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Theorem fimaxg 7290
Description: A finite set has a maximum under a total order. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 29-Jan-2014.)
Assertion
Ref Expression
fimaxg  |-  ( ( R  Or  A  /\  A  e.  Fin  /\  A  =/=  (/) )  ->  E. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  =/=  y  ->  y R x ) )
Distinct variable groups:    x, R, y    x, A, y

Proof of Theorem fimaxg
StepHypRef Expression
1 fimax2g 7289 . 2  |-  ( ( R  Or  A  /\  A  e.  Fin  /\  A  =/=  (/) )  ->  E. x  e.  A  A. y  e.  A  -.  x R y )
2 df-ne 2552 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =/=  y  <->  -.  x  =  y )
32imbi1i 316 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  =/=  y  -> 
y R x )  <-> 
( -.  x  =  y  ->  y R x ) )
4 pm4.64 362 . . . . . . . 8  |-  ( ( -.  x  =  y  ->  y R x )  <->  ( x  =  y  \/  y R x ) )
53, 4bitri 241 . . . . . . 7  |-  ( ( x  =/=  y  -> 
y R x )  <-> 
( x  =  y  \/  y R x ) )
6 sotric 4470 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  Or  A  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A
) )  ->  (
x R y  <->  -.  (
x  =  y  \/  y R x ) ) )
76con2bid 320 . . . . . . 7  |-  ( ( R  Or  A  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A
) )  ->  (
( x  =  y  \/  y R x )  <->  -.  x R
y ) )
85, 7syl5bb 249 . . . . . 6  |-  ( ( R  Or  A  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A
) )  ->  (
( x  =/=  y  ->  y R x )  <->  -.  x R y ) )
98anassrs 630 . . . . 5  |-  ( ( ( R  Or  A  /\  x  e.  A
)  /\  y  e.  A )  ->  (
( x  =/=  y  ->  y R x )  <->  -.  x R y ) )
109ralbidva 2665 . . . 4  |-  ( ( R  Or  A  /\  x  e.  A )  ->  ( A. y  e.  A  ( x  =/=  y  ->  y R x )  <->  A. y  e.  A  -.  x R y ) )
1110rexbidva 2666 . . 3  |-  ( R  Or  A  ->  ( E. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  =/=  y  ->  y R x )  <->  E. x  e.  A  A. y  e.  A  -.  x R y ) )
12113ad2ant1 978 . 2  |-  ( ( R  Or  A  /\  A  e.  Fin  /\  A  =/=  (/) )  ->  ( E. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  =/=  y  ->  y R x )  <->  E. x  e.  A  A. y  e.  A  -.  x R y ) )
131, 12mpbird 224 1  |-  ( ( R  Or  A  /\  A  e.  Fin  /\  A  =/=  (/) )  ->  E. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  =/=  y  ->  y R x ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    \/ wo 358    /\ wa 359    /\ w3a 936    e. wcel 1717    =/= wne 2550   A.wral 2649   E.wrex 2650   (/)c0 3571   class class class wbr 4153    Or wor 4443   Fincfn 7045
This theorem is referenced by:  fisupg  7291  fimaxre  9887
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2368  ax-sep 4271  ax-nul 4279  ax-pow 4318  ax-pr 4344  ax-un 4641
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2374  df-cleq 2380  df-clel 2383  df-nfc 2512  df-ne 2552  df-ral 2654  df-rex 2655  df-rab 2658  df-v 2901  df-sbc 3105  df-dif 3266  df-un 3268  df-in 3270  df-ss 3277  df-pss 3279  df-nul 3572  df-if 3683  df-pw 3744  df-sn 3763  df-pr 3764  df-tp 3765  df-op 3766  df-uni 3958  df-br 4154  df-opab 4208  df-tr 4244  df-eprel 4435  df-id 4439  df-po 4444  df-so 4445  df-fr 4482  df-we 4484  df-ord 4525  df-on 4526  df-lim 4527  df-suc 4528  df-om 4786  df-xp 4824  df-rel 4825  df-cnv 4826  df-co 4827  df-dm 4828  df-rn 4829  df-res 4830  df-ima 4831  df-iota 5358  df-fun 5396  df-fn 5397  df-f 5398  df-f1 5399  df-fo 5400  df-f1o 5401  df-fv 5402  df-1o 6660  df-er 6841  df-en 7046  df-fin 7049
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