MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fimaxre2 Unicode version

Theorem fimaxre2 9890
Description: A nonempty finite set of real numbers has a maximum. (Contributed by Jeff Madsen, 27-May-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Feb-2014.)
Assertion
Ref Expression
fimaxre2  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  e.  Fin )  ->  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x
)
Distinct variable group:    x, A, y

Proof of Theorem fimaxre2
StepHypRef Expression
1 0re 9026 . . . 4  |-  0  e.  RR
2 rzal 3674 . . . 4  |-  ( A  =  (/)  ->  A. y  e.  A  y  <_  0 )
3 breq2 4159 . . . . . 6  |-  ( x  =  0  ->  (
y  <_  x  <->  y  <_  0 ) )
43ralbidv 2671 . . . . 5  |-  ( x  =  0  ->  ( A. y  e.  A  y  <_  x  <->  A. y  e.  A  y  <_  0 ) )
54rspcev 2997 . . . 4  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  A. y  e.  A  y  <_  0 )  ->  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x )
61, 2, 5sylancr 645 . . 3  |-  ( A  =  (/)  ->  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x
)
76a1i 11 . 2  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  e.  Fin )  ->  ( A  =  (/)  ->  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x
) )
8 fimaxre 9889 . . . 4  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  e.  Fin  /\  A  =/=  (/) )  ->  E. x  e.  A  A. y  e.  A  y  <_  x )
983expia 1155 . . 3  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  e.  Fin )  ->  ( A  =/=  (/)  ->  E. x  e.  A  A. y  e.  A  y  <_  x ) )
10 ssrexv 3353 . . . 4  |-  ( A 
C_  RR  ->  ( E. x  e.  A  A. y  e.  A  y  <_  x  ->  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x
) )
1110adantr 452 . . 3  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  e.  Fin )  ->  ( E. x  e.  A  A. y  e.  A  y  <_  x  ->  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x
) )
129, 11syld 42 . 2  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  e.  Fin )  ->  ( A  =/=  (/)  ->  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x
) )
137, 12pm2.61dne 2629 1  |-  ( ( A  C_  RR  /\  A  e.  Fin )  ->  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y  <_  x
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717    =/= wne 2552   A.wral 2651   E.wrex 2652    C_ wss 3265   (/)c0 3573   class class class wbr 4155   Fincfn 7047   RRcr 8924   0cc0 8925    <_ cle 9056
This theorem is referenced by:  fimaxre3  9891  isercolllem2  12388  fsumcvg3  12452  mertenslem2  12591  1arith  13224  ovolicc2lem4  19285  erdszelem8  24665  itg2addnclem2  25960  totbndbnd  26191  prdsbnd  26195
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2370  ax-sep 4273  ax-nul 4281  ax-pow 4320  ax-pr 4346  ax-un 4643  ax-resscn 8982  ax-1cn 8983  ax-icn 8984  ax-addcl 8985  ax-addrcl 8986  ax-mulcl 8987  ax-mulrcl 8988  ax-i2m1 8993  ax-1ne0 8994  ax-rnegex 8996  ax-rrecex 8997  ax-cnre 8998  ax-pre-lttri 8999  ax-pre-lttrn 9000
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2376  df-cleq 2382  df-clel 2385  df-nfc 2514  df-ne 2554  df-nel 2555  df-ral 2656  df-rex 2657  df-rab 2660  df-v 2903  df-sbc 3107  df-csb 3197  df-dif 3268  df-un 3270  df-in 3272  df-ss 3279  df-pss 3281  df-nul 3574  df-if 3685  df-pw 3746  df-sn 3765  df-pr 3766  df-tp 3767  df-op 3768  df-uni 3960  df-br 4156  df-opab 4210  df-mpt 4211  df-tr 4246  df-eprel 4437  df-id 4441  df-po 4446  df-so 4447  df-fr 4484  df-we 4486  df-ord 4527  df-on 4528  df-lim 4529  df-suc 4530  df-om 4788  df-xp 4826  df-rel 4827  df-cnv 4828  df-co 4829  df-dm 4830  df-rn 4831  df-res 4832  df-ima 4833  df-iota 5360  df-fun 5398  df-fn 5399  df-f 5400  df-f1 5401  df-fo 5402  df-f1o 5403  df-fv 5404  df-ov 6025  df-1o 6662  df-er 6843  df-en 7048  df-dom 7049  df-sdom 7050  df-fin 7051  df-pnf 9057  df-mnf 9058  df-xr 9059  df-ltxr 9060  df-le 9061
  Copyright terms: Public domain W3C validator