MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fimaxre Structured version   Unicode version

Theorem fimaxre 9947
Description: A finite set of real numbers has a maximum. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)
Assertion
Ref Expression
fimaxre  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  e.  Fin  /\  A  =/=  (/) )  ->  E. x  e.  A  A. y  e.  A  y  <_  x )
Distinct variable group:    x, A, y

Proof of Theorem fimaxre
StepHypRef Expression
1 ltso 9148 . . . 4  |-  <  Or  RR
2 soss 4513 . . . 4  |-  ( A 
C_  RR  ->  (  < 
Or  RR  ->  <  Or  A ) )
31, 2mpi 17 . . 3  |-  ( A 
C_  RR  ->  <  Or  A )
4 fimaxg 7346 . . 3  |-  ( (  <  Or  A  /\  A  e.  Fin  /\  A  =/=  (/) )  ->  E. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  =/=  y  ->  y  < 
x ) )
53, 4syl3an1 1217 . 2  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  e.  Fin  /\  A  =/=  (/) )  ->  E. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  =/=  y  ->  y  < 
x ) )
6 ssel 3334 . . . . . . . . 9  |-  ( A 
C_  RR  ->  ( x  e.  A  ->  x  e.  RR ) )
7 ssel 3334 . . . . . . . . 9  |-  ( A 
C_  RR  ->  ( y  e.  A  ->  y  e.  RR ) )
86, 7anim12d 547 . . . . . . . 8  |-  ( A 
C_  RR  ->  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A )  ->  ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR ) ) )
98imp 419 . . . . . . 7  |-  ( ( A  C_  RR  /\  (
x  e.  A  /\  y  e.  A )
)  ->  ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR ) )
10 leloe 9153 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  RR  /\  x  e.  RR )  ->  ( y  <_  x  <->  ( y  <  x  \/  y  =  x ) ) )
1110ancoms 440 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( y  <_  x  <->  ( y  <  x  \/  y  =  x ) ) )
12 equcom 1692 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  x  <->  x  =  y )
1312orbi2i 506 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  <  x  \/  y  =  x )  <-> 
( y  <  x  \/  x  =  y
) )
14 orcom 377 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  <  x  \/  x  =  y )  <-> 
( x  =  y  \/  y  <  x
) )
15 neor 2682 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  =  y  \/  y  <  x )  <-> 
( x  =/=  y  ->  y  <  x ) )
1613, 14, 153bitri 263 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  <  x  \/  y  =  x )  <-> 
( x  =/=  y  ->  y  <  x ) )
1711, 16syl6bb 253 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( y  <_  x  <->  ( x  =/=  y  -> 
y  <  x )
) )
1817biimprd 215 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( ( x  =/=  y  ->  y  <  x )  ->  y  <_  x ) )
199, 18syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( A  C_  RR  /\  (
x  e.  A  /\  y  e.  A )
)  ->  ( (
x  =/=  y  -> 
y  <  x )  ->  y  <_  x )
)
2019anassrs 630 . . . . 5  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  x  e.  A )  /\  y  e.  A
)  ->  ( (
x  =/=  y  -> 
y  <  x )  ->  y  <_  x )
)
2120ralimdva 2776 . . . 4  |-  ( ( A  C_  RR  /\  x  e.  A )  ->  ( A. y  e.  A  ( x  =/=  y  ->  y  <  x )  ->  A. y  e.  A  y  <_  x ) )
2221reximdva 2810 . . 3  |-  ( A 
C_  RR  ->  ( E. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x  =/=  y  -> 
y  <  x )  ->  E. x  e.  A  A. y  e.  A  y  <_  x ) )
23223ad2ant1 978 . 2  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  e.  Fin  /\  A  =/=  (/) )  ->  ( E. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x  =/=  y  -> 
y  <  x )  ->  E. x  e.  A  A. y  e.  A  y  <_  x ) )
245, 23mpd 15 1  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  e.  Fin  /\  A  =/=  (/) )  ->  E. x  e.  A  A. y  e.  A  y  <_  x )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    \/ wo 358    /\ wa 359    /\ w3a 936    e. wcel 1725    =/= wne 2598   A.wral 2697   E.wrex 2698    C_ wss 3312   (/)c0 3620   class class class wbr 4204    Or wor 4494   Fincfn 7101   RRcr 8981    < clt 9112    <_ cle 9113
This theorem is referenced by:  fimaxre2  9948  0ram2  13381  0ramcl  13383  ballotlemfc0  24742  ballotlemfcc  24743  filbcmb  26423
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-resscn 9039  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-1o 6716  df-er 6897  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118
  Copyright terms: Public domain W3C validator