MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fin1a2 Unicode version

Theorem fin1a2 8041
Description: Every Ia-finite set is II-finite. Theorem 1 of [Levy58], p. 3. (Contributed by Stefan O'Rear, 8-Nov-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 17-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
fin1a2  |-  ( A  e. FinIa  ->  A  e. FinII )

Proof of Theorem fin1a2
Dummy variable  b is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elpwi 3633 . . . 4  |-  ( b  e.  ~P A  -> 
b  C_  A )
2 fin1ai 7919 . . . . 5  |-  ( ( A  e. FinIa  /\  b  C_  A )  ->  (
b  e.  Fin  \/  ( A  \  b
)  e.  Fin )
)
3 fin12 8039 . . . . . 6  |-  ( ( A  \  b )  e.  Fin  ->  ( A  \  b )  e. FinII )
43orim2i 504 . . . . 5  |-  ( ( b  e.  Fin  \/  ( A  \  b
)  e.  Fin )  ->  ( b  e.  Fin  \/  ( A  \  b
)  e. FinII ) )
52, 4syl 15 . . . 4  |-  ( ( A  e. FinIa  /\  b  C_  A )  ->  (
b  e.  Fin  \/  ( A  \  b
)  e. FinII ) )
61, 5sylan2 460 . . 3  |-  ( ( A  e. FinIa  /\  b  e.  ~P A )  ->  (
b  e.  Fin  \/  ( A  \  b
)  e. FinII ) )
76ralrimiva 2626 . 2  |-  ( A  e. FinIa  ->  A. b  e.  ~P  A ( b  e. 
Fin  \/  ( A  \  b )  e. FinII ) )
8 fin1a2s 8040 . 2  |-  ( ( A  e. FinIa  /\  A. b  e.  ~P  A ( b  e.  Fin  \/  ( A  \  b )  e. FinII ) )  ->  A  e. FinII )
97, 8mpdan 649 1  |-  ( A  e. FinIa  ->  A  e. FinII )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    \/ wo 357    /\ wa 358    e. wcel 1684   A.wral 2543    \ cdif 3149    C_ wss 3152   ~Pcpw 3625   Fincfn 6863  FinIacfin1a 7904  FinIIcfin2 7905
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-rpss 6277  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-seqom 6460  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-omul 6484  df-er 6660  df-map 6774  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-wdom 7273  df-card 7572  df-fin1a 7911  df-fin2 7912  df-fin4 7913  df-fin3 7914
  Copyright terms: Public domain W3C validator