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Theorem fimaxre3 9962
Description: A nonempty finite set of real numbers has a maximum (image set version). (Contributed by Mario Carneiro, 13-Feb-2014.)
Assertion
Ref Expression
fimaxre3  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A. y  e.  A  B  e.  RR )  ->  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  B  <_  x
)
Distinct variable groups:    x, y, A    x, B
Allowed substitution hint:    B( y)

Proof of Theorem fimaxre3
Dummy variables  w  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 r19.29 2848 . . . . . 6  |-  ( ( A. y  e.  A  B  e.  RR  /\  E. y  e.  A  z  =  B )  ->  E. y  e.  A  ( B  e.  RR  /\  z  =  B ) )
2 eleq1 2498 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  B  ->  (
z  e.  RR  <->  B  e.  RR ) )
32biimparc 475 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  RR  /\  z  =  B )  ->  z  e.  RR )
43rexlimivw 2828 . . . . . 6  |-  ( E. y  e.  A  ( B  e.  RR  /\  z  =  B )  ->  z  e.  RR )
51, 4syl 16 . . . . 5  |-  ( ( A. y  e.  A  B  e.  RR  /\  E. y  e.  A  z  =  B )  ->  z  e.  RR )
65ex 425 . . . 4  |-  ( A. y  e.  A  B  e.  RR  ->  ( E. y  e.  A  z  =  B  ->  z  e.  RR ) )
76abssdv 3419 . . 3  |-  ( A. y  e.  A  B  e.  RR  ->  { z  |  E. y  e.  A  z  =  B }  C_  RR )
8 abrexfi 7410 . . 3  |-  ( A  e.  Fin  ->  { z  |  E. y  e.  A  z  =  B }  e.  Fin )
9 fimaxre2 9961 . . 3  |-  ( ( { z  |  E. y  e.  A  z  =  B }  C_  RR  /\ 
{ z  |  E. y  e.  A  z  =  B }  e.  Fin )  ->  E. x  e.  RR  A. w  e.  { z  |  E. y  e.  A  z  =  B } w  <_  x
)
107, 8, 9syl2anr 466 . 2  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A. y  e.  A  B  e.  RR )  ->  E. x  e.  RR  A. w  e. 
{ z  |  E. y  e.  A  z  =  B } w  <_  x )
11 r19.23v 2824 . . . . . . 7  |-  ( A. y  e.  A  (
w  =  B  ->  w  <_  x )  <->  ( E. y  e.  A  w  =  B  ->  w  <_  x ) )
1211albii 1576 . . . . . 6  |-  ( A. w A. y  e.  A  ( w  =  B  ->  w  <_  x )  <->  A. w ( E. y  e.  A  w  =  B  ->  w  <_  x
) )
13 ralcom4 2976 . . . . . 6  |-  ( A. y  e.  A  A. w ( w  =  B  ->  w  <_  x )  <->  A. w A. y  e.  A  ( w  =  B  ->  w  <_  x ) )
14 eqeq1 2444 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  w  ->  (
z  =  B  <->  w  =  B ) )
1514rexbidv 2728 . . . . . . 7  |-  ( z  =  w  ->  ( E. y  e.  A  z  =  B  <->  E. y  e.  A  w  =  B ) )
1615ralab 3097 . . . . . 6  |-  ( A. w  e.  { z  |  E. y  e.  A  z  =  B }
w  <_  x  <->  A. w
( E. y  e.  A  w  =  B  ->  w  <_  x
) )
1712, 13, 163bitr4i 270 . . . . 5  |-  ( A. y  e.  A  A. w ( w  =  B  ->  w  <_  x )  <->  A. w  e.  {
z  |  E. y  e.  A  z  =  B } w  <_  x
)
18 nfv 1630 . . . . . . . 8  |-  F/ w  B  <_  x
19 breq1 4218 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  B  ->  (
w  <_  x  <->  B  <_  x ) )
2018, 19ceqsalg 2982 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  RR  ->  ( A. w ( w  =  B  ->  w  <_  x )  <->  B  <_  x ) )
2120ralimi 2783 . . . . . 6  |-  ( A. y  e.  A  B  e.  RR  ->  A. y  e.  A  ( A. w ( w  =  B  ->  w  <_  x )  <->  B  <_  x ) )
22 ralbi 2844 . . . . . 6  |-  ( A. y  e.  A  ( A. w ( w  =  B  ->  w  <_  x )  <->  B  <_  x )  ->  ( A. y  e.  A  A. w
( w  =  B  ->  w  <_  x
)  <->  A. y  e.  A  B  <_  x ) )
2321, 22syl 16 . . . . 5  |-  ( A. y  e.  A  B  e.  RR  ->  ( A. y  e.  A  A. w ( w  =  B  ->  w  <_  x )  <->  A. y  e.  A  B  <_  x ) )
2417, 23syl5bbr 252 . . . 4  |-  ( A. y  e.  A  B  e.  RR  ->  ( A. w  e.  { z  |  E. y  e.  A  z  =  B }
w  <_  x  <->  A. y  e.  A  B  <_  x ) )
2524rexbidv 2728 . . 3  |-  ( A. y  e.  A  B  e.  RR  ->  ( E. x  e.  RR  A. w  e.  { z  |  E. y  e.  A  z  =  B } w  <_  x 
<->  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  B  <_  x ) )
2625adantl 454 . 2  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A. y  e.  A  B  e.  RR )  ->  ( E. x  e.  RR  A. w  e.  { z  |  E. y  e.  A  z  =  B } w  <_  x  <->  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  B  <_  x ) )
2710, 26mpbid 203 1  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A. y  e.  A  B  e.  RR )  ->  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  B  <_  x
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360   A.wal 1550    = wceq 1653    e. wcel 1726   {cab 2424   A.wral 2707   E.wrex 2708    C_ wss 3322   class class class wbr 4215   Fincfn 7112   RRcr 8994    <_ cle 9126
This theorem is referenced by:  fsequb  11319  fsequb2  11320  caubnd  12167  limsupgre  12280  vdwnnlem3  13370  cnheibor  18985  bndth  18988  ovoliunlem2  19404  dchrisum  21191
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-rnegex 9066  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-1o 6727  df-oadd 6731  df-er 6908  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-fin 7116  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-xr 9129  df-ltxr 9130  df-le 9131
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