MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fin17 Unicode version

Theorem fin17 8065
Description: Every I-finite set is VII-finite. (Contributed by Mario Carneiro, 17-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
fin17  |-  ( A  e.  Fin  ->  A  e. FinVII )

Proof of Theorem fin17
Dummy variable  b is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eldif 3196 . . . . 5  |-  ( b  e.  ( On  \  om )  <->  ( b  e.  On  /\  -.  b  e.  om ) )
2 enfi 7122 . . . . . . . . 9  |-  ( A 
~~  b  ->  ( A  e.  Fin  <->  b  e.  Fin ) )
3 onfin 7094 . . . . . . . . 9  |-  ( b  e.  On  ->  (
b  e.  Fin  <->  b  e.  om ) )
42, 3sylan9bbr 681 . . . . . . . 8  |-  ( ( b  e.  On  /\  A  ~~  b )  -> 
( A  e.  Fin  <->  b  e.  om ) )
54biimpd 198 . . . . . . 7  |-  ( ( b  e.  On  /\  A  ~~  b )  -> 
( A  e.  Fin  ->  b  e.  om )
)
65con3d 125 . . . . . 6  |-  ( ( b  e.  On  /\  A  ~~  b )  -> 
( -.  b  e. 
om  ->  -.  A  e.  Fin ) )
76impancom 427 . . . . 5  |-  ( ( b  e.  On  /\  -.  b  e.  om )  ->  ( A  ~~  b  ->  -.  A  e.  Fin ) )
81, 7sylbi 187 . . . 4  |-  ( b  e.  ( On  \  om )  ->  ( A 
~~  b  ->  -.  A  e.  Fin )
)
98rexlimiv 2695 . . 3  |-  ( E. b  e.  ( On 
\  om ) A 
~~  b  ->  -.  A  e.  Fin )
109con2i 112 . 2  |-  ( A  e.  Fin  ->  -.  E. b  e.  ( On 
\  om ) A 
~~  b )
11 isfin7 7972 . 2  |-  ( A  e.  Fin  ->  ( A  e. FinVII 
<->  -.  E. b  e.  ( On  \  om ) A  ~~  b ) )
1210, 11mpbird 223 1  |-  ( A  e.  Fin  ->  A  e. FinVII )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 358    e. wcel 1701   E.wrex 2578    \ cdif 3183   class class class wbr 4060   Oncon0 4429   omcom 4693    ~~ cen 6903   Fincfn 6906  FinVIIcfin7 7955
This theorem is referenced by:  fin67  8066  isfin7-2  8067
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1537  ax-5 1548  ax-17 1607  ax-9 1645  ax-8 1666  ax-13 1703  ax-14 1705  ax-6 1720  ax-7 1725  ax-11 1732  ax-12 1897  ax-ext 2297  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4225  ax-pr 4251  ax-un 4549
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1533  df-nf 1536  df-sb 1640  df-eu 2180  df-mo 2181  df-clab 2303  df-cleq 2309  df-clel 2312  df-nfc 2441  df-ne 2481  df-ral 2582  df-rex 2583  df-rab 2586  df-v 2824  df-sbc 3026  df-dif 3189  df-un 3191  df-in 3193  df-ss 3200  df-pss 3202  df-nul 3490  df-if 3600  df-pw 3661  df-sn 3680  df-pr 3681  df-tp 3682  df-op 3683  df-uni 3865  df-br 4061  df-opab 4115  df-tr 4151  df-eprel 4342  df-id 4346  df-po 4351  df-so 4352  df-fr 4389  df-we 4391  df-ord 4432  df-on 4433  df-lim 4434  df-suc 4435  df-om 4694  df-xp 4732  df-rel 4733  df-cnv 4734  df-co 4735  df-dm 4736  df-rn 4737  df-res 4738  df-ima 4739  df-iota 5256  df-fun 5294  df-fn 5295  df-f 5296  df-f1 5297  df-fo 5298  df-f1o 5299  df-fv 5300  df-er 6702  df-en 6907  df-dom 6908  df-sdom 6909  df-fin 6910  df-fin7 7962
  Copyright terms: Public domain W3C validator