MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fimacnv Structured version   Unicode version

Theorem fimacnv 5854
Description: The preimage of the codomain of a mapping is the mapping's domain. (Contributed by FL, 25-Jan-2007.)
Assertion
Ref Expression
fimacnv  |-  ( F : A --> B  -> 
( `' F " B )  =  A )

Proof of Theorem fimacnv
StepHypRef Expression
1 imassrn 5208 . . 3  |-  ( `' F " B ) 
C_  ran  `' F
2 dfdm4 5055 . . . 4  |-  dom  F  =  ran  `' F
3 fdm 5587 . . . . 5  |-  ( F : A --> B  ->  dom  F  =  A )
4 ssid 3359 . . . . 5  |-  A  C_  A
53, 4syl6eqss 3390 . . . 4  |-  ( F : A --> B  ->  dom  F  C_  A )
62, 5syl5eqssr 3385 . . 3  |-  ( F : A --> B  ->  ran  `' F  C_  A )
71, 6syl5ss 3351 . 2  |-  ( F : A --> B  -> 
( `' F " B )  C_  A
)
8 imassrn 5208 . . . 4  |-  ( F
" A )  C_  ran  F
9 frn 5589 . . . 4  |-  ( F : A --> B  ->  ran  F  C_  B )
108, 9syl5ss 3351 . . 3  |-  ( F : A --> B  -> 
( F " A
)  C_  B )
11 ffun 5585 . . . 4  |-  ( F : A --> B  ->  Fun  F )
124, 3syl5sseqr 3389 . . . 4  |-  ( F : A --> B  ->  A  C_  dom  F )
13 funimass3 5838 . . . 4  |-  ( ( Fun  F  /\  A  C_ 
dom  F )  -> 
( ( F " A )  C_  B  <->  A 
C_  ( `' F " B ) ) )
1411, 12, 13syl2anc 643 . . 3  |-  ( F : A --> B  -> 
( ( F " A )  C_  B  <->  A 
C_  ( `' F " B ) ) )
1510, 14mpbid 202 . 2  |-  ( F : A --> B  ->  A  C_  ( `' F " B ) )
167, 15eqssd 3357 1  |-  ( F : A --> B  -> 
( `' F " B )  =  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    = wceq 1652    C_ wss 3312   `'ccnv 4869   dom cdm 4870   ran crn 4871   "cima 4873   Fun wfun 5440   -->wf 5442
This theorem is referenced by:  fmpt  5882  fin1a2lem7  8276  nn0supp  10263  cnclima  17322  iscncl  17323  cnindis  17346  cncmp  17445  ptrescn  17661  qtopuni  17724  qtopcld  17735  qtopcmap  17741  ordthmeolem  17823  rnelfmlem  17974  mbfdm  19510  ismbf  19512  mbfimaicc  19515  ismbf2d  19523  ismbf3d  19536  mbfimaopn2  19539  i1fd  19563  plyeq0  20120  fimacnvinrn  24037  zrhunitpreima  24352  imambfm  24602  dstrvprob  24719  fsuppeq  27191
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pr 4395
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-br 4205  df-opab 4259  df-id 4490  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-fv 5454
  Copyright terms: Public domain W3C validator