MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  filtop Structured version   Unicode version

Theorem filtop 17887
Description: The underlying set belongs to the filter. (Contributed by FL, 20-Jul-2007.) (Revised by Stefan O'Rear, 28-Jul-2015.)
Assertion
Ref Expression
filtop  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  X  e.  F )

Proof of Theorem filtop
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 filfbas 17880 . . 3  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  F  e.  ( fBas `  X )
)
2 fbasne0 17862 . . 3  |-  ( F  e.  ( fBas `  X
)  ->  F  =/=  (/) )
31, 2syl 16 . 2  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  F  =/=  (/) )
4 n0 3637 . . 3  |-  ( F  =/=  (/)  <->  E. x  x  e.  F )
5 filelss 17884 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  x  e.  F )  ->  x  C_  X )
6 ssid 3367 . . . . . . 7  |-  X  C_  X
7 filss 17885 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  (
x  e.  F  /\  X  C_  X  /\  x  C_  X ) )  ->  X  e.  F )
873exp2 1171 . . . . . . . 8  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  ( x  e.  F  ->  ( X 
C_  X  ->  (
x  C_  X  ->  X  e.  F ) ) ) )
98imp 419 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  x  e.  F )  ->  ( X  C_  X  ->  (
x  C_  X  ->  X  e.  F ) ) )
106, 9mpi 17 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  x  e.  F )  ->  (
x  C_  X  ->  X  e.  F ) )
115, 10mpd 15 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( Fil `  X )  /\  x  e.  F )  ->  X  e.  F )
1211ex 424 . . . 4  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  ( x  e.  F  ->  X  e.  F ) )
1312exlimdv 1646 . . 3  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  ( E. x  x  e.  F  ->  X  e.  F ) )
144, 13syl5bi 209 . 2  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  ( F  =/=  (/)  ->  X  e.  F ) )
153, 14mpd 15 1  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  X  e.  F )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359   E.wex 1550    e. wcel 1725    =/= wne 2599    C_ wss 3320   (/)c0 3628   ` cfv 5454   fBascfbas 16689   Filcfil 17877
This theorem is referenced by:  isfil2  17888  filn0  17894  infil  17895  filunibas  17913  filuni  17917  trfil1  17918  trfil2  17919  fgtr  17922  trfg  17923  isufil2  17940  filssufil  17944  ssufl  17950  ufileu  17951  filufint  17952  uffixfr  17955  cfinufil  17960  rnelfmlem  17984  rnelfm  17985  fmfnfmlem1  17986  fmfnfmlem2  17987  fmfnfmlem4  17989  fmfnfm  17990  flfval  18022  fclsfnflim  18059  flimfnfcls  18060  fcfval  18065  alexsublem  18075  metustOLD  18597  metust  18598  cmetss  19267  minveclem4a  19331  filnetlem3  26409  filnetlem4  26410
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-op 3823  df-uni 4016  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-id 4498  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fv 5462  df-fbas 16699  df-fil 17878
  Copyright terms: Public domain W3C validator