MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fimacnv Unicode version

Theorem fimacnv 5657
Description: The preimage of the codomain of a mapping is the mapping's domain. (Contributed by FL, 25-Jan-2007.)
Assertion
Ref Expression
fimacnv  |-  ( F : A --> B  -> 
( `' F " B )  =  A )

Proof of Theorem fimacnv
StepHypRef Expression
1 imassrn 5025 . . 3  |-  ( `' F " B ) 
C_  ran  `' F
2 dfdm4 4872 . . . 4  |-  dom  F  =  ran  `' F
3 fdm 5393 . . . . 5  |-  ( F : A --> B  ->  dom  F  =  A )
4 ssid 3197 . . . . . 6  |-  A  C_  A
54a1i 10 . . . . 5  |-  ( F : A --> B  ->  A  C_  A )
63, 5eqsstrd 3212 . . . 4  |-  ( F : A --> B  ->  dom  F  C_  A )
72, 6syl5eqssr 3223 . . 3  |-  ( F : A --> B  ->  ran  `' F  C_  A )
81, 7syl5ss 3190 . 2  |-  ( F : A --> B  -> 
( `' F " B )  C_  A
)
9 imassrn 5025 . . . 4  |-  ( F
" A )  C_  ran  F
10 frn 5395 . . . 4  |-  ( F : A --> B  ->  ran  F  C_  B )
119, 10syl5ss 3190 . . 3  |-  ( F : A --> B  -> 
( F " A
)  C_  B )
12 ffun 5391 . . . 4  |-  ( F : A --> B  ->  Fun  F )
134, 3syl5sseqr 3227 . . . 4  |-  ( F : A --> B  ->  A  C_  dom  F )
14 funimass3 5641 . . . 4  |-  ( ( Fun  F  /\  A  C_ 
dom  F )  -> 
( ( F " A )  C_  B  <->  A 
C_  ( `' F " B ) ) )
1512, 13, 14syl2anc 642 . . 3  |-  ( F : A --> B  -> 
( ( F " A )  C_  B  <->  A 
C_  ( `' F " B ) ) )
1611, 15mpbid 201 . 2  |-  ( F : A --> B  ->  A  C_  ( `' F " B ) )
178, 16eqssd 3196 1  |-  ( F : A --> B  -> 
( `' F " B )  =  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    = wceq 1623    C_ wss 3152   `'ccnv 4688   dom cdm 4689   ran crn 4690   "cima 4692   Fun wfun 5249   -->wf 5251
This theorem is referenced by:  fmpt  5681  fin1a2lem7  8032  nn0supp  10017  cnclima  16997  iscncl  16998  cnindis  17020  cncmp  17119  ptrescn  17333  qtopuni  17393  qtopcld  17404  qtopcmap  17410  ordthmeolem  17492  rnelfmlem  17647  mbfdm  18983  ismbf  18985  mbfimaicc  18988  ismbf2d  18996  ismbf3d  19009  mbfimaopn2  19012  i1fd  19036  plyeq0  19593  fimacnvinrn  23199  imambfm  23567  dstrvprob  23672  intopcoaconlem3b  25538  intopcoaconlem3  25539  fsuppeq  27259
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pr 4214
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-fv 5263
  Copyright terms: Public domain W3C validator