_  h  ->  F 
C_  h ) )
5554imim1d 69 . . . . . . . . . 10  |-  ( F 
C_  f  ->  (
( F  C_  h  ->  -.  f  C.  h
)  ->  ( f  C_  h  ->  -.  f  C.  h ) ) )
56 df-pss 3168 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f 
C.  h  <->  ( f  C_  h  /\  f  =/=  h ) )
5756simplbi2 608 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f 
C_  h  ->  (
f  =/=  h  -> 
f  C.  h )
)
5857necon1bd 2514 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f 
C_  h  ->  ( -.  f  C.  h  -> 
f  =  h ) )
5958a2i 12 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( f  C_  h  ->  -.  f  C.  h )  ->  ( f  C_  h  ->  f  =  h ) )
6055, 59syl6 29 . . . . . . . . 9  |-  ( F 
C_  f  ->  (
( F  C_  h  ->  -.  f  C.  h
)  ->  ( f  C_  h  ->  f  =  h ) ) )
6160ralimdv 2622 . . . . . . . 8  |-  ( F 
C_  f  ->  ( A. h  e.  ( Fil `  X ) ( F  C_  h  ->  -.  f  C.  h )  ->  A. h  e.  ( Fil `  X ) ( f  C_  h  ->  f  =  h ) ) )
6261imp 418 . . . . . . 7  |-  ( ( F  C_  f  /\  A. h  e.  ( Fil `  X ) ( F 
C_  h  ->  -.  f  C.  h ) )  ->  A. h  e.  ( Fil `  X ) ( f  C_  h  ->  f  =  h ) )
6362adantll 694 . . . . . 6  |-  ( ( ( f  e.  ( Fil `  X )  /\  F  C_  f
)  /\  A. h  e.  ( Fil `  X
) ( F  C_  h  ->  -.  f  C.  h ) )  ->  A. h  e.  ( Fil `  X ) ( f  C_  h  ->  f  =  h ) )
64 isufil2 17603 . . . . . 6  |-  ( f  e.  ( UFil `  X
)  <->  ( f  e.  ( Fil `  X
)  /\  A. h  e.  ( Fil `  X
) ( f  C_  h  ->  f  =  h ) ) )
6553, 63, 64sylanbrc 645 . . . . 5  |-  ( ( ( f  e.  ( Fil `  X )  /\  F  C_  f
)  /\  A. h  e.  ( Fil `  X
) ( F  C_  h  ->  -.  f  C.  h ) )  -> 
f  e.  ( UFil `  X ) )
66 simplr 731 . . . . 5  |-  ( ( ( f  e.  ( Fil `  X )  /\  F  C_  f
)  /\  A. h  e.  ( Fil `  X
) ( F  C_  h  ->  -.  f  C.  h ) )  ->  F  C_  f )
6765, 66jca 518 . . . 4  |-  ( ( ( f  e.  ( Fil `  X )  /\  F  C_  f
)  /\  A. h  e.  ( Fil `  X
) ( F  C_  h  ->  -.  f  C.  h ) )  -> 
( f  e.  (
UFil `  X )  /\  F  C_  f ) )
6851, 52, 67syl2anb 465 . . 3  |-  ( ( f  e.  { g  e.  ( Fil `  X
)  |  F  C_  g }  /\  A. h  e.  { g  e.  ( Fil `  X )  |  F  C_  g }  -.  f  C.  h
)  ->  ( f  e.  ( UFil `  X
)  /\  F  C_  f
) )
6968reximi2 2649 . 2  |-  ( E. f  e.  { g  e.  ( Fil `  X
)  |  F  C_  g } A. h  e. 
{ g  e.  ( Fil `  X )  |  F  C_  g }  -.  f  C.  h  ->  E. f  e.  (
UFil `  X ) F  C_  f )
7049, 69syl 15 1  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  ~P ~P X  e.  dom  card )  ->  E. f  e.  ( UFil `  X
) F  C_  f
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934   A.wal 1527   E.wex 1528    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   A.wral 2543   E.wrex 2544   {crab 2547    u. cun 3150    C_ wss 3152    C. wpss 3153   (/)c0 3455   ~Pcpw 3625   U.cuni 3827    Or wor 4313   dom cdm 4689   ` cfv 5255   [ C.] crpss 6276   cardccrd 7568   Filcfil 17540   UFilcufil 17594
This theorem is referenced by:  filssufil  17607  numufl  17610
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-rpss 6277  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-fin 6867  df-fi 7165  df-card 7572  df-cda 7794  df-fbas 17520  df-fg 17521  df-fil 17541  df-ufil 17596
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