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Theorem fimaxre3 9703
Description: A nonempty finite set of real numbers has a maximum (image set version). (Contributed by Mario Carneiro, 13-Feb-2014.)
Assertion
Ref Expression
fimaxre3  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A. y  e.  A  B  e.  RR )  ->  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  B  <_  x
)
Distinct variable groups:    x, y, A    x, B
Allowed substitution hint:    B( y)

Proof of Theorem fimaxre3
Dummy variables  w  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 r19.29 2683 . . . . . 6  |-  ( ( A. y  e.  A  B  e.  RR  /\  E. y  e.  A  z  =  B )  ->  E. y  e.  A  ( B  e.  RR  /\  z  =  B ) )
2 eleq1 2343 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  B  ->  (
z  e.  RR  <->  B  e.  RR ) )
32biimparc 473 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  RR  /\  z  =  B )  ->  z  e.  RR )
43rexlimivw 2663 . . . . . 6  |-  ( E. y  e.  A  ( B  e.  RR  /\  z  =  B )  ->  z  e.  RR )
51, 4syl 15 . . . . 5  |-  ( ( A. y  e.  A  B  e.  RR  /\  E. y  e.  A  z  =  B )  ->  z  e.  RR )
65ex 423 . . . 4  |-  ( A. y  e.  A  B  e.  RR  ->  ( E. y  e.  A  z  =  B  ->  z  e.  RR ) )
76abssdv 3247 . . 3  |-  ( A. y  e.  A  B  e.  RR  ->  { z  |  E. y  e.  A  z  =  B }  C_  RR )
8 abrexfi 7156 . . 3  |-  ( A  e.  Fin  ->  { z  |  E. y  e.  A  z  =  B }  e.  Fin )
9 fimaxre2 9702 . . 3  |-  ( ( { z  |  E. y  e.  A  z  =  B }  C_  RR  /\ 
{ z  |  E. y  e.  A  z  =  B }  e.  Fin )  ->  E. x  e.  RR  A. w  e.  { z  |  E. y  e.  A  z  =  B } w  <_  x
)
107, 8, 9syl2anr 464 . 2  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A. y  e.  A  B  e.  RR )  ->  E. x  e.  RR  A. w  e. 
{ z  |  E. y  e.  A  z  =  B } w  <_  x )
11 r19.23v 2659 . . . . . . 7  |-  ( A. y  e.  A  (
w  =  B  ->  w  <_  x )  <->  ( E. y  e.  A  w  =  B  ->  w  <_  x ) )
1211albii 1553 . . . . . 6  |-  ( A. w A. y  e.  A  ( w  =  B  ->  w  <_  x )  <->  A. w ( E. y  e.  A  w  =  B  ->  w  <_  x
) )
13 ralcom4 2806 . . . . . 6  |-  ( A. y  e.  A  A. w ( w  =  B  ->  w  <_  x )  <->  A. w A. y  e.  A  ( w  =  B  ->  w  <_  x ) )
14 eqeq1 2289 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  w  ->  (
z  =  B  <->  w  =  B ) )
1514rexbidv 2564 . . . . . . 7  |-  ( z  =  w  ->  ( E. y  e.  A  z  =  B  <->  E. y  e.  A  w  =  B ) )
1615ralab 2926 . . . . . 6  |-  ( A. w  e.  { z  |  E. y  e.  A  z  =  B }
w  <_  x  <->  A. w
( E. y  e.  A  w  =  B  ->  w  <_  x
) )
1712, 13, 163bitr4i 268 . . . . 5  |-  ( A. y  e.  A  A. w ( w  =  B  ->  w  <_  x )  <->  A. w  e.  {
z  |  E. y  e.  A  z  =  B } w  <_  x
)
18 nfv 1605 . . . . . . . 8  |-  F/ w  B  <_  x
19 breq1 4026 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  B  ->  (
w  <_  x  <->  B  <_  x ) )
2018, 19ceqsalg 2812 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  RR  ->  ( A. w ( w  =  B  ->  w  <_  x )  <->  B  <_  x ) )
2120ralimi 2618 . . . . . 6  |-  ( A. y  e.  A  B  e.  RR  ->  A. y  e.  A  ( A. w ( w  =  B  ->  w  <_  x )  <->  B  <_  x ) )
22 ralbi 2679 . . . . . 6  |-  ( A. y  e.  A  ( A. w ( w  =  B  ->  w  <_  x )  <->  B  <_  x )  ->  ( A. y  e.  A  A. w
( w  =  B  ->  w  <_  x
)  <->  A. y  e.  A  B  <_  x ) )
2321, 22syl 15 . . . . 5  |-  ( A. y  e.  A  B  e.  RR  ->  ( A. y  e.  A  A. w ( w  =  B  ->  w  <_  x )  <->  A. y  e.  A  B  <_  x ) )
2417, 23syl5bbr 250 . . . 4  |-  ( A. y  e.  A  B  e.  RR  ->  ( A. w  e.  { z  |  E. y  e.  A  z  =  B }
w  <_  x  <->  A. y  e.  A  B  <_  x ) )
2524rexbidv 2564 . . 3  |-  ( A. y  e.  A  B  e.  RR  ->  ( E. x  e.  RR  A. w  e.  { z  |  E. y  e.  A  z  =  B } w  <_  x 
<->  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  B  <_  x ) )
2625adantl 452 . 2  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A. y  e.  A  B  e.  RR )  ->  ( E. x  e.  RR  A. w  e.  { z  |  E. y  e.  A  z  =  B } w  <_  x  <->  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  B  <_  x ) )
2710, 26mpbid 201 1  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A. y  e.  A  B  e.  RR )  ->  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  B  <_  x
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358   A.wal 1527    = wceq 1623    e. wcel 1684   {cab 2269   A.wral 2543   E.wrex 2544    C_ wss 3152   class class class wbr 4023   Fincfn 6863   RRcr 8736    <_ cle 8868
This theorem is referenced by:  fsequb  11037  fsequb2  11038  caubnd  11842  limsupgre  11955  vdwnnlem3  13044  cnheibor  18453  bndth  18456  ovoliunlem2  18862  dchrisum  20641
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873
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