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Theorem fimaxre3 9719
Description: A nonempty finite set of real numbers has a maximum (image set version). (Contributed by Mario Carneiro, 13-Feb-2014.)
Assertion
Ref Expression
fimaxre3  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A. y  e.  A  B  e.  RR )  ->  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  B  <_  x
)
Distinct variable groups:    x, y, A    x, B
Allowed substitution hint:    B( y)

Proof of Theorem fimaxre3
Dummy variables  w  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 r19.29 2696 . . . . . 6  |-  ( ( A. y  e.  A  B  e.  RR  /\  E. y  e.  A  z  =  B )  ->  E. y  e.  A  ( B  e.  RR  /\  z  =  B ) )
2 eleq1 2356 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  B  ->  (
z  e.  RR  <->  B  e.  RR ) )
32biimparc 473 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  RR  /\  z  =  B )  ->  z  e.  RR )
43rexlimivw 2676 . . . . . 6  |-  ( E. y  e.  A  ( B  e.  RR  /\  z  =  B )  ->  z  e.  RR )
51, 4syl 15 . . . . 5  |-  ( ( A. y  e.  A  B  e.  RR  /\  E. y  e.  A  z  =  B )  ->  z  e.  RR )
65ex 423 . . . 4  |-  ( A. y  e.  A  B  e.  RR  ->  ( E. y  e.  A  z  =  B  ->  z  e.  RR ) )
76abssdv 3260 . . 3  |-  ( A. y  e.  A  B  e.  RR  ->  { z  |  E. y  e.  A  z  =  B }  C_  RR )
8 abrexfi 7172 . . 3  |-  ( A  e.  Fin  ->  { z  |  E. y  e.  A  z  =  B }  e.  Fin )
9 fimaxre2 9718 . . 3  |-  ( ( { z  |  E. y  e.  A  z  =  B }  C_  RR  /\ 
{ z  |  E. y  e.  A  z  =  B }  e.  Fin )  ->  E. x  e.  RR  A. w  e.  { z  |  E. y  e.  A  z  =  B } w  <_  x
)
107, 8, 9syl2anr 464 . 2  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A. y  e.  A  B  e.  RR )  ->  E. x  e.  RR  A. w  e. 
{ z  |  E. y  e.  A  z  =  B } w  <_  x )
11 r19.23v 2672 . . . . . . 7  |-  ( A. y  e.  A  (
w  =  B  ->  w  <_  x )  <->  ( E. y  e.  A  w  =  B  ->  w  <_  x ) )
1211albii 1556 . . . . . 6  |-  ( A. w A. y  e.  A  ( w  =  B  ->  w  <_  x )  <->  A. w ( E. y  e.  A  w  =  B  ->  w  <_  x
) )
13 ralcom4 2819 . . . . . 6  |-  ( A. y  e.  A  A. w ( w  =  B  ->  w  <_  x )  <->  A. w A. y  e.  A  ( w  =  B  ->  w  <_  x ) )
14 eqeq1 2302 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  w  ->  (
z  =  B  <->  w  =  B ) )
1514rexbidv 2577 . . . . . . 7  |-  ( z  =  w  ->  ( E. y  e.  A  z  =  B  <->  E. y  e.  A  w  =  B ) )
1615ralab 2939 . . . . . 6  |-  ( A. w  e.  { z  |  E. y  e.  A  z  =  B }
w  <_  x  <->  A. w
( E. y  e.  A  w  =  B  ->  w  <_  x
) )
1712, 13, 163bitr4i 268 . . . . 5  |-  ( A. y  e.  A  A. w ( w  =  B  ->  w  <_  x )  <->  A. w  e.  {
z  |  E. y  e.  A  z  =  B } w  <_  x
)
18 nfv 1609 . . . . . . . 8  |-  F/ w  B  <_  x
19 breq1 4042 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  B  ->  (
w  <_  x  <->  B  <_  x ) )
2018, 19ceqsalg 2825 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  RR  ->  ( A. w ( w  =  B  ->  w  <_  x )  <->  B  <_  x ) )
2120ralimi 2631 . . . . . 6  |-  ( A. y  e.  A  B  e.  RR  ->  A. y  e.  A  ( A. w ( w  =  B  ->  w  <_  x )  <->  B  <_  x ) )
22 ralbi 2692 . . . . . 6  |-  ( A. y  e.  A  ( A. w ( w  =  B  ->  w  <_  x )  <->  B  <_  x )  ->  ( A. y  e.  A  A. w
( w  =  B  ->  w  <_  x
)  <->  A. y  e.  A  B  <_  x ) )
2321, 22syl 15 . . . . 5  |-  ( A. y  e.  A  B  e.  RR  ->  ( A. y  e.  A  A. w ( w  =  B  ->  w  <_  x )  <->  A. y  e.  A  B  <_  x ) )
2417, 23syl5bbr 250 . . . 4  |-  ( A. y  e.  A  B  e.  RR  ->  ( A. w  e.  { z  |  E. y  e.  A  z  =  B }
w  <_  x  <->  A. y  e.  A  B  <_  x ) )
2524rexbidv 2577 . . 3  |-  ( A. y  e.  A  B  e.  RR  ->  ( E. x  e.  RR  A. w  e.  { z  |  E. y  e.  A  z  =  B } w  <_  x 
<->  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  B  <_  x ) )
2625adantl 452 . 2  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A. y  e.  A  B  e.  RR )  ->  ( E. x  e.  RR  A. w  e.  { z  |  E. y  e.  A  z  =  B } w  <_  x  <->  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  B  <_  x ) )
2710, 26mpbid 201 1  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A. y  e.  A  B  e.  RR )  ->  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  B  <_  x
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358   A.wal 1530    = wceq 1632    e. wcel 1696   {cab 2282   A.wral 2556   E.wrex 2557    C_ wss 3165   class class class wbr 4039   Fincfn 6879   RRcr 8752    <_ cle 8884
This theorem is referenced by:  fsequb  11053  fsequb2  11054  caubnd  11858  limsupgre  11971  vdwnnlem3  13060  cnheibor  18469  bndth  18472  ovoliunlem2  18878  dchrisum  20657
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-oadd 6499  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889
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