MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fimax2g Unicode version

Theorem fimax2g 7103
Description: A finite set has a maximum under a total order. (Contributed by Jeff Madsen, 18-Jun-2010.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 29-Jan-2014.)
Assertion
Ref Expression
fimax2g  |-  ( ( R  Or  A  /\  A  e.  Fin  /\  A  =/=  (/) )  ->  E. x  e.  A  A. y  e.  A  -.  x R y )
Distinct variable groups:    x, R, y    x, A, y

Proof of Theorem fimax2g
StepHypRef Expression
1 sopo 4331 . . . . 5  |-  ( R  Or  A  ->  R  Po  A )
2 cnvpo 5213 . . . . 5  |-  ( R  Po  A  <->  `' R  Po  A )
31, 2sylib 188 . . . 4  |-  ( R  Or  A  ->  `' R  Po  A )
4 frfi 7102 . . . 4  |-  ( ( `' R  Po  A  /\  A  e.  Fin )  ->  `' R  Fr  A )
53, 4sylan 457 . . 3  |-  ( ( R  Or  A  /\  A  e.  Fin )  ->  `' R  Fr  A
)
653adant3 975 . 2  |-  ( ( R  Or  A  /\  A  e.  Fin  /\  A  =/=  (/) )  ->  `' R  Fr  A )
7 ssid 3197 . . . . . . 7  |-  A  C_  A
8 fri 4355 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  `' R  Fr  A
)  /\  ( A  C_  A  /\  A  =/=  (/) ) )  ->  E. x  e.  A  A. y  e.  A  -.  y `' R x )
97, 8mpanr1 664 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  `' R  Fr  A
)  /\  A  =/=  (/) )  ->  E. x  e.  A  A. y  e.  A  -.  y `' R x )
109an32s 779 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  A  =/=  (/) )  /\  `' R  Fr  A
)  ->  E. x  e.  A  A. y  e.  A  -.  y `' R x )
11 vex 2791 . . . . . . . . 9  |-  y  e. 
_V
12 vex 2791 . . . . . . . . 9  |-  x  e. 
_V
1311, 12brcnv 4864 . . . . . . . 8  |-  ( y `' R x  <->  x R
y )
1413notbii 287 . . . . . . 7  |-  ( -.  y `' R x  <->  -.  x R y )
1514ralbii 2567 . . . . . 6  |-  ( A. y  e.  A  -.  y `' R x  <->  A. y  e.  A  -.  x R y )
1615rexbii 2568 . . . . 5  |-  ( E. x  e.  A  A. y  e.  A  -.  y `' R x  <->  E. x  e.  A  A. y  e.  A  -.  x R y )
1710, 16sylib 188 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  A  =/=  (/) )  /\  `' R  Fr  A
)  ->  E. x  e.  A  A. y  e.  A  -.  x R y )
1817ex 423 . . 3  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A  =/=  (/) )  ->  ( `' R  Fr  A  ->  E. x  e.  A  A. y  e.  A  -.  x R y ) )
19183adant1 973 . 2  |-  ( ( R  Or  A  /\  A  e.  Fin  /\  A  =/=  (/) )  ->  ( `' R  Fr  A  ->  E. x  e.  A  A. y  e.  A  -.  x R y ) )
206, 19mpd 14 1  |-  ( ( R  Or  A  /\  A  e.  Fin  /\  A  =/=  (/) )  ->  E. x  e.  A  A. y  e.  A  -.  x R y )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934    e. wcel 1684    =/= wne 2446   A.wral 2543   E.wrex 2544    C_ wss 3152   (/)c0 3455   class class class wbr 4023    Po wpo 4312    Or wor 4313    Fr wfr 4349   `'ccnv 4688   Fincfn 6863
This theorem is referenced by:  fimaxg  7104  ordunifi  7107  npomex  8620  fimax2gOLD  26425
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-1o 6479  df-er 6660  df-en 6864  df-fin 6867
  Copyright terms: Public domain W3C validator