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Theorem fin1a2lem10 8035
Description: Lemma for fin1a2 8041. A nonempty finite union of members of a chain is a member of the chain. (Contributed by Stefan O'Rear, 8-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
fin1a2lem10  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  A  e.  Fin  /\ [ C.]  Or  A
)  ->  U. A  e.  A )

Proof of Theorem fin1a2lem10
Dummy variables  a 
b  c are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ax-1 5 . . . . . 6  |-  ( a  =  (/)  ->  ( -.  ( [ C.]  Or  a  ->  U. a  e.  a )  ->  a  =  (/) ) )
21necon1ad 2513 . . . . 5  |-  ( a  =  (/)  ->  ( a  =/=  (/)  ->  ( [ C.]  Or  a  ->  U. a  e.  a ) ) )
3 tru 1312 . . . . . 6  |-  T.
43a1i 10 . . . . 5  |-  ( a  =  (/)  ->  T.  )
52, 42thd 231 . . . 4  |-  ( a  =  (/)  ->  ( ( a  =/=  (/)  ->  ( [ C.]  Or  a  ->  U. a  e.  a ) )  <->  T.  )
)
6 neeq1 2454 . . . . 5  |-  ( a  =  b  ->  (
a  =/=  (/)  <->  b  =/=  (/) ) )
7 soeq2 4334 . . . . . 6  |-  ( a  =  b  ->  ( [ C.]  Or  a  <-> [ C.]  Or  b
) )
8 unieq 3836 . . . . . . 7  |-  ( a  =  b  ->  U. a  =  U. b )
9 id 19 . . . . . . 7  |-  ( a  =  b  ->  a  =  b )
108, 9eleq12d 2351 . . . . . 6  |-  ( a  =  b  ->  ( U. a  e.  a  <->  U. b  e.  b ) )
117, 10imbi12d 311 . . . . 5  |-  ( a  =  b  ->  (
( [ C.]  Or  a  ->  U. a  e.  a )  <->  ( [ C.]  Or  b  ->  U. b  e.  b ) ) )
126, 11imbi12d 311 . . . 4  |-  ( a  =  b  ->  (
( a  =/=  (/)  ->  ( [ C.]  Or  a  ->  U. a  e.  a ) )  <->  ( b  =/=  (/)  ->  ( [ C.]  Or  b  ->  U. b  e.  b ) ) ) )
13 neeq1 2454 . . . . 5  |-  ( a  =  ( b  u. 
{ c } )  ->  ( a  =/=  (/) 
<->  ( b  u.  {
c } )  =/=  (/) ) )
14 soeq2 4334 . . . . . 6  |-  ( a  =  ( b  u. 
{ c } )  ->  ( [ C.]  Or  a 
<-> [
C.]  Or  ( b  u.  { c } ) ) )
15 unieq 3836 . . . . . . 7  |-  ( a  =  ( b  u. 
{ c } )  ->  U. a  =  U. ( b  u.  {
c } ) )
16 id 19 . . . . . . 7  |-  ( a  =  ( b  u. 
{ c } )  ->  a  =  ( b  u.  { c } ) )
1715, 16eleq12d 2351 . . . . . 6  |-  ( a  =  ( b  u. 
{ c } )  ->  ( U. a  e.  a  <->  U. ( b  u. 
{ c } )  e.  ( b  u. 
{ c } ) ) )
1814, 17imbi12d 311 . . . . 5  |-  ( a  =  ( b  u. 
{ c } )  ->  ( ( [ C.]  Or  a  ->  U. a  e.  a )  <->  ( [ C.]  Or  ( b  u.  {
c } )  ->  U. ( b  u.  {
c } )  e.  ( b  u.  {
c } ) ) ) )
1913, 18imbi12d 311 . . . 4  |-  ( a  =  ( b  u. 
{ c } )  ->  ( ( a  =/=  (/)  ->  ( [ C.]  Or  a  ->  U. a  e.  a ) )  <->  ( (
b  u.  { c } )  =/=  (/)  ->  ( [ C.]  Or  ( b  u. 
{ c } )  ->  U. ( b  u. 
{ c } )  e.  ( b  u. 
{ c } ) ) ) ) )
20 neeq1 2454 . . . . 5  |-  ( a  =  A  ->  (
a  =/=  (/)  <->  A  =/=  (/) ) )
21 soeq2 4334 . . . . . 6  |-  ( a  =  A  ->  ( [ C.]  Or  a  <-> [ C.]  Or  A
) )
22 unieq 3836 . . . . . . 7  |-  ( a  =  A  ->  U. a  =  U. A )
23 id 19 . . . . . . 7  |-  ( a  =  A  ->  a  =  A )
2422, 23eleq12d 2351 . . . . . 6  |-  ( a  =  A  ->  ( U. a  e.  a  <->  U. A  e.  A ) )
2521, 24imbi12d 311 . . . . 5  |-  ( a  =  A  ->  (
( [ C.]  Or  a  ->  U. a  e.  a )  <->  ( [ C.]  Or  A  ->  U. A  e.  A
) ) )
2620, 25imbi12d 311 . . . 4  |-  ( a  =  A  ->  (
( a  =/=  (/)  ->  ( [ C.]  Or  a  ->  U. a  e.  a ) )  <->  ( A  =/=  (/)  ->  ( [ C.]  Or  A  ->  U. A  e.  A ) ) ) )
27 vex 2791 . . . . . . . . . . . 12  |-  c  e. 
_V
2827unisn 3843 . . . . . . . . . . 11  |-  U. {
c }  =  c
2927snid 3667 . . . . . . . . . . 11  |-  c  e. 
{ c }
3028, 29eqeltri 2353 . . . . . . . . . 10  |-  U. {
c }  e.  {
c }
31 uneq1 3322 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( b  =  (/)  ->  ( b  u.  { c } )  =  ( (/)  u. 
{ c } ) )
32 uncom 3319 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (/)  u. 
{ c } )  =  ( { c }  u.  (/) )
33 un0 3479 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( { c }  u.  (/) )  =  { c }
3432, 33eqtri 2303 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (/)  u. 
{ c } )  =  { c }
3531, 34syl6eq 2331 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( b  =  (/)  ->  ( b  u.  { c } )  =  { c } )
3635unieqd 3838 . . . . . . . . . . 11  |-  ( b  =  (/)  ->  U. (
b  u.  { c } )  =  U. { c } )
3736, 35eleq12d 2351 . . . . . . . . . 10  |-  ( b  =  (/)  ->  ( U. ( b  u.  {
c } )  e.  ( b  u.  {
c } )  <->  U. { c }  e.  { c } ) )
3830, 37mpbiri 224 . . . . . . . . 9  |-  ( b  =  (/)  ->  U. (
b  u.  { c } )  e.  ( b  u.  { c } ) )
3938a1d 22 . . . . . . . 8  |-  ( b  =  (/)  ->  ( ( b  =/=  (/)  ->  ( [ C.]  Or  b  ->  U. b  e.  b ) )  ->  U. ( b  u.  {
c } )  e.  ( b  u.  {
c } ) ) )
4039adantl 452 . . . . . . 7  |-  ( ( ( b  e.  Fin  /\ [
C.]  Or  ( b  u.  { c } )  /\  ( b  u. 
{ c } )  =/=  (/) )  /\  b  =  (/) )  ->  (
( b  =/=  (/)  ->  ( [ C.]  Or  b  ->  U. b  e.  b ) )  ->  U. ( b  u.  {
c } )  e.  ( b  u.  {
c } ) ) )
41 simpr 447 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( b  e.  Fin  /\ [
C.]  Or  ( b  u.  { c } )  /\  ( b  u. 
{ c } )  =/=  (/) )  /\  b  =/=  (/) )  ->  b  =/=  (/) )
42 ssun1 3338 . . . . . . . . . 10  |-  b  C_  ( b  u.  {
c } )
43 simpl2 959 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( b  e.  Fin  /\ [
C.]  Or  ( b  u.  { c } )  /\  ( b  u. 
{ c } )  =/=  (/) )  /\  b  =/=  (/) )  -> [ C.]  Or  ( b  u.  {
c } ) )
44 soss 4332 . . . . . . . . . 10  |-  ( b 
C_  ( b  u. 
{ c } )  ->  ( [ C.]  Or  ( b  u.  {
c } )  -> [ C.]  Or  b ) )
4542, 43, 44mpsyl 59 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( b  e.  Fin  /\ [
C.]  Or  ( b  u.  { c } )  /\  ( b  u. 
{ c } )  =/=  (/) )  /\  b  =/=  (/) )  -> [ C.]  Or  b )
46 uniun 3846 . . . . . . . . . . . 12  |-  U. (
b  u.  { c } )  =  ( U. b  u.  U. { c } )
4728uneq2i 3326 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( U. b  u.  U. { c } )  =  ( U. b  u.  c
)
4846, 47eqtri 2303 . . . . . . . . . . 11  |-  U. (
b  u.  { c } )  =  ( U. b  u.  c
)
49 simprr 733 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( b  e.  Fin  /\ [
C.]  Or  ( b  u.  { c } )  /\  ( b  u. 
{ c } )  =/=  (/) )  /\  (
b  =/=  (/)  /\  U. b  e.  b )
)  ->  U. b  e.  b )
50 simpl2 959 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( b  e.  Fin  /\ [
C.]  Or  ( b  u.  { c } )  /\  ( b  u. 
{ c } )  =/=  (/) )  /\  (
b  =/=  (/)  /\  U. b  e.  b )
)  -> [ C.]  Or  (
b  u.  { c } ) )
51 elun1 3342 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( U. b  e.  b  ->  U. b  e.  ( b  u.  { c } ) )
5251ad2antll 709 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( b  e.  Fin  /\ [
C.]  Or  ( b  u.  { c } )  /\  ( b  u. 
{ c } )  =/=  (/) )  /\  (
b  =/=  (/)  /\  U. b  e.  b )
)  ->  U. b  e.  ( b  u.  {
c } ) )
53 ssun2 3339 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  { c }  C_  ( b  u.  { c } )
5453, 29sselii 3177 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  c  e.  ( b  u.  {
c } )
5554a1i 10 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( b  e.  Fin  /\ [
C.]  Or  ( b  u.  { c } )  /\  ( b  u. 
{ c } )  =/=  (/) )  /\  (
b  =/=  (/)  /\  U. b  e.  b )
)  ->  c  e.  ( b  u.  {
c } ) )
56 sorpssi 6283 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( [
C.]  Or  ( b  u.  { c } )  /\  ( U. b  e.  ( b  u.  {
c } )  /\  c  e.  ( b  u.  { c } ) ) )  ->  ( U. b  C_  c  \/  c  C_  U. b
) )
5750, 52, 55, 56syl12anc 1180 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( b  e.  Fin  /\ [
C.]  Or  ( b  u.  { c } )  /\  ( b  u. 
{ c } )  =/=  (/) )  /\  (
b  =/=  (/)  /\  U. b  e.  b )
)  ->  ( U. b  C_  c  \/  c  C_ 
U. b ) )
58 ssequn1 3345 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( U. b  C_  c  <->  ( U. b  u.  c )  =  c )
5954a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( U. b  e.  b  ->  c  e.  ( b  u. 
{ c } ) )
60 eleq1 2343 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( U. b  u.  c
)  =  c  -> 
( ( U. b  u.  c )  e.  ( b  u.  { c } )  <->  c  e.  ( b  u.  {
c } ) ) )
6159, 60syl5ibr 212 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( U. b  u.  c
)  =  c  -> 
( U. b  e.  b  ->  ( U. b  u.  c )  e.  ( b  u.  {
c } ) ) )
6258, 61sylbi 187 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( U. b  C_  c  ->  ( U. b  e.  b  ->  ( U. b  u.  c )  e.  ( b  u.  { c } ) ) )
6362impcom 419 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( U. b  e.  b  /\  U. b  C_  c )  ->  ( U. b  u.  c
)  e.  ( b  u.  { c } ) )
64 uncom 3319 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( U. b  u.  c )  =  ( c  u. 
U. b )
65 ssequn1 3345 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( c 
C_  U. b  <->  ( c  u.  U. b )  = 
U. b )
66 eleq1 2343 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( c  u.  U. b
)  =  U. b  ->  ( ( c  u. 
U. b )  e.  ( b  u.  {
c } )  <->  U. b  e.  ( b  u.  {
c } ) ) )
6751, 66syl5ibr 212 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( c  u.  U. b
)  =  U. b  ->  ( U. b  e.  b  ->  ( c  u.  U. b )  e.  ( b  u.  {
c } ) ) )
6865, 67sylbi 187 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( c 
C_  U. b  ->  ( U. b  e.  b  ->  ( c  u.  U. b )  e.  ( b  u.  { c } ) ) )
6968impcom 419 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( U. b  e.  b  /\  c  C_  U. b
)  ->  ( c  u.  U. b )  e.  ( b  u.  {
c } ) )
7064, 69syl5eqel 2367 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( U. b  e.  b  /\  c  C_  U. b
)  ->  ( U. b  u.  c )  e.  ( b  u.  {
c } ) )
7163, 70jaodan 760 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( U. b  e.  b  /\  ( U. b  C_  c  \/  c  C_  U. b ) )  -> 
( U. b  u.  c )  e.  ( b  u.  { c } ) )
7249, 57, 71syl2anc 642 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( b  e.  Fin  /\ [
C.]  Or  ( b  u.  { c } )  /\  ( b  u. 
{ c } )  =/=  (/) )  /\  (
b  =/=  (/)  /\  U. b  e.  b )
)  ->  ( U. b  u.  c )  e.  ( b  u.  {
c } ) )
7348, 72syl5eqel 2367 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( b  e.  Fin  /\ [
C.]  Or  ( b  u.  { c } )  /\  ( b  u. 
{ c } )  =/=  (/) )  /\  (
b  =/=  (/)  /\  U. b  e.  b )
)  ->  U. (
b  u.  { c } )  e.  ( b  u.  { c } ) )
7473expr 598 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( b  e.  Fin  /\ [
C.]  Or  ( b  u.  { c } )  /\  ( b  u. 
{ c } )  =/=  (/) )  /\  b  =/=  (/) )  ->  ( U. b  e.  b  ->  U. ( b  u. 
{ c } )  e.  ( b  u. 
{ c } ) ) )
7545, 74embantd 50 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( b  e.  Fin  /\ [
C.]  Or  ( b  u.  { c } )  /\  ( b  u. 
{ c } )  =/=  (/) )  /\  b  =/=  (/) )  ->  (
( [ C.]  Or  b  ->  U. b  e.  b )  ->  U. (
b  u.  { c } )  e.  ( b  u.  { c } ) ) )
7641, 75embantd 50 . . . . . . 7  |-  ( ( ( b  e.  Fin  /\ [
C.]  Or  ( b  u.  { c } )  /\  ( b  u. 
{ c } )  =/=  (/) )  /\  b  =/=  (/) )  ->  (
( b  =/=  (/)  ->  ( [ C.]  Or  b  ->  U. b  e.  b ) )  ->  U. ( b  u.  {
c } )  e.  ( b  u.  {
c } ) ) )
7740, 76pm2.61dane 2524 . . . . . 6  |-  ( ( b  e.  Fin  /\ [ C.] 
Or  ( b  u. 
{ c } )  /\  ( b  u. 
{ c } )  =/=  (/) )  ->  (
( b  =/=  (/)  ->  ( [ C.]  Or  b  ->  U. b  e.  b ) )  ->  U. ( b  u.  {
c } )  e.  ( b  u.  {
c } ) ) )
78773exp 1150 . . . . 5  |-  ( b  e.  Fin  ->  ( [ C.]  Or  ( b  u. 
{ c } )  ->  ( ( b  u.  { c } )  =/=  (/)  ->  (
( b  =/=  (/)  ->  ( [ C.]  Or  b  ->  U. b  e.  b ) )  ->  U. ( b  u.  {
c } )  e.  ( b  u.  {
c } ) ) ) ) )
7978com24 81 . . . 4  |-  ( b  e.  Fin  ->  (
( b  =/=  (/)  ->  ( [ C.]  Or  b  ->  U. b  e.  b ) )  -> 
( ( b  u. 
{ c } )  =/=  (/)  ->  ( [ C.]  Or  ( b  u.  {
c } )  ->  U. ( b  u.  {
c } )  e.  ( b  u.  {
c } ) ) ) ) )
805, 12, 19, 26, 3, 79findcard2 7098 . . 3  |-  ( A  e.  Fin  ->  ( A  =/=  (/)  ->  ( [ C.]  Or  A  ->  U. A  e.  A ) ) )
8180com12 27 . 2  |-  ( A  =/=  (/)  ->  ( A  e.  Fin  ->  ( [ C.]  Or  A  ->  U. A  e.  A ) ) )
82813imp 1145 1  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  A  e.  Fin  /\ [ C.]  Or  A
)  ->  U. A  e.  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    \/ wo 357    /\ wa 358    /\ w3a 934    T. wtru 1307    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446    u. cun 3150    C_ wss 3152   (/)c0 3455   {csn 3640   U.cuni 3827    Or wor 4313   [ C.] crpss 6276   Fincfn 6863
This theorem is referenced by:  fin1a2lem11  8036  pgpfac1lem5  15314
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-rpss 6277  df-1o 6479  df-er 6660  df-en 6864  df-fin 6867
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