MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fimaxre2 Structured version   Unicode version

Theorem fimaxre2 9948
Description: A nonempty finite set of real numbers has a maximum. (Contributed by Jeff Madsen, 27-May-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Feb-2014.)
Assertion
Ref Expression
fimaxre2  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  e.  Fin )  ->  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x
)
Distinct variable group:    x, A, y

Proof of Theorem fimaxre2
StepHypRef Expression
1 0re 9083 . . . 4  |-  0  e.  RR
2 rzal 3721 . . . 4  |-  ( A  =  (/)  ->  A. y  e.  A  y  <_  0 )
3 breq2 4208 . . . . . 6  |-  ( x  =  0  ->  (
y  <_  x  <->  y  <_  0 ) )
43ralbidv 2717 . . . . 5  |-  ( x  =  0  ->  ( A. y  e.  A  y  <_  x  <->  A. y  e.  A  y  <_  0 ) )
54rspcev 3044 . . . 4  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  A. y  e.  A  y  <_  0 )  ->  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x )
61, 2, 5sylancr 645 . . 3  |-  ( A  =  (/)  ->  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x
)
76a1i 11 . 2  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  e.  Fin )  ->  ( A  =  (/)  ->  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x
) )
8 fimaxre 9947 . . . 4  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  e.  Fin  /\  A  =/=  (/) )  ->  E. x  e.  A  A. y  e.  A  y  <_  x )
983expia 1155 . . 3  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  e.  Fin )  ->  ( A  =/=  (/)  ->  E. x  e.  A  A. y  e.  A  y  <_  x ) )
10 ssrexv 3400 . . . 4  |-  ( A 
C_  RR  ->  ( E. x  e.  A  A. y  e.  A  y  <_  x  ->  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x
) )
1110adantr 452 . . 3  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  e.  Fin )  ->  ( E. x  e.  A  A. y  e.  A  y  <_  x  ->  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x
) )
129, 11syld 42 . 2  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  e.  Fin )  ->  ( A  =/=  (/)  ->  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x
) )
137, 12pm2.61dne 2675 1  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  e.  Fin )  ->  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2598   A.wral 2697   E.wrex 2698    C_ wss 3312   (/)c0 3620   class class class wbr 4204   Fincfn 7101   RRcr 8981   0cc0 8982    <_ cle 9113
This theorem is referenced by:  fimaxre3  9949  isercolllem2  12451  fsumcvg3  12515  mertenslem2  12654  1arith  13287  ovolicc2lem4  19408  erdszelem8  24876  mblfinlem  26234  itg2addnclem2  26247  ftc1anclem7  26276  ftc1anc  26278  totbndbnd  26489  prdsbnd  26493
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-1o 6716  df-er 6897  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118
  Copyright terms: Public domain W3C validator