MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fin11a Unicode version

Theorem fin11a 8025
Description: Every I-finite set is Ia-finite. (Contributed by Stefan O'Rear, 30-Oct-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 17-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
fin11a  |-  ( A  e.  Fin  ->  A  e. FinIa
)

Proof of Theorem fin11a
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elpwi 3646 . . . . 5  |-  ( x  e.  ~P A  ->  x  C_  A )
2 ssfi 7099 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  x  C_  A )  ->  x  e.  Fin )
31, 2sylan2 460 . . . 4  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  x  e.  ~P A
)  ->  x  e.  Fin )
43orcd 381 . . 3  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  x  e.  ~P A
)  ->  ( x  e.  Fin  \/  ( A 
\  x )  e. 
Fin ) )
54ralrimiva 2639 . 2  |-  ( A  e.  Fin  ->  A. x  e.  ~P  A ( x  e.  Fin  \/  ( A  \  x )  e. 
Fin ) )
6 isfin1a 7934 . 2  |-  ( A  e.  Fin  ->  ( A  e. FinIa 
<-> 
A. x  e.  ~P  A ( x  e. 
Fin  \/  ( A  \  x )  e.  Fin ) ) )
75, 6mpbird 223 1  |-  ( A  e.  Fin  ->  A  e. FinIa
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    \/ wo 357    /\ wa 358    e. wcel 1696   A.wral 2556    \ cdif 3162    C_ wss 3165   ~Pcpw 3638   Fincfn 6879  FinIacfin1a 7920
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-br 4040  df-opab 4094  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-er 6676  df-en 6880  df-fin 6883  df-fin1a 7927
  Copyright terms: Public domain W3C validator