MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  filunibas Unicode version

Theorem filunibas 17576
Description: Recover the base set from a filter. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
filunibas  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  U. F  =  X )

Proof of Theorem filunibas
StepHypRef Expression
1 filsspw 17546 . . 3  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  F  C_  ~P X )
2 sspwuni 3987 . . 3  |-  ( F 
C_  ~P X  <->  U. F  C_  X )
31, 2sylib 188 . 2  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  U. F  C_  X )
4 filtop 17550 . 2  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  X  e.  F )
5 unissel 3856 . 2  |-  ( ( U. F  C_  X  /\  X  e.  F
)  ->  U. F  =  X )
63, 4, 5syl2anc 642 1  |-  ( F  e.  ( Fil `  X
)  ->  U. F  =  X )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1623    e. wcel 1684    C_ wss 3152   ~Pcpw 3625   U.cuni 3827   ` cfv 5255   Filcfil 17540
This theorem is referenced by:  filunirn  17577  filcon  17578  uffixfr  17618  uffix2  17619  uffixsn  17620  ufildr  17626  flimtopon  17665  flimss1  17668  flffval  17684  fclsval  17703  isfcls  17704  fclstopon  17707  fclsfnflim  17722  fcfval  17728
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fv 5263  df-fbas 17520  df-fil 17541
  Copyright terms: Public domain W3C validator