MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fimacnv Unicode version

Theorem fimacnv 5803
Description: The preimage of the codomain of a mapping is the mapping's domain. (Contributed by FL, 25-Jan-2007.)
Assertion
Ref Expression
fimacnv  |-  ( F : A --> B  -> 
( `' F " B )  =  A )

Proof of Theorem fimacnv
StepHypRef Expression
1 imassrn 5158 . . 3  |-  ( `' F " B ) 
C_  ran  `' F
2 dfdm4 5005 . . . 4  |-  dom  F  =  ran  `' F
3 fdm 5537 . . . . 5  |-  ( F : A --> B  ->  dom  F  =  A )
4 ssid 3312 . . . . 5  |-  A  C_  A
53, 4syl6eqss 3343 . . . 4  |-  ( F : A --> B  ->  dom  F  C_  A )
62, 5syl5eqssr 3338 . . 3  |-  ( F : A --> B  ->  ran  `' F  C_  A )
71, 6syl5ss 3304 . 2  |-  ( F : A --> B  -> 
( `' F " B )  C_  A
)
8 imassrn 5158 . . . 4  |-  ( F
" A )  C_  ran  F
9 frn 5539 . . . 4  |-  ( F : A --> B  ->  ran  F  C_  B )
108, 9syl5ss 3304 . . 3  |-  ( F : A --> B  -> 
( F " A
)  C_  B )
11 ffun 5535 . . . 4  |-  ( F : A --> B  ->  Fun  F )
124, 3syl5sseqr 3342 . . . 4  |-  ( F : A --> B  ->  A  C_  dom  F )
13 funimass3 5787 . . . 4  |-  ( ( Fun  F  /\  A  C_ 
dom  F )  -> 
( ( F " A )  C_  B  <->  A 
C_  ( `' F " B ) ) )
1411, 12, 13syl2anc 643 . . 3  |-  ( F : A --> B  -> 
( ( F " A )  C_  B  <->  A 
C_  ( `' F " B ) ) )
1510, 14mpbid 202 . 2  |-  ( F : A --> B  ->  A  C_  ( `' F " B ) )
167, 15eqssd 3310 1  |-  ( F : A --> B  -> 
( `' F " B )  =  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    = wceq 1649    C_ wss 3265   `'ccnv 4819   dom cdm 4820   ran crn 4821   "cima 4823   Fun wfun 5390   -->wf 5392
This theorem is referenced by:  fmpt  5831  fin1a2lem7  8221  nn0supp  10207  cnclima  17256  iscncl  17257  cnindis  17280  cncmp  17379  ptrescn  17594  qtopuni  17657  qtopcld  17668  qtopcmap  17674  ordthmeolem  17756  rnelfmlem  17907  mbfdm  19389  ismbf  19391  mbfimaicc  19394  ismbf2d  19402  ismbf3d  19415  mbfimaopn2  19418  i1fd  19442  plyeq0  19999  fimacnvinrn  23892  zrhunitpreima  24163  imambfm  24408  dstrvprob  24510  fsuppeq  26930
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2370  ax-sep 4273  ax-nul 4281  ax-pr 4346
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2376  df-cleq 2382  df-clel 2385  df-nfc 2514  df-ne 2554  df-ral 2656  df-rex 2657  df-rab 2660  df-v 2903  df-sbc 3107  df-dif 3268  df-un 3270  df-in 3272  df-ss 3279  df-nul 3574  df-if 3685  df-sn 3765  df-pr 3766  df-op 3768  df-uni 3960  df-br 4156  df-opab 4210  df-id 4441  df-xp 4826  df-rel 4827  df-cnv 4828  df-co 4829  df-dm 4830  df-rn 4831  df-res 4832  df-ima 4833  df-iota 5360  df-fun 5398  df-fn 5399  df-f 5400  df-fv 5404
  Copyright terms: Public domain W3C validator