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Theorem filuni 17922
Description: The union of a nonempty set of filters with a common base and closed under pairwise union is a filter. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Nov-2013.) (Revised by Stefan O'Rear, 2-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
filuni  |-  ( ( F  C_  ( Fil `  X )  /\  F  =/=  (/)  /\  A. f  e.  F  A. g  e.  F  ( f  u.  g )  e.  F
)  ->  U. F  e.  ( Fil `  X
) )
Distinct variable groups:    f, g, F    f, X, g

Proof of Theorem filuni
Dummy variables  h  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eluni2 4021 . . . 4  |-  ( x  e.  U. F  <->  E. f  e.  F  x  e.  f )
2 ssel2 3345 . . . . . . 7  |-  ( ( F  C_  ( Fil `  X )  /\  f  e.  F )  ->  f  e.  ( Fil `  X
) )
3 filelss 17889 . . . . . . . 8  |-  ( ( f  e.  ( Fil `  X )  /\  x  e.  f )  ->  x  C_  X )
43ex 425 . . . . . . 7  |-  ( f  e.  ( Fil `  X
)  ->  ( x  e.  f  ->  x  C_  X ) )
52, 4syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( F  C_  ( Fil `  X )  /\  f  e.  F )  ->  (
x  e.  f  ->  x  C_  X ) )
65rexlimdva 2832 . . . . 5  |-  ( F 
C_  ( Fil `  X
)  ->  ( E. f  e.  F  x  e.  f  ->  x  C_  X ) )
763ad2ant1 979 . . . 4  |-  ( ( F  C_  ( Fil `  X )  /\  F  =/=  (/)  /\  A. f  e.  F  A. g  e.  F  ( f  u.  g )  e.  F
)  ->  ( E. f  e.  F  x  e.  f  ->  x  C_  X ) )
81, 7syl5bi 210 . . 3  |-  ( ( F  C_  ( Fil `  X )  /\  F  =/=  (/)  /\  A. f  e.  F  A. g  e.  F  ( f  u.  g )  e.  F
)  ->  ( x  e.  U. F  ->  x  C_  X ) )
98pm4.71rd 618 . 2  |-  ( ( F  C_  ( Fil `  X )  /\  F  =/=  (/)  /\  A. f  e.  F  A. g  e.  F  ( f  u.  g )  e.  F
)  ->  ( x  e.  U. F  <->  ( x  C_  X  /\  x  e. 
U. F ) ) )
10 ssn0 3662 . . . 4  |-  ( ( F  C_  ( Fil `  X )  /\  F  =/=  (/) )  ->  ( Fil `  X )  =/=  (/) )
11 fvprc 5725 . . . . 5  |-  ( -.  X  e.  _V  ->  ( Fil `  X )  =  (/) )
1211necon1ai 2648 . . . 4  |-  ( ( Fil `  X )  =/=  (/)  ->  X  e.  _V )
1310, 12syl 16 . . 3  |-  ( ( F  C_  ( Fil `  X )  /\  F  =/=  (/) )  ->  X  e.  _V )
14133adant3 978 . 2  |-  ( ( F  C_  ( Fil `  X )  /\  F  =/=  (/)  /\  A. f  e.  F  A. g  e.  F  ( f  u.  g )  e.  F
)  ->  X  e.  _V )
15 filtop 17892 . . . . . . . . 9  |-  ( f  e.  ( Fil `  X
)  ->  X  e.  f )
162, 15syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  C_  ( Fil `  X )  /\  f  e.  F )  ->  X  e.  f )
1716a1d 24 . . . . . . 7  |-  ( ( F  C_  ( Fil `  X )  /\  f  e.  F )  ->  ( A. g  e.  F  ( f  u.  g
)  e.  F  ->  X  e.  f )
)
1817ralimdva 2786 . . . . . 6  |-  ( F 
C_  ( Fil `  X
)  ->  ( A. f  e.  F  A. g  e.  F  (
f  u.  g )  e.  F  ->  A. f  e.  F  X  e.  f ) )
19 r19.2z 3719 . . . . . . 7  |-  ( ( F  =/=  (/)  /\  A. f  e.  F  X  e.  f )  ->  E. f  e.  F  X  e.  f )
2019ex 425 . . . . . 6  |-  ( F  =/=  (/)  ->  ( A. f  e.  F  X  e.  f  ->  E. f  e.  F  X  e.  f ) )
2118, 20sylan9 640 . . . . 5  |-  ( ( F  C_  ( Fil `  X )  /\  F  =/=  (/) )  ->  ( A. f  e.  F  A. g  e.  F  ( f  u.  g
)  e.  F  ->  E. f  e.  F  X  e.  f )
)
22213impia 1151 . . . 4  |-  ( ( F  C_  ( Fil `  X )  /\  F  =/=  (/)  /\  A. f  e.  F  A. g  e.  F  ( f  u.  g )  e.  F
)  ->  E. f  e.  F  X  e.  f )
23 eluni2 4021 . . . 4  |-  ( X  e.  U. F  <->  E. f  e.  F  X  e.  f )
2422, 23sylibr 205 . . 3  |-  ( ( F  C_  ( Fil `  X )  /\  F  =/=  (/)  /\  A. f  e.  F  A. g  e.  F  ( f  u.  g )  e.  F
)  ->  X  e.  U. F )
25 sbcel1gv 3222 . . . 4  |-  ( X  e.  _V  ->  ( [. X  /  x ]. x  e.  U. F  <->  X  e.  U. F ) )
2614, 25syl 16 . . 3  |-  ( ( F  C_  ( Fil `  X )  /\  F  =/=  (/)  /\  A. f  e.  F  A. g  e.  F  ( f  u.  g )  e.  F
)  ->  ( [. X  /  x ]. x  e.  U. F  <->  X  e.  U. F ) )
2724, 26mpbird 225 . 2  |-  ( ( F  C_  ( Fil `  X )  /\  F  =/=  (/)  /\  A. f  e.  F  A. g  e.  F  ( f  u.  g )  e.  F
)  ->  [. X  /  x ]. x  e.  U. F )
28 0nelfil 17886 . . . . . 6  |-  ( f  e.  ( Fil `  X
)  ->  -.  (/)  e.  f )
292, 28syl 16 . . . . 5  |-  ( ( F  C_  ( Fil `  X )  /\  f  e.  F )  ->  -.  (/) 
e.  f )
3029ralrimiva 2791 . . . 4  |-  ( F 
C_  ( Fil `  X
)  ->  A. f  e.  F  -.  (/)  e.  f )
31303ad2ant1 979 . . 3  |-  ( ( F  C_  ( Fil `  X )  /\  F  =/=  (/)  /\  A. f  e.  F  A. g  e.  F  ( f  u.  g )  e.  F
)  ->  A. f  e.  F  -.  (/)  e.  f )
32 0ex 4342 . . . . . . 7  |-  (/)  e.  _V
33 sbcel1gv 3222 . . . . . . 7  |-  ( (/)  e.  _V  ->  ( [. (/)  /  x ]. x  e. 
U. F  <->  (/)  e.  U. F ) )
3432, 33ax-mp 5 . . . . . 6  |-  ( [. (/)  /  x ]. x  e. 
U. F  <->  (/)  e.  U. F )
35 eluni2 4021 . . . . . 6  |-  ( (/)  e.  U. F  <->  E. f  e.  F  (/)  e.  f )
3634, 35bitri 242 . . . . 5  |-  ( [. (/)  /  x ]. x  e. 
U. F  <->  E. f  e.  F  (/)  e.  f )
3736notbii 289 . . . 4  |-  ( -. 
[. (/)  /  x ]. x  e.  U. F  <->  -.  E. f  e.  F  (/)  e.  f )
38 ralnex 2717 . . . 4  |-  ( A. f  e.  F  -.  (/) 
e.  f  <->  -.  E. f  e.  F  (/)  e.  f )
3937, 38bitr4i 245 . . 3  |-  ( -. 
[. (/)  /  x ]. x  e.  U. F  <->  A. f  e.  F  -.  (/)  e.  f )
4031, 39sylibr 205 . 2  |-  ( ( F  C_  ( Fil `  X )  /\  F  =/=  (/)  /\  A. f  e.  F  A. g  e.  F  ( f  u.  g )  e.  F
)  ->  -.  [. (/)  /  x ]. x  e.  U. F
)
41 simp13 990 . . . . 5  |-  ( ( ( F  C_  ( Fil `  X )  /\  F  =/=  (/)  /\  A. f  e.  F  A. g  e.  F  ( f  u.  g )  e.  F
)  /\  y  C_  X  /\  x  C_  y
)  ->  A. f  e.  F  A. g  e.  F  ( f  u.  g )  e.  F
)
42 r19.29 2848 . . . . . 6  |-  ( ( A. f  e.  F  A. g  e.  F  ( f  u.  g
)  e.  F  /\  E. f  e.  F  x  e.  f )  ->  E. f  e.  F  ( A. g  e.  F  ( f  u.  g
)  e.  F  /\  x  e.  f )
)
4342ex 425 . . . . 5  |-  ( A. f  e.  F  A. g  e.  F  (
f  u.  g )  e.  F  ->  ( E. f  e.  F  x  e.  f  ->  E. f  e.  F  ( A. g  e.  F  ( f  u.  g
)  e.  F  /\  x  e.  f )
) )
4441, 43syl 16 . . . 4  |-  ( ( ( F  C_  ( Fil `  X )  /\  F  =/=  (/)  /\  A. f  e.  F  A. g  e.  F  ( f  u.  g )  e.  F
)  /\  y  C_  X  /\  x  C_  y
)  ->  ( E. f  e.  F  x  e.  f  ->  E. f  e.  F  ( A. g  e.  F  (
f  u.  g )  e.  F  /\  x  e.  f ) ) )
45 simp1 958 . . . . 5  |-  ( ( F  C_  ( Fil `  X )  /\  F  =/=  (/)  /\  A. f  e.  F  A. g  e.  F  ( f  u.  g )  e.  F
)  ->  F  C_  ( Fil `  X ) )
46 simp1 958 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  C_  ( Fil `  X )  /\  y  C_  X  /\  x  C_  y )  ->  F  C_  ( Fil `  X
) )
47 simpl 445 . . . . . . . . 9  |-  ( ( f  e.  F  /\  ( A. g  e.  F  ( f  u.  g
)  e.  F  /\  x  e.  f )
)  ->  f  e.  F )
4846, 47, 2syl2an 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F  C_  ( Fil `  X )  /\  y  C_  X  /\  x  C_  y )  /\  (
f  e.  F  /\  ( A. g  e.  F  ( f  u.  g
)  e.  F  /\  x  e.  f )
) )  ->  f  e.  ( Fil `  X
) )
49 simprrr 743 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F  C_  ( Fil `  X )  /\  y  C_  X  /\  x  C_  y )  /\  (
f  e.  F  /\  ( A. g  e.  F  ( f  u.  g
)  e.  F  /\  x  e.  f )
) )  ->  x  e.  f )
50 simpl2 962 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F  C_  ( Fil `  X )  /\  y  C_  X  /\  x  C_  y )  /\  (
f  e.  F  /\  ( A. g  e.  F  ( f  u.  g
)  e.  F  /\  x  e.  f )
) )  ->  y  C_  X )
51 simpl3 963 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F  C_  ( Fil `  X )  /\  y  C_  X  /\  x  C_  y )  /\  (
f  e.  F  /\  ( A. g  e.  F  ( f  u.  g
)  e.  F  /\  x  e.  f )
) )  ->  x  C_  y )
52 filss 17890 . . . . . . . 8  |-  ( ( f  e.  ( Fil `  X )  /\  (
x  e.  f  /\  y  C_  X  /\  x  C_  y ) )  -> 
y  e.  f )
5348, 49, 50, 51, 52syl13anc 1187 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F  C_  ( Fil `  X )  /\  y  C_  X  /\  x  C_  y )  /\  (
f  e.  F  /\  ( A. g  e.  F  ( f  u.  g
)  e.  F  /\  x  e.  f )
) )  ->  y  e.  f )
5453expr 600 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  C_  ( Fil `  X )  /\  y  C_  X  /\  x  C_  y )  /\  f  e.  F )  ->  (
( A. g  e.  F  ( f  u.  g )  e.  F  /\  x  e.  f
)  ->  y  e.  f ) )
5554reximdva 2820 . . . . 5  |-  ( ( F  C_  ( Fil `  X )  /\  y  C_  X  /\  x  C_  y )  ->  ( E. f  e.  F  ( A. g  e.  F  ( f  u.  g
)  e.  F  /\  x  e.  f )  ->  E. f  e.  F  y  e.  f )
)
5645, 55syl3an1 1218 . . . 4  |-  ( ( ( F  C_  ( Fil `  X )  /\  F  =/=  (/)  /\  A. f  e.  F  A. g  e.  F  ( f  u.  g )  e.  F
)  /\  y  C_  X  /\  x  C_  y
)  ->  ( E. f  e.  F  ( A. g  e.  F  ( f  u.  g
)  e.  F  /\  x  e.  f )  ->  E. f  e.  F  y  e.  f )
)
5744, 56syld 43 . . 3  |-  ( ( ( F  C_  ( Fil `  X )  /\  F  =/=  (/)  /\  A. f  e.  F  A. g  e.  F  ( f  u.  g )  e.  F
)  /\  y  C_  X  /\  x  C_  y
)  ->  ( E. f  e.  F  x  e.  f  ->  E. f  e.  F  y  e.  f ) )
58 sbcid 3179 . . . 4  |-  ( [. x  /  x ]. x  e.  U. F  <->  x  e.  U. F )
5958, 1bitri 242 . . 3  |-  ( [. x  /  x ]. x  e.  U. F  <->  E. f  e.  F  x  e.  f )
60 vex 2961 . . . . 5  |-  y  e. 
_V
61 sbcel1gv 3222 . . . . 5  |-  ( y  e.  _V  ->  ( [. y  /  x ]. x  e.  U. F  <->  y  e.  U. F ) )
6260, 61ax-mp 5 . . . 4  |-  ( [. y  /  x ]. x  e.  U. F  <->  y  e.  U. F )
63 eluni2 4021 . . . 4  |-  ( y  e.  U. F  <->  E. f  e.  F  y  e.  f )
6462, 63bitri 242 . . 3  |-  ( [. y  /  x ]. x  e.  U. F  <->  E. f  e.  F  y  e.  f )
6557, 59, 643imtr4g 263 . 2  |-  ( ( ( F  C_  ( Fil `  X )  /\  F  =/=  (/)  /\  A. f  e.  F  A. g  e.  F  ( f  u.  g )  e.  F
)  /\  y  C_  X  /\  x  C_  y
)  ->  ( [. x  /  x ]. x  e.  U. F  ->  [. y  /  x ]. x  e. 
U. F ) )
66 simp13 990 . . . . 5  |-  ( ( ( F  C_  ( Fil `  X )  /\  F  =/=  (/)  /\  A. f  e.  F  A. g  e.  F  ( f  u.  g )  e.  F
)  /\  y  C_  X  /\  x  C_  X
)  ->  A. f  e.  F  A. g  e.  F  ( f  u.  g )  e.  F
)
67 r19.29 2848 . . . . . 6  |-  ( ( A. f  e.  F  A. g  e.  F  ( f  u.  g
)  e.  F  /\  E. f  e.  F  y  e.  f )  ->  E. f  e.  F  ( A. g  e.  F  ( f  u.  g
)  e.  F  /\  y  e.  f )
)
6867ex 425 . . . . 5  |-  ( A. f  e.  F  A. g  e.  F  (
f  u.  g )  e.  F  ->  ( E. f  e.  F  y  e.  f  ->  E. f  e.  F  ( A. g  e.  F  ( f  u.  g
)  e.  F  /\  y  e.  f )
) )
6966, 68syl 16 . . . 4  |-  ( ( ( F  C_  ( Fil `  X )  /\  F  =/=  (/)  /\  A. f  e.  F  A. g  e.  F  ( f  u.  g )  e.  F
)  /\  y  C_  X  /\  x  C_  X
)  ->  ( E. f  e.  F  y  e.  f  ->  E. f  e.  F  ( A. g  e.  F  (
f  u.  g )  e.  F  /\  y  e.  f ) ) )
70 simp11 988 . . . . 5  |-  ( ( ( F  C_  ( Fil `  X )  /\  F  =/=  (/)  /\  A. f  e.  F  A. g  e.  F  ( f  u.  g )  e.  F
)  /\  y  C_  X  /\  x  C_  X
)  ->  F  C_  ( Fil `  X ) )
71 r19.29 2848 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A. g  e.  F  ( f  u.  g
)  e.  F  /\  E. g  e.  F  x  e.  g )  ->  E. g  e.  F  ( ( f  u.  g )  e.  F  /\  x  e.  g
) )
7271ex 425 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. g  e.  F  (
f  u.  g )  e.  F  ->  ( E. g  e.  F  x  e.  g  ->  E. g  e.  F  ( ( f  u.  g
)  e.  F  /\  x  e.  g )
) )
73 elun1 3516 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  e.  f  ->  y  e.  ( f  u.  g
) )
74 elun2 3517 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  g  ->  x  e.  ( f  u.  g
) )
7573, 74anim12i 551 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( y  e.  f  /\  x  e.  g )  ->  ( y  e.  ( f  u.  g )  /\  x  e.  ( f  u.  g ) ) )
76 eleq2 2499 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( h  =  ( f  u.  g )  ->  (
y  e.  h  <->  y  e.  ( f  u.  g
) ) )
77 eleq2 2499 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( h  =  ( f  u.  g )  ->  (
x  e.  h  <->  x  e.  ( f  u.  g
) ) )
7876, 77anbi12d 693 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( h  =  ( f  u.  g )  ->  (
( y  e.  h  /\  x  e.  h
)  <->  ( y  e.  ( f  u.  g
)  /\  x  e.  ( f  u.  g
) ) ) )
7978rspcev 3054 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( f  u.  g
)  e.  F  /\  ( y  e.  ( f  u.  g )  /\  x  e.  ( f  u.  g ) ) )  ->  E. h  e.  F  ( y  e.  h  /\  x  e.  h ) )
8075, 79sylan2 462 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( f  u.  g
)  e.  F  /\  ( y  e.  f  /\  x  e.  g ) )  ->  E. h  e.  F  ( y  e.  h  /\  x  e.  h ) )
8180an12s 778 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  e.  f  /\  ( ( f  u.  g )  e.  F  /\  x  e.  g
) )  ->  E. h  e.  F  ( y  e.  h  /\  x  e.  h ) )
8281ex 425 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  f  ->  (
( ( f  u.  g )  e.  F  /\  x  e.  g
)  ->  E. h  e.  F  ( y  e.  h  /\  x  e.  h ) ) )
8382ad2antlr 709 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( f  e.  F  /\  y  e.  f
)  /\  g  e.  F )  ->  (
( ( f  u.  g )  e.  F  /\  x  e.  g
)  ->  E. h  e.  F  ( y  e.  h  /\  x  e.  h ) ) )
8483rexlimdva 2832 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( f  e.  F  /\  y  e.  f )  ->  ( E. g  e.  F  ( ( f  u.  g )  e.  F  /\  x  e.  g )  ->  E. h  e.  F  ( y  e.  h  /\  x  e.  h ) ) )
8572, 84syl9r 70 . . . . . . . . 9  |-  ( ( f  e.  F  /\  y  e.  f )  ->  ( A. g  e.  F  ( f  u.  g )  e.  F  ->  ( E. g  e.  F  x  e.  g  ->  E. h  e.  F  ( y  e.  h  /\  x  e.  h
) ) ) )
8685impr 604 . . . . . . . 8  |-  ( ( f  e.  F  /\  ( y  e.  f  /\  A. g  e.  F  ( f  u.  g )  e.  F
) )  ->  ( E. g  e.  F  x  e.  g  ->  E. h  e.  F  ( y  e.  h  /\  x  e.  h )
) )
8786ancom2s 779 . . . . . . 7  |-  ( ( f  e.  F  /\  ( A. g  e.  F  ( f  u.  g
)  e.  F  /\  y  e.  f )
)  ->  ( E. g  e.  F  x  e.  g  ->  E. h  e.  F  ( y  e.  h  /\  x  e.  h ) ) )
8887rexlimiva 2827 . . . . . 6  |-  ( E. f  e.  F  ( A. g  e.  F  ( f  u.  g
)  e.  F  /\  y  e.  f )  ->  ( E. g  e.  F  x  e.  g  ->  E. h  e.  F  ( y  e.  h  /\  x  e.  h
) ) )
8988imp 420 . . . . 5  |-  ( ( E. f  e.  F  ( A. g  e.  F  ( f  u.  g
)  e.  F  /\  y  e.  f )  /\  E. g  e.  F  x  e.  g )  ->  E. h  e.  F  ( y  e.  h  /\  x  e.  h
) )
90 ssel2 3345 . . . . . . 7  |-  ( ( F  C_  ( Fil `  X )  /\  h  e.  F )  ->  h  e.  ( Fil `  X
) )
91 filin 17891 . . . . . . . 8  |-  ( ( h  e.  ( Fil `  X )  /\  y  e.  h  /\  x  e.  h )  ->  (
y  i^i  x )  e.  h )
92913expib 1157 . . . . . . 7  |-  ( h  e.  ( Fil `  X
)  ->  ( (
y  e.  h  /\  x  e.  h )  ->  ( y  i^i  x
)  e.  h ) )
9390, 92syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( F  C_  ( Fil `  X )  /\  h  e.  F )  ->  (
( y  e.  h  /\  x  e.  h
)  ->  ( y  i^i  x )  e.  h
) )
9493reximdva 2820 . . . . 5  |-  ( F 
C_  ( Fil `  X
)  ->  ( E. h  e.  F  (
y  e.  h  /\  x  e.  h )  ->  E. h  e.  F  ( y  i^i  x
)  e.  h ) )
9570, 89, 94syl2im 37 . . . 4  |-  ( ( ( F  C_  ( Fil `  X )  /\  F  =/=  (/)  /\  A. f  e.  F  A. g  e.  F  ( f  u.  g )  e.  F
)  /\  y  C_  X  /\  x  C_  X
)  ->  ( ( E. f  e.  F  ( A. g  e.  F  ( f  u.  g
)  e.  F  /\  y  e.  f )  /\  E. g  e.  F  x  e.  g )  ->  E. h  e.  F  ( y  i^i  x
)  e.  h ) )
9669, 95syland 469 . . 3  |-  ( ( ( F  C_  ( Fil `  X )  /\  F  =/=  (/)  /\  A. f  e.  F  A. g  e.  F  ( f  u.  g )  e.  F
)  /\  y  C_  X  /\  x  C_  X
)  ->  ( ( E. f  e.  F  y  e.  f  /\  E. g  e.  F  x  e.  g )  ->  E. h  e.  F  ( y  i^i  x
)  e.  h ) )
97 eluni2 4021 . . . . 5  |-  ( x  e.  U. F  <->  E. g  e.  F  x  e.  g )
9858, 97bitri 242 . . . 4  |-  ( [. x  /  x ]. x  e.  U. F  <->  E. g  e.  F  x  e.  g )
9964, 98anbi12i 680 . . 3  |-  ( (
[. y  /  x ]. x  e.  U. F  /\  [. x  /  x ]. x  e.  U. F
)  <->  ( E. f  e.  F  y  e.  f  /\  E. g  e.  F  x  e.  g ) )
10060inex1 4347 . . . . 5  |-  ( y  i^i  x )  e. 
_V
101 sbcel1gv 3222 . . . . 5  |-  ( ( y  i^i  x )  e.  _V  ->  ( [. ( y  i^i  x
)  /  x ]. x  e.  U. F  <->  ( y  i^i  x )  e.  U. F ) )
102100, 101ax-mp 5 . . . 4  |-  ( [. ( y  i^i  x
)  /  x ]. x  e.  U. F  <->  ( y  i^i  x )  e.  U. F )
103 eluni2 4021 . . . 4  |-  ( ( y  i^i  x )  e.  U. F  <->  E. h  e.  F  ( y  i^i  x )  e.  h
)
104102, 103bitri 242 . . 3  |-  ( [. ( y  i^i  x
)  /  x ]. x  e.  U. F  <->  E. h  e.  F  ( y  i^i  x )  e.  h
)
10596, 99, 1043imtr4g 263 . 2  |-  ( ( ( F  C_  ( Fil `  X )  /\  F  =/=  (/)  /\  A. f  e.  F  A. g  e.  F  ( f  u.  g )  e.  F
)  /\  y  C_  X  /\  x  C_  X
)  ->  ( ( [. y  /  x ]. x  e.  U. F  /\  [. x  /  x ]. x  e.  U. F
)  ->  [. ( y  i^i  x )  /  x ]. x  e.  U. F ) )
1069, 14, 27, 40, 65, 105isfild 17895 1  |-  ( ( F  C_  ( Fil `  X )  /\  F  =/=  (/)  /\  A. f  e.  F  A. g  e.  F  ( f  u.  g )  e.  F
)  ->  U. F  e.  ( Fil `  X
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    /\ w3a 937    = wceq 1653    e. wcel 1726    =/= wne 2601   A.wral 2707   E.wrex 2708   _Vcvv 2958   [.wsbc 3163    u. cun 3320    i^i cin 3321    C_ wss 3322   (/)c0 3630   U.cuni 4017   ` cfv 5457   Filcfil 17882
This theorem is referenced by:  filssufilg  17948
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-uni 4018  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-id 4501  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fv 5465  df-fbas 16704  df-fil 17883
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