Theorem fimax2g 5893

Description: A finite set has a maximum under a total order. (Contributed by Jeff Madsen, 18-Jun-2010.)

Assertion

Ref	Expression
fimax2g	|- ((R Or A /\ A e. Fin /\ A =/= (/)) -> E.x e. A A.y e. A -. xRy)

Distinct variable groups:   x,R,y   x,A,y

Proof of Theorem fimax2g

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fimaxg 5891	. 2 |- ((R Or A /\ A e. Fin /\ A =/= (/)) -> E.x e. A A.y e. A (x =/= y -> yRx))
2		df-ne 2297	. . . . . . . 8 |- (x =/= y <-> -. x = y)
3	2	imbi1i 375	. . . . . . 7 |- ((x =/= y -> yRx) <-> (-. x = y -> yRx))
4		df-or 434	. . . . . . 7 |- ((x = y \/ yRx) <-> (-. x = y -> yRx))
5	3, 4	bitr4i 310	. . . . . 6 |- ((x =/= y -> yRx) <-> (x = y \/ yRx))
6		sotric 3806	. . . . . . . . 9 |- ((R Or A /\ (x e. A /\ y e. A)) -> (xRy <-> -. (x = y \/ yRx)))
7	6	anassrs 728	. . . . . . . 8 |- (((R Or A /\ x e. A) /\ y e. A) -> (xRy <-> -. (x = y \/ yRx)))
8	7	biimpd 244	. . . . . . 7 |- (((R Or A /\ x e. A) /\ y e. A) -> (xRy -> -. (x = y \/ yRx)))
9	8	con2d 137	. . . . . 6 |- (((R Or A /\ x e. A) /\ y e. A) -> ((x = y \/ yRx) -> -. xRy))
10	5, 9	syl5bi 270	. . . . 5 |- (((R Or A /\ x e. A) /\ y e. A) -> ((x =/= y -> yRx) -> -. xRy))
11	10	ralimdva 2451	. . . 4 |- ((R Or A /\ x e. A) -> (A.y e. A (x =/= y -> yRx) -> A.y e. A -. xRy))
12	11	reximdva 2483	. . 3 |- (R Or A -> (E.x e. A A.y e. A (x =/= y -> yRx) -> E.x e. A A.y e. A -. xRy))
13	12	3ad2ant1 1169	. 2 |- ((R Or A /\ A e. Fin /\ A =/= (/)) -> (E.x e. A A.y e. A (x =/= y -> yRx) -> E.x e. A A.y e. A -. xRy))
14	1, 13	mpd 11	1 |- ((R Or A /\ A e. Fin /\ A =/= (/)) -> E.x e. A A.y e. A -. xRy)

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 231   \/ wo 432   /\ wa 433   /\ w3a 1130   = wceq 1615   e. wcel 1617   =/= wne 2295  A.wral 2385  E.wrex 2386  (/)c0 3114   class class class wbr 3539   Or wor 3783  Fincfn 5630

This theorem is referenced by:  wofi 5894  npomex 14590  wofiOLD 16855

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1621  ax-gen 1622  ax-8 1623  ax-9 1624  ax-10 1625  ax-11 1626  ax-12 1627  ax-13 1628  ax-14 1629  ax-17 1634  ax-4 1637  ax-5o 1639  ax-6o 1642  ax-9o 1792  ax-10o 1810  ax-16 1883  ax-11o 1893  ax-ext 2152  ax-rep 3628  ax-sep 3638  ax-nul 3645  ax-pow 3681  ax-pr 3719  ax-un 3961

This theorem depends on definitions:  df-bi 232  df-or 434  df-an 435  df-3or 1131  df-3an 1132  df-ex 1645  df-sb 1845  df-eu 2070  df-mo 2071  df-clab 2158  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-ne 2297  df-ral 2389  df-rex 2390  df-rab 2392  df-v 2571  df-dif 2862  df-un 2864  df-in 2866  df-ss 2868  df-pss 2870  df-nul 3115  df-if 3213  df-pw 3261  df-sn 3274  df-pr 3275  df-tp 3277  df-op 3278  df-uni 3399  df-br 3540  df-opab 3598  df-tr 3612  df-eprel 3776  df-id 3779  df-po 3784  df-so 3796  df-fr 3814  df-we 3830  df-ord 3846  df-on 3847  df-lim 3848  df-suc 3849  df-om 4118  df-xp 4165  df-rel 4166  df-cnv 4167  df-co 4168  df-dm 4169  df-rn 4170  df-res 4171  df-ima 4172  df-fun 4173  df-fn 4174  df-f 4175  df-f1 4176  df-fo 4177  df-f1o 4178  df-fv 4179  df-1o 5384  df-er 5519  df-en 5631  df-fin 5634

Copyright terms: Public domain