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Theorem filuni 17580
Description: The union of a nonempty set of filters with a common base and closed under pairwise union is a filter. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Nov-2013.) (Revised by Stefan O'Rear, 2-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
filuni  |-  ( ( F  C_  ( Fil `  X )  /\  F  =/=  (/)  /\  A. f  e.  F  A. g  e.  F  ( f  u.  g )  e.  F
)  ->  U. F  e.  ( Fil `  X
) )
Distinct variable groups:    f, g, F    f, X, g

Proof of Theorem filuni
Dummy variables  h  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eluni2 3831 . . . 4  |-  ( x  e.  U. F  <->  E. f  e.  F  x  e.  f )
2 ssel2 3175 . . . . . . 7  |-  ( ( F  C_  ( Fil `  X )  /\  f  e.  F )  ->  f  e.  ( Fil `  X
) )
3 filelss 17547 . . . . . . . 8  |-  ( ( f  e.  ( Fil `  X )  /\  x  e.  f )  ->  x  C_  X )
43ex 423 . . . . . . 7  |-  ( f  e.  ( Fil `  X
)  ->  ( x  e.  f  ->  x  C_  X ) )
52, 4syl 15 . . . . . 6  |-  ( ( F  C_  ( Fil `  X )  /\  f  e.  F )  ->  (
x  e.  f  ->  x  C_  X ) )
65rexlimdva 2667 . . . . 5  |-  ( F 
C_  ( Fil `  X
)  ->  ( E. f  e.  F  x  e.  f  ->  x  C_  X ) )
763ad2ant1 976 . . . 4  |-  ( ( F  C_  ( Fil `  X )  /\  F  =/=  (/)  /\  A. f  e.  F  A. g  e.  F  ( f  u.  g )  e.  F
)  ->  ( E. f  e.  F  x  e.  f  ->  x  C_  X ) )
81, 7syl5bi 208 . . 3  |-  ( ( F  C_  ( Fil `  X )  /\  F  =/=  (/)  /\  A. f  e.  F  A. g  e.  F  ( f  u.  g )  e.  F
)  ->  ( x  e.  U. F  ->  x  C_  X ) )
98pm4.71rd 616 . 2  |-  ( ( F  C_  ( Fil `  X )  /\  F  =/=  (/)  /\  A. f  e.  F  A. g  e.  F  ( f  u.  g )  e.  F
)  ->  ( x  e.  U. F  <->  ( x  C_  X  /\  x  e. 
U. F ) ) )
10 ssn0 3487 . . . 4  |-  ( ( F  C_  ( Fil `  X )  /\  F  =/=  (/) )  ->  ( Fil `  X )  =/=  (/) )
11 fvprc 5519 . . . . 5  |-  ( -.  X  e.  _V  ->  ( Fil `  X )  =  (/) )
1211necon1ai 2488 . . . 4  |-  ( ( Fil `  X )  =/=  (/)  ->  X  e.  _V )
1310, 12syl 15 . . 3  |-  ( ( F  C_  ( Fil `  X )  /\  F  =/=  (/) )  ->  X  e.  _V )
14133adant3 975 . 2  |-  ( ( F  C_  ( Fil `  X )  /\  F  =/=  (/)  /\  A. f  e.  F  A. g  e.  F  ( f  u.  g )  e.  F
)  ->  X  e.  _V )
15 filtop 17550 . . . . . . . . 9  |-  ( f  e.  ( Fil `  X
)  ->  X  e.  f )
162, 15syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  C_  ( Fil `  X )  /\  f  e.  F )  ->  X  e.  f )
1716a1d 22 . . . . . . 7  |-  ( ( F  C_  ( Fil `  X )  /\  f  e.  F )  ->  ( A. g  e.  F  ( f  u.  g
)  e.  F  ->  X  e.  f )
)
1817ralimdva 2621 . . . . . 6  |-  ( F 
C_  ( Fil `  X
)  ->  ( A. f  e.  F  A. g  e.  F  (
f  u.  g )  e.  F  ->  A. f  e.  F  X  e.  f ) )
19 r19.2z 3543 . . . . . . 7  |-  ( ( F  =/=  (/)  /\  A. f  e.  F  X  e.  f )  ->  E. f  e.  F  X  e.  f )
2019ex 423 . . . . . 6  |-  ( F  =/=  (/)  ->  ( A. f  e.  F  X  e.  f  ->  E. f  e.  F  X  e.  f ) )
2118, 20sylan9 638 . . . . 5  |-  ( ( F  C_  ( Fil `  X )  /\  F  =/=  (/) )  ->  ( A. f  e.  F  A. g  e.  F  ( f  u.  g
)  e.  F  ->  E. f  e.  F  X  e.  f )
)
22213impia 1148 . . . 4  |-  ( ( F  C_  ( Fil `  X )  /\  F  =/=  (/)  /\  A. f  e.  F  A. g  e.  F  ( f  u.  g )  e.  F
)  ->  E. f  e.  F  X  e.  f )
23 eluni2 3831 . . . 4  |-  ( X  e.  U. F  <->  E. f  e.  F  X  e.  f )
2422, 23sylibr 203 . . 3  |-  ( ( F  C_  ( Fil `  X )  /\  F  =/=  (/)  /\  A. f  e.  F  A. g  e.  F  ( f  u.  g )  e.  F
)  ->  X  e.  U. F )
25 sbcel1gv 3050 . . . 4  |-  ( X  e.  _V  ->  ( [. X  /  x ]. x  e.  U. F  <->  X  e.  U. F ) )
2614, 25syl 15 . . 3  |-  ( ( F  C_  ( Fil `  X )  /\  F  =/=  (/)  /\  A. f  e.  F  A. g  e.  F  ( f  u.  g )  e.  F
)  ->  ( [. X  /  x ]. x  e.  U. F  <->  X  e.  U. F ) )
2724, 26mpbird 223 . 2  |-  ( ( F  C_  ( Fil `  X )  /\  F  =/=  (/)  /\  A. f  e.  F  A. g  e.  F  ( f  u.  g )  e.  F
)  ->  [. X  /  x ]. x  e.  U. F )
28 0nelfil 17544 . . . . . 6  |-  ( f  e.  ( Fil `  X
)  ->  -.  (/)  e.  f )
292, 28syl 15 . . . . 5  |-  ( ( F  C_  ( Fil `  X )  /\  f  e.  F )  ->  -.  (/) 
e.  f )
3029ralrimiva 2626 . . . 4  |-  ( F 
C_  ( Fil `  X
)  ->  A. f  e.  F  -.  (/)  e.  f )
31303ad2ant1 976 . . 3  |-  ( ( F  C_  ( Fil `  X )  /\  F  =/=  (/)  /\  A. f  e.  F  A. g  e.  F  ( f  u.  g )  e.  F
)  ->  A. f  e.  F  -.  (/)  e.  f )
32 0ex 4150 . . . . . . 7  |-  (/)  e.  _V
33 sbcel1gv 3050 . . . . . . 7  |-  ( (/)  e.  _V  ->  ( [. (/)  /  x ]. x  e. 
U. F  <->  (/)  e.  U. F ) )
3432, 33ax-mp 8 . . . . . 6  |-  ( [. (/)  /  x ]. x  e. 
U. F  <->  (/)  e.  U. F )
35 eluni2 3831 . . . . . 6  |-  ( (/)  e.  U. F  <->  E. f  e.  F  (/)  e.  f )
3634, 35bitri 240 . . . . 5  |-  ( [. (/)  /  x ]. x  e. 
U. F  <->  E. f  e.  F  (/)  e.  f )
3736notbii 287 . . . 4  |-  ( -. 
[. (/)  /  x ]. x  e.  U. F  <->  -.  E. f  e.  F  (/)  e.  f )
38 ralnex 2553 . . . 4  |-  ( A. f  e.  F  -.  (/) 
e.  f  <->  -.  E. f  e.  F  (/)  e.  f )
3937, 38bitr4i 243 . . 3  |-  ( -. 
[. (/)  /  x ]. x  e.  U. F  <->  A. f  e.  F  -.  (/)  e.  f )
4031, 39sylibr 203 . 2  |-  ( ( F  C_  ( Fil `  X )  /\  F  =/=  (/)  /\  A. f  e.  F  A. g  e.  F  ( f  u.  g )  e.  F
)  ->  -.  [. (/)  /  x ]. x  e.  U. F
)
41 simp13 987 . . . . 5  |-  ( ( ( F  C_  ( Fil `  X )  /\  F  =/=  (/)  /\  A. f  e.  F  A. g  e.  F  ( f  u.  g )  e.  F
)  /\  y  C_  X  /\  x  C_  y
)  ->  A. f  e.  F  A. g  e.  F  ( f  u.  g )  e.  F
)
42 r19.29 2683 . . . . . 6  |-  ( ( A. f  e.  F  A. g  e.  F  ( f  u.  g
)  e.  F  /\  E. f  e.  F  x  e.  f )  ->  E. f  e.  F  ( A. g  e.  F  ( f  u.  g
)  e.  F  /\  x  e.  f )
)
4342ex 423 . . . . 5  |-  ( A. f  e.  F  A. g  e.  F  (
f  u.  g )  e.  F  ->  ( E. f  e.  F  x  e.  f  ->  E. f  e.  F  ( A. g  e.  F  ( f  u.  g
)  e.  F  /\  x  e.  f )
) )
4441, 43syl 15 . . . 4  |-  ( ( ( F  C_  ( Fil `  X )  /\  F  =/=  (/)  /\  A. f  e.  F  A. g  e.  F  ( f  u.  g )  e.  F
)  /\  y  C_  X  /\  x  C_  y
)  ->  ( E. f  e.  F  x  e.  f  ->  E. f  e.  F  ( A. g  e.  F  (
f  u.  g )  e.  F  /\  x  e.  f ) ) )
45 simp1 955 . . . . 5  |-  ( ( F  C_  ( Fil `  X )  /\  F  =/=  (/)  /\  A. f  e.  F  A. g  e.  F  ( f  u.  g )  e.  F
)  ->  F  C_  ( Fil `  X ) )
46 simp1 955 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  C_  ( Fil `  X )  /\  y  C_  X  /\  x  C_  y )  ->  F  C_  ( Fil `  X
) )
47 simpl 443 . . . . . . . . 9  |-  ( ( f  e.  F  /\  ( A. g  e.  F  ( f  u.  g
)  e.  F  /\  x  e.  f )
)  ->  f  e.  F )
4846, 47, 2syl2an 463 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F  C_  ( Fil `  X )  /\  y  C_  X  /\  x  C_  y )  /\  (
f  e.  F  /\  ( A. g  e.  F  ( f  u.  g
)  e.  F  /\  x  e.  f )
) )  ->  f  e.  ( Fil `  X
) )
49 simprrr 741 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F  C_  ( Fil `  X )  /\  y  C_  X  /\  x  C_  y )  /\  (
f  e.  F  /\  ( A. g  e.  F  ( f  u.  g
)  e.  F  /\  x  e.  f )
) )  ->  x  e.  f )
50 simpl2 959 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F  C_  ( Fil `  X )  /\  y  C_  X  /\  x  C_  y )  /\  (
f  e.  F  /\  ( A. g  e.  F  ( f  u.  g
)  e.  F  /\  x  e.  f )
) )  ->  y  C_  X )
51 simpl3 960 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F  C_  ( Fil `  X )  /\  y  C_  X  /\  x  C_  y )  /\  (
f  e.  F  /\  ( A. g  e.  F  ( f  u.  g
)  e.  F  /\  x  e.  f )
) )  ->  x  C_  y )
52 filss 17548 . . . . . . . 8  |-  ( ( f  e.  ( Fil `  X )  /\  (
x  e.  f  /\  y  C_  X  /\  x  C_  y ) )  -> 
y  e.  f )
5348, 49, 50, 51, 52syl13anc 1184 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F  C_  ( Fil `  X )  /\  y  C_  X  /\  x  C_  y )  /\  (
f  e.  F  /\  ( A. g  e.  F  ( f  u.  g
)  e.  F  /\  x  e.  f )
) )  ->  y  e.  f )
5453expr 598 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  C_  ( Fil `  X )  /\  y  C_  X  /\  x  C_  y )  /\  f  e.  F )  ->  (
( A. g  e.  F  ( f  u.  g )  e.  F  /\  x  e.  f
)  ->  y  e.  f ) )
5554reximdva 2655 . . . . 5  |-  ( ( F  C_  ( Fil `  X )  /\  y  C_  X  /\  x  C_  y )  ->  ( E. f  e.  F  ( A. g  e.  F  ( f  u.  g
)  e.  F  /\  x  e.  f )  ->  E. f  e.  F  y  e.  f )
)
5645, 55syl3an1 1215 . . . 4  |-  ( ( ( F  C_  ( Fil `  X )  /\  F  =/=  (/)  /\  A. f  e.  F  A. g  e.  F  ( f  u.  g )  e.  F
)  /\  y  C_  X  /\  x  C_  y
)  ->  ( E. f  e.  F  ( A. g  e.  F  ( f  u.  g
)  e.  F  /\  x  e.  f )  ->  E. f  e.  F  y  e.  f )
)
5744, 56syld 40 . . 3  |-  ( ( ( F  C_  ( Fil `  X )  /\  F  =/=  (/)  /\  A. f  e.  F  A. g  e.  F  ( f  u.  g )  e.  F
)  /\  y  C_  X  /\  x  C_  y
)  ->  ( E. f  e.  F  x  e.  f  ->  E. f  e.  F  y  e.  f ) )
58 vex 2791 . . . . 5  |-  x  e. 
_V
59 sbcel1gv 3050 . . . . 5  |-  ( x  e.  _V  ->  ( [. x  /  x ]. x  e.  U. F  <->  x  e.  U. F ) )
6058, 59ax-mp 8 . . . 4  |-  ( [. x  /  x ]. x  e.  U. F  <->  x  e.  U. F )
6160, 1bitri 240 . . 3  |-  ( [. x  /  x ]. x  e.  U. F  <->  E. f  e.  F  x  e.  f )
62 vex 2791 . . . . 5  |-  y  e. 
_V
63 sbcel1gv 3050 . . . . 5  |-  ( y  e.  _V  ->  ( [. y  /  x ]. x  e.  U. F  <->  y  e.  U. F ) )
6462, 63ax-mp 8 . . . 4  |-  ( [. y  /  x ]. x  e.  U. F  <->  y  e.  U. F )
65 eluni2 3831 . . . 4  |-  ( y  e.  U. F  <->  E. f  e.  F  y  e.  f )
6664, 65bitri 240 . . 3  |-  ( [. y  /  x ]. x  e.  U. F  <->  E. f  e.  F  y  e.  f )
6757, 61, 663imtr4g 261 . 2  |-  ( ( ( F  C_  ( Fil `  X )  /\  F  =/=  (/)  /\  A. f  e.  F  A. g  e.  F  ( f  u.  g )  e.  F
)  /\  y  C_  X  /\  x  C_  y
)  ->  ( [. x  /  x ]. x  e.  U. F  ->  [. y  /  x ]. x  e. 
U. F ) )
68 simp13 987 . . . . 5  |-  ( ( ( F  C_  ( Fil `  X )  /\  F  =/=  (/)  /\  A. f  e.  F  A. g  e.  F  ( f  u.  g )  e.  F
)  /\  y  C_  X  /\  x  C_  X
)  ->  A. f  e.  F  A. g  e.  F  ( f  u.  g )  e.  F
)
69 r19.29 2683 . . . . . 6  |-  ( ( A. f  e.  F  A. g  e.  F  ( f  u.  g
)  e.  F  /\  E. f  e.  F  y  e.  f )  ->  E. f  e.  F  ( A. g  e.  F  ( f  u.  g
)  e.  F  /\  y  e.  f )
)
7069ex 423 . . . . 5  |-  ( A. f  e.  F  A. g  e.  F  (
f  u.  g )  e.  F  ->  ( E. f  e.  F  y  e.  f  ->  E. f  e.  F  ( A. g  e.  F  ( f  u.  g
)  e.  F  /\  y  e.  f )
) )
7168, 70syl 15 . . . 4  |-  ( ( ( F  C_  ( Fil `  X )  /\  F  =/=  (/)  /\  A. f  e.  F  A. g  e.  F  ( f  u.  g )  e.  F
)  /\  y  C_  X  /\  x  C_  X
)  ->  ( E. f  e.  F  y  e.  f  ->  E. f  e.  F  ( A. g  e.  F  (
f  u.  g )  e.  F  /\  y  e.  f ) ) )
72 simp11 985 . . . . 5  |-  ( ( ( F  C_  ( Fil `  X )  /\  F  =/=  (/)  /\  A. f  e.  F  A. g  e.  F  ( f  u.  g )  e.  F
)  /\  y  C_  X  /\  x  C_  X
)  ->  F  C_  ( Fil `  X ) )
73 r19.29 2683 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A. g  e.  F  ( f  u.  g
)  e.  F  /\  E. g  e.  F  x  e.  g )  ->  E. g  e.  F  ( ( f  u.  g )  e.  F  /\  x  e.  g
) )
7473ex 423 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. g  e.  F  (
f  u.  g )  e.  F  ->  ( E. g  e.  F  x  e.  g  ->  E. g  e.  F  ( ( f  u.  g
)  e.  F  /\  x  e.  g )
) )
75 elun1 3342 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  e.  f  ->  y  e.  ( f  u.  g
) )
76 elun2 3343 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  g  ->  x  e.  ( f  u.  g
) )
7775, 76anim12i 549 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( y  e.  f  /\  x  e.  g )  ->  ( y  e.  ( f  u.  g )  /\  x  e.  ( f  u.  g ) ) )
78 eleq2 2344 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( h  =  ( f  u.  g )  ->  (
y  e.  h  <->  y  e.  ( f  u.  g
) ) )
79 eleq2 2344 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( h  =  ( f  u.  g )  ->  (
x  e.  h  <->  x  e.  ( f  u.  g
) ) )
8078, 79anbi12d 691 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( h  =  ( f  u.  g )  ->  (
( y  e.  h  /\  x  e.  h
)  <->  ( y  e.  ( f  u.  g
)  /\  x  e.  ( f  u.  g
) ) ) )
8180rspcev 2884 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( f  u.  g
)  e.  F  /\  ( y  e.  ( f  u.  g )  /\  x  e.  ( f  u.  g ) ) )  ->  E. h  e.  F  ( y  e.  h  /\  x  e.  h ) )
8277, 81sylan2 460 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( f  u.  g
)  e.  F  /\  ( y  e.  f  /\  x  e.  g ) )  ->  E. h  e.  F  ( y  e.  h  /\  x  e.  h ) )
8382an12s 776 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  e.  f  /\  ( ( f  u.  g )  e.  F  /\  x  e.  g
) )  ->  E. h  e.  F  ( y  e.  h  /\  x  e.  h ) )
8483ex 423 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  f  ->  (
( ( f  u.  g )  e.  F  /\  x  e.  g
)  ->  E. h  e.  F  ( y  e.  h  /\  x  e.  h ) ) )
8584ad2antlr 707 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( f  e.  F  /\  y  e.  f
)  /\  g  e.  F )  ->  (
( ( f  u.  g )  e.  F  /\  x  e.  g
)  ->  E. h  e.  F  ( y  e.  h  /\  x  e.  h ) ) )
8685rexlimdva 2667 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( f  e.  F  /\  y  e.  f )  ->  ( E. g  e.  F  ( ( f  u.  g )  e.  F  /\  x  e.  g )  ->  E. h  e.  F  ( y  e.  h  /\  x  e.  h ) ) )
8774, 86syl9r 67 . . . . . . . . 9  |-  ( ( f  e.  F  /\  y  e.  f )  ->  ( A. g  e.  F  ( f  u.  g )  e.  F  ->  ( E. g  e.  F  x  e.  g  ->  E. h  e.  F  ( y  e.  h  /\  x  e.  h
) ) ) )
8887impr 602 . . . . . . . 8  |-  ( ( f  e.  F  /\  ( y  e.  f  /\  A. g  e.  F  ( f  u.  g )  e.  F
) )  ->  ( E. g  e.  F  x  e.  g  ->  E. h  e.  F  ( y  e.  h  /\  x  e.  h )
) )
8988ancom2s 777 . . . . . . 7  |-  ( ( f  e.  F  /\  ( A. g  e.  F  ( f  u.  g
)  e.  F  /\  y  e.  f )
)  ->  ( E. g  e.  F  x  e.  g  ->  E. h  e.  F  ( y  e.  h  /\  x  e.  h ) ) )
9089rexlimiva 2662 . . . . . 6  |-  ( E. f  e.  F  ( A. g  e.  F  ( f  u.  g
)  e.  F  /\  y  e.  f )  ->  ( E. g  e.  F  x  e.  g  ->  E. h  e.  F  ( y  e.  h  /\  x  e.  h
) ) )
9190imp 418 . . . . 5  |-  ( ( E. f  e.  F  ( A. g  e.  F  ( f  u.  g
)  e.  F  /\  y  e.  f )  /\  E. g  e.  F  x  e.  g )  ->  E. h  e.  F  ( y  e.  h  /\  x  e.  h
) )
92 ssel2 3175 . . . . . . 7  |-  ( ( F  C_  ( Fil `  X )  /\  h  e.  F )  ->  h  e.  ( Fil `  X
) )
93 filin 17549 . . . . . . . 8  |-  ( ( h  e.  ( Fil `  X )  /\  y  e.  h  /\  x  e.  h )  ->  (
y  i^i  x )  e.  h )
94933expib 1154 . . . . . . 7  |-  ( h  e.  ( Fil `  X
)  ->  ( (
y  e.  h  /\  x  e.  h )  ->  ( y  i^i  x
)  e.  h ) )
9592, 94syl 15 . . . . . 6  |-  ( ( F  C_  ( Fil `  X )  /\  h  e.  F )  ->  (
( y  e.  h  /\  x  e.  h
)  ->  ( y  i^i  x )  e.  h
) )
9695reximdva 2655 . . . . 5  |-  ( F 
C_  ( Fil `  X
)  ->  ( E. h  e.  F  (
y  e.  h  /\  x  e.  h )  ->  E. h  e.  F  ( y  i^i  x
)  e.  h ) )
9772, 91, 96syl2im 34 . . . 4  |-  ( ( ( F  C_  ( Fil `  X )  /\  F  =/=  (/)  /\  A. f  e.  F  A. g  e.  F  ( f  u.  g )  e.  F
)  /\  y  C_  X  /\  x  C_  X
)  ->  ( ( E. f  e.  F  ( A. g  e.  F  ( f  u.  g
)  e.  F  /\  y  e.  f )  /\  E. g  e.  F  x  e.  g )  ->  E. h  e.  F  ( y  i^i  x
)  e.  h ) )
9871, 97syland 467 . . 3  |-  ( ( ( F  C_  ( Fil `  X )  /\  F  =/=  (/)  /\  A. f  e.  F  A. g  e.  F  ( f  u.  g )  e.  F
)  /\  y  C_  X  /\  x  C_  X
)  ->  ( ( E. f  e.  F  y  e.  f  /\  E. g  e.  F  x  e.  g )  ->  E. h  e.  F  ( y  i^i  x
)  e.  h ) )
99 eluni2 3831 . . . . 5  |-  ( x  e.  U. F  <->  E. g  e.  F  x  e.  g )
10060, 99bitri 240 . . . 4  |-  ( [. x  /  x ]. x  e.  U. F  <->  E. g  e.  F  x  e.  g )
10166, 100anbi12i 678 . . 3  |-  ( (
[. y  /  x ]. x  e.  U. F  /\  [. x  /  x ]. x  e.  U. F
)  <->  ( E. f  e.  F  y  e.  f  /\  E. g  e.  F  x  e.  g ) )
10262inex1 4155 . . . . 5  |-  ( y  i^i  x )  e. 
_V
103 sbcel1gv 3050 . . . . 5  |-  ( ( y  i^i  x )  e.  _V  ->  ( [. ( y  i^i  x
)  /  x ]. x  e.  U. F  <->  ( y  i^i  x )  e.  U. F ) )
104102, 103ax-mp 8 . . . 4  |-  ( [. ( y  i^i  x
)  /  x ]. x  e.  U. F  <->  ( y  i^i  x )  e.  U. F )
105 eluni2 3831 . . . 4  |-  ( ( y  i^i  x )  e.  U. F  <->  E. h  e.  F  ( y  i^i  x )  e.  h
)
106104, 105bitri 240 . . 3  |-  ( [. ( y  i^i  x
)  /  x ]. x  e.  U. F  <->  E. h  e.  F  ( y  i^i  x )  e.  h
)
10798, 101, 1063imtr4g 261 . 2  |-  ( ( ( F  C_  ( Fil `  X )  /\  F  =/=  (/)  /\  A. f  e.  F  A. g  e.  F  ( f  u.  g )  e.  F
)  /\  y  C_  X  /\  x  C_  X
)  ->  ( ( [. y  /  x ]. x  e.  U. F  /\  [. x  /  x ]. x  e.  U. F
)  ->  [. ( y  i^i  x )  /  x ]. x  e.  U. F ) )
1089, 14, 27, 40, 67, 107isfild 17553 1  |-  ( ( F  C_  ( Fil `  X )  /\  F  =/=  (/)  /\  A. f  e.  F  A. g  e.  F  ( f  u.  g )  e.  F
)  ->  U. F  e.  ( Fil `  X
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   A.wral 2543   E.wrex 2544   _Vcvv 2788   [.wsbc 2991    u. cun 3150    i^i cin 3151    C_ wss 3152   (/)c0 3455   U.cuni 3827   ` cfv 5255   Filcfil 17540
This theorem is referenced by:  filssufilg  17606
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fv 5263  df-fbas 17520  df-fil 17541
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