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Theorem fin1a2lem11 8036
Description: Lemma for fin1a2 8041. (Contributed by Stefan O'Rear, 8-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
fin1a2lem11  |-  ( ( [
C.]  Or  A  /\  A  C_  Fin )  ->  ran  ( b  e.  om  |->  U. { c  e.  A  |  c  ~<_  b }
)  =  ( A  u.  { (/) } ) )
Distinct variable group:    b, c, A

Proof of Theorem fin1a2lem11
Dummy variable  d is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2283 . . 3  |-  ( b  e.  om  |->  U. {
c  e.  A  | 
c  ~<_  b } )  =  ( b  e. 
om  |->  U. { c  e.  A  |  c  ~<_  b } )
21rnmpt 4925 . 2  |-  ran  (
b  e.  om  |->  U. { c  e.  A  |  c  ~<_  b }
)  =  { d  |  E. b  e. 
om  d  =  U. { c  e.  A  |  c  ~<_  b } }
3 unieq 3836 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( { c  e.  A  | 
c  ~<_  b }  =  (/) 
->  U. { c  e.  A  |  c  ~<_  b }  =  U. (/) )
4 uni0 3854 . . . . . . . . . . . 12  |-  U. (/)  =  (/)
53, 4syl6eq 2331 . . . . . . . . . . 11  |-  ( { c  e.  A  | 
c  ~<_  b }  =  (/) 
->  U. { c  e.  A  |  c  ~<_  b }  =  (/) )
65adantl 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( [ C.]  Or  A  /\  A  C_  Fin )  /\  b  e.  om )  /\  { c  e.  A  |  c  ~<_  b }  =  (/) )  ->  U. { c  e.  A  |  c  ~<_  b }  =  (/) )
7 0ex 4150 . . . . . . . . . . 11  |-  (/)  e.  _V
87elsnc2 3669 . . . . . . . . . 10  |-  ( U. { c  e.  A  |  c  ~<_  b }  e.  { (/) }  <->  U. { c  e.  A  |  c  ~<_  b }  =  (/) )
96, 8sylibr 203 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( [ C.]  Or  A  /\  A  C_  Fin )  /\  b  e.  om )  /\  { c  e.  A  |  c  ~<_  b }  =  (/) )  ->  U. { c  e.  A  |  c  ~<_  b }  e.  { (/) } )
109olcd 382 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( [ C.]  Or  A  /\  A  C_  Fin )  /\  b  e.  om )  /\  { c  e.  A  |  c  ~<_  b }  =  (/) )  -> 
( U. { c  e.  A  |  c  ~<_  b }  e.  A  \/  U. { c  e.  A  |  c  ~<_  b }  e.  { (/) } ) )
11 ssrab2 3258 . . . . . . . . . 10  |-  { c  e.  A  |  c  ~<_  b }  C_  A
12 simpr 447 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( [ C.]  Or  A  /\  A  C_  Fin )  /\  b  e.  om )  /\  { c  e.  A  |  c  ~<_  b }  =/=  (/) )  ->  { c  e.  A  |  c  ~<_  b }  =/=  (/) )
13 simplll 734 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( [ C.]  Or  A  /\  A  C_  Fin )  /\  b  e.  om )  /\  { c  e.  A  |  c  ~<_  b }  =/=  (/) )  -> [ C.]  Or  A )
14 simpllr 735 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( [ C.]  Or  A  /\  A  C_  Fin )  /\  b  e.  om )  /\  { c  e.  A  |  c  ~<_  b }  =/=  (/) )  ->  A  C_  Fin )
15 simplr 731 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( [ C.]  Or  A  /\  A  C_  Fin )  /\  b  e.  om )  /\  { c  e.  A  |  c  ~<_  b }  =/=  (/) )  -> 
b  e.  om )
16 fin1a2lem9 8034 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( [
C.]  Or  A  /\  A  C_  Fin  /\  b  e.  om )  ->  { c  e.  A  |  c  ~<_  b }  e.  Fin )
1713, 14, 15, 16syl3anc 1182 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( [ C.]  Or  A  /\  A  C_  Fin )  /\  b  e.  om )  /\  { c  e.  A  |  c  ~<_  b }  =/=  (/) )  ->  { c  e.  A  |  c  ~<_  b }  e.  Fin )
18 soss 4332 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( { c  e.  A  | 
c  ~<_  b }  C_  A  ->  ( [ C.]  Or  A  -> [ C.]  Or  { c  e.  A  |  c  ~<_  b } ) )
1911, 13, 18mpsyl 59 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( [ C.]  Or  A  /\  A  C_  Fin )  /\  b  e.  om )  /\  { c  e.  A  |  c  ~<_  b }  =/=  (/) )  -> [ C.]  Or  { c  e.  A  |  c  ~<_  b } )
20 fin1a2lem10 8035 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( { c  e.  A  |  c  ~<_  b }  =/=  (/)  /\  { c  e.  A  |  c  ~<_  b }  e.  Fin  /\ [
C.]  Or  { c  e.  A  |  c  ~<_  b } )  ->  U. {
c  e.  A  | 
c  ~<_  b }  e.  { c  e.  A  | 
c  ~<_  b } )
2112, 17, 19, 20syl3anc 1182 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( [ C.]  Or  A  /\  A  C_  Fin )  /\  b  e.  om )  /\  { c  e.  A  |  c  ~<_  b }  =/=  (/) )  ->  U. { c  e.  A  |  c  ~<_  b }  e.  { c  e.  A  |  c  ~<_  b }
)
2211, 21sseldi 3178 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( [ C.]  Or  A  /\  A  C_  Fin )  /\  b  e.  om )  /\  { c  e.  A  |  c  ~<_  b }  =/=  (/) )  ->  U. { c  e.  A  |  c  ~<_  b }  e.  A )
2322orcd 381 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( [ C.]  Or  A  /\  A  C_  Fin )  /\  b  e.  om )  /\  { c  e.  A  |  c  ~<_  b }  =/=  (/) )  -> 
( U. { c  e.  A  |  c  ~<_  b }  e.  A  \/  U. { c  e.  A  |  c  ~<_  b }  e.  { (/) } ) )
2410, 23pm2.61dane 2524 . . . . . . 7  |-  ( ( ( [ C.]  Or  A  /\  A  C_  Fin )  /\  b  e.  om )  ->  ( U. {
c  e.  A  | 
c  ~<_  b }  e.  A  \/  U. { c  e.  A  |  c  ~<_  b }  e.  { (/)
} ) )
25 eleq1 2343 . . . . . . . 8  |-  ( d  =  U. { c  e.  A  |  c  ~<_  b }  ->  (
d  e.  A  <->  U. { c  e.  A  |  c  ~<_  b }  e.  A
) )
26 eleq1 2343 . . . . . . . 8  |-  ( d  =  U. { c  e.  A  |  c  ~<_  b }  ->  (
d  e.  { (/) }  <->  U. { c  e.  A  |  c  ~<_  b }  e.  { (/) } ) )
2725, 26orbi12d 690 . . . . . . 7  |-  ( d  =  U. { c  e.  A  |  c  ~<_  b }  ->  (
( d  e.  A  \/  d  e.  { (/) } )  <->  ( U. {
c  e.  A  | 
c  ~<_  b }  e.  A  \/  U. { c  e.  A  |  c  ~<_  b }  e.  { (/)
} ) ) )
2824, 27syl5ibrcom 213 . . . . . 6  |-  ( ( ( [ C.]  Or  A  /\  A  C_  Fin )  /\  b  e.  om )  ->  ( d  = 
U. { c  e.  A  |  c  ~<_  b }  ->  ( d  e.  A  \/  d  e.  { (/) } ) ) )
2928rexlimdva 2667 . . . . 5  |-  ( ( [
C.]  Or  A  /\  A  C_  Fin )  -> 
( E. b  e. 
om  d  =  U. { c  e.  A  |  c  ~<_  b }  ->  ( d  e.  A  \/  d  e.  { (/) } ) ) )
30 simpr 447 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( [
C.]  Or  A  /\  A  C_  Fin )  ->  A  C_  Fin )
3130sselda 3180 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( [ C.]  Or  A  /\  A  C_  Fin )  /\  d  e.  A
)  ->  d  e.  Fin )
32 ficardom 7594 . . . . . . . . 9  |-  ( d  e.  Fin  ->  ( card `  d )  e. 
om )
3331, 32syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( [ C.]  Or  A  /\  A  C_  Fin )  /\  d  e.  A
)  ->  ( card `  d )  e.  om )
34 simpr 447 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( [ C.]  Or  A  /\  A  C_  Fin )  /\  d  e.  A
)  ->  d  e.  A )
35 ficardid 7595 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( d  e.  Fin  ->  ( card `  d )  ~~  d )
3631, 35syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( [ C.]  Or  A  /\  A  C_  Fin )  /\  d  e.  A
)  ->  ( card `  d )  ~~  d
)
37 ensym 6910 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
card `  d )  ~~  d  ->  d  ~~  ( card `  d )
)
38 endom 6888 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( d 
~~  ( card `  d
)  ->  d  ~<_  ( card `  d ) )
3936, 37, 383syl 18 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( [ C.]  Or  A  /\  A  C_  Fin )  /\  d  e.  A
)  ->  d  ~<_  ( card `  d ) )
40 breq1 4026 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( c  =  d  ->  (
c  ~<_  ( card `  d
)  <->  d  ~<_  ( card `  d ) ) )
4140elrab 2923 . . . . . . . . . . 11  |-  ( d  e.  { c  e.  A  |  c  ~<_  (
card `  d ) } 
<->  ( d  e.  A  /\  d  ~<_  ( card `  d ) ) )
4234, 39, 41sylanbrc 645 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( [ C.]  Or  A  /\  A  C_  Fin )  /\  d  e.  A
)  ->  d  e.  { c  e.  A  | 
c  ~<_  ( card `  d
) } )
43 elssuni 3855 . . . . . . . . . 10  |-  ( d  e.  { c  e.  A  |  c  ~<_  (
card `  d ) }  ->  d  C_  U. {
c  e.  A  | 
c  ~<_  ( card `  d
) } )
4442, 43syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( [ C.]  Or  A  /\  A  C_  Fin )  /\  d  e.  A
)  ->  d  C_  U. { c  e.  A  |  c  ~<_  ( card `  d ) } )
45 breq1 4026 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( c  =  b  ->  (
c  ~<_  ( card `  d
)  <->  b  ~<_  ( card `  d ) ) )
4645elrab 2923 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( b  e.  { c  e.  A  |  c  ~<_  (
card `  d ) } 
<->  ( b  e.  A  /\  b  ~<_  ( card `  d ) ) )
47 simprr 733 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( [ C.]  Or  A  /\  A  C_  Fin )  /\  d  e.  A
)  /\  ( b  e.  A  /\  b  ~<_  ( card `  d )
) )  ->  b  ~<_  ( card `  d )
)
4836adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( [ C.]  Or  A  /\  A  C_  Fin )  /\  d  e.  A
)  /\  ( b  e.  A  /\  b  ~<_  ( card `  d )
) )  ->  ( card `  d )  ~~  d )
49 domentr 6920 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( b  ~<_  ( card `  d
)  /\  ( card `  d )  ~~  d
)  ->  b  ~<_  d )
5047, 48, 49syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( [ C.]  Or  A  /\  A  C_  Fin )  /\  d  e.  A
)  /\  ( b  e.  A  /\  b  ~<_  ( card `  d )
) )  ->  b  ~<_  d )
51 simpllr 735 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( [ C.]  Or  A  /\  A  C_  Fin )  /\  d  e.  A
)  /\  ( b  e.  A  /\  b  ~<_  ( card `  d )
) )  ->  A  C_ 
Fin )
52 simprl 732 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( [ C.]  Or  A  /\  A  C_  Fin )  /\  d  e.  A
)  /\  ( b  e.  A  /\  b  ~<_  ( card `  d )
) )  ->  b  e.  A )
5351, 52sseldd 3181 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( [ C.]  Or  A  /\  A  C_  Fin )  /\  d  e.  A
)  /\  ( b  e.  A  /\  b  ~<_  ( card `  d )
) )  ->  b  e.  Fin )
5431adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( [ C.]  Or  A  /\  A  C_  Fin )  /\  d  e.  A
)  /\  ( b  e.  A  /\  b  ~<_  ( card `  d )
) )  ->  d  e.  Fin )
55 simplll 734 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( [ C.]  Or  A  /\  A  C_  Fin )  /\  d  e.  A
)  /\  ( b  e.  A  /\  b  ~<_  ( card `  d )
) )  -> [ C.]  Or  A )
56 simplr 731 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( [ C.]  Or  A  /\  A  C_  Fin )  /\  d  e.  A
)  /\  ( b  e.  A  /\  b  ~<_  ( card `  d )
) )  ->  d  e.  A )
57 sorpssi 6283 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( [
C.]  Or  A  /\  ( b  e.  A  /\  d  e.  A
) )  ->  (
b  C_  d  \/  d  C_  b ) )
5855, 52, 56, 57syl12anc 1180 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( [ C.]  Or  A  /\  A  C_  Fin )  /\  d  e.  A
)  /\  ( b  e.  A  /\  b  ~<_  ( card `  d )
) )  ->  (
b  C_  d  \/  d  C_  b ) )
59 fincssdom 7949 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( b  e.  Fin  /\  d  e.  Fin  /\  (
b  C_  d  \/  d  C_  b ) )  ->  ( b  ~<_  d  <-> 
b  C_  d )
)
6053, 54, 58, 59syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( [ C.]  Or  A  /\  A  C_  Fin )  /\  d  e.  A
)  /\  ( b  e.  A  /\  b  ~<_  ( card `  d )
) )  ->  (
b  ~<_  d  <->  b  C_  d ) )
6150, 60mpbid 201 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( [ C.]  Or  A  /\  A  C_  Fin )  /\  d  e.  A
)  /\  ( b  e.  A  /\  b  ~<_  ( card `  d )
) )  ->  b  C_  d )
6261ex 423 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( [ C.]  Or  A  /\  A  C_  Fin )  /\  d  e.  A
)  ->  ( (
b  e.  A  /\  b  ~<_  ( card `  d
) )  ->  b  C_  d ) )
6346, 62syl5bi 208 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( [ C.]  Or  A  /\  A  C_  Fin )  /\  d  e.  A
)  ->  ( b  e.  { c  e.  A  |  c  ~<_  ( card `  d ) }  ->  b 
C_  d ) )
6463ralrimiv 2625 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( [ C.]  Or  A  /\  A  C_  Fin )  /\  d  e.  A
)  ->  A. b  e.  { c  e.  A  |  c  ~<_  ( card `  d ) } b 
C_  d )
65 unissb 3857 . . . . . . . . . 10  |-  ( U. { c  e.  A  |  c  ~<_  ( card `  d ) }  C_  d 
<-> 
A. b  e.  {
c  e.  A  | 
c  ~<_  ( card `  d
) } b  C_  d )
6664, 65sylibr 203 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( [ C.]  Or  A  /\  A  C_  Fin )  /\  d  e.  A
)  ->  U. { c  e.  A  |  c  ~<_  ( card `  d
) }  C_  d
)
6744, 66eqssd 3196 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( [ C.]  Or  A  /\  A  C_  Fin )  /\  d  e.  A
)  ->  d  =  U. { c  e.  A  |  c  ~<_  ( card `  d ) } )
68 breq2 4027 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( b  =  ( card `  d
)  ->  ( c  ~<_  b 
<->  c  ~<_  ( card `  d
) ) )
6968rabbidv 2780 . . . . . . . . . . 11  |-  ( b  =  ( card `  d
)  ->  { c  e.  A  |  c  ~<_  b }  =  {
c  e.  A  | 
c  ~<_  ( card `  d
) } )
7069unieqd 3838 . . . . . . . . . 10  |-  ( b  =  ( card `  d
)  ->  U. { c  e.  A  |  c  ~<_  b }  =  U. { c  e.  A  |  c  ~<_  ( card `  d ) } )
7170eqeq2d 2294 . . . . . . . . 9  |-  ( b  =  ( card `  d
)  ->  ( d  =  U. { c  e.  A  |  c  ~<_  b }  <->  d  =  U. { c  e.  A  |  c  ~<_  ( card `  d ) } ) )
7271rspcev 2884 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( card `  d
)  e.  om  /\  d  =  U. { c  e.  A  |  c  ~<_  ( card `  d
) } )  ->  E. b  e.  om  d  =  U. { c  e.  A  |  c  ~<_  b } )
7333, 67, 72syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ( ( [ C.]  Or  A  /\  A  C_  Fin )  /\  d  e.  A
)  ->  E. b  e.  om  d  =  U. { c  e.  A  |  c  ~<_  b }
)
7473ex 423 . . . . . 6  |-  ( ( [
C.]  Or  A  /\  A  C_  Fin )  -> 
( d  e.  A  ->  E. b  e.  om  d  =  U. { c  e.  A  |  c  ~<_  b } ) )
75 elsn 3655 . . . . . . 7  |-  ( d  e.  { (/) }  <->  d  =  (/) )
76 peano1 4675 . . . . . . . . 9  |-  (/)  e.  om
77 dom0 6989 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( b  ~<_  (/) 
<->  b  =  (/) )
7877biimpi 186 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( b  ~<_  (/)  ->  b  =  (/) )
7978adantl 452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( b  e.  A  /\  b  ~<_  (/) )  ->  b  =  (/) )
8079a1i 10 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( [
C.]  Or  A  /\  A  C_  Fin )  -> 
( ( b  e.  A  /\  b  ~<_  (/) )  ->  b  =  (/) ) )
81 breq1 4026 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( c  =  b  ->  (
c  ~<_  (/)  <->  b  ~<_  (/) ) )
8281elrab 2923 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( b  e.  { c  e.  A  |  c  ~<_  (/) }  <-> 
( b  e.  A  /\  b  ~<_  (/) ) )
83 elsn 3655 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( b  e.  { (/) }  <->  b  =  (/) )
8480, 82, 833imtr4g 261 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( [
C.]  Or  A  /\  A  C_  Fin )  -> 
( b  e.  {
c  e.  A  | 
c  ~<_  (/) }  ->  b  e.  { (/) } ) )
8584ssrdv 3185 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( [
C.]  Or  A  /\  A  C_  Fin )  ->  { c  e.  A  |  c  ~<_  (/) }  C_  {
(/) } )
86 uni0b 3852 . . . . . . . . . . 11  |-  ( U. { c  e.  A  |  c  ~<_  (/) }  =  (/)  <->  { c  e.  A  | 
c  ~<_  (/) }  C_  { (/) } )
8785, 86sylibr 203 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( [
C.]  Or  A  /\  A  C_  Fin )  ->  U. { c  e.  A  |  c  ~<_  (/) }  =  (/) )
8887eqcomd 2288 . . . . . . . . 9  |-  ( ( [
C.]  Or  A  /\  A  C_  Fin )  ->  (/)  =  U. { c  e.  A  |  c  ~<_  (/) } )
89 breq2 4027 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( b  =  (/)  ->  ( c  ~<_  b  <->  c  ~<_  (/) ) )
9089rabbidv 2780 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( b  =  (/)  ->  { c  e.  A  |  c  ~<_  b }  =  {
c  e.  A  | 
c  ~<_  (/) } )
9190unieqd 3838 . . . . . . . . . . 11  |-  ( b  =  (/)  ->  U. {
c  e.  A  | 
c  ~<_  b }  =  U. { c  e.  A  |  c  ~<_  (/) } )
9291eqeq2d 2294 . . . . . . . . . 10  |-  ( b  =  (/)  ->  ( (/)  =  U. { c  e.  A  |  c  ~<_  b }  <->  (/)  =  U. {
c  e.  A  | 
c  ~<_  (/) } ) )
9392rspcev 2884 . . . . . . . . 9  |-  ( (
(/)  e.  om  /\  (/)  =  U. { c  e.  A  |  c  ~<_  (/) } )  ->  E. b  e.  om  (/)  =  U. { c  e.  A  |  c  ~<_  b } )
9476, 88, 93sylancr 644 . . . . . . . 8  |-  ( ( [
C.]  Or  A  /\  A  C_  Fin )  ->  E. b  e.  om  (/)  =  U. { c  e.  A  |  c  ~<_  b } )
95 eqeq1 2289 . . . . . . . . 9  |-  ( d  =  (/)  ->  ( d  =  U. { c  e.  A  |  c  ~<_  b }  <->  (/)  =  U. { c  e.  A  |  c  ~<_  b }
) )
9695rexbidv 2564 . . . . . . . 8  |-  ( d  =  (/)  ->  ( E. b  e.  om  d  =  U. { c  e.  A  |  c  ~<_  b }  <->  E. b  e.  om  (/)  =  U. { c  e.  A  |  c  ~<_  b } ) )
9794, 96syl5ibrcom 213 . . . . . . 7  |-  ( ( [
C.]  Or  A  /\  A  C_  Fin )  -> 
( d  =  (/)  ->  E. b  e.  om  d  =  U. { c  e.  A  |  c  ~<_  b } ) )
9875, 97syl5bi 208 . . . . . 6  |-  ( ( [
C.]  Or  A  /\  A  C_  Fin )  -> 
( d  e.  { (/)
}  ->  E. b  e.  om  d  =  U. { c  e.  A  |  c  ~<_  b }
) )
9974, 98jaod 369 . . . . 5  |-  ( ( [
C.]  Or  A  /\  A  C_  Fin )  -> 
( ( d  e.  A  \/  d  e. 
{ (/) } )  ->  E. b  e.  om  d  =  U. { c  e.  A  |  c  ~<_  b } ) )
10029, 99impbid 183 . . . 4  |-  ( ( [
C.]  Or  A  /\  A  C_  Fin )  -> 
( E. b  e. 
om  d  =  U. { c  e.  A  |  c  ~<_  b }  <->  ( d  e.  A  \/  d  e.  { (/) } ) ) )
101 elun 3316 . . . 4  |-  ( d  e.  ( A  u.  {
(/) } )  <->  ( d  e.  A  \/  d  e.  { (/) } ) )
102100, 101syl6bbr 254 . . 3  |-  ( ( [
C.]  Or  A  /\  A  C_  Fin )  -> 
( E. b  e. 
om  d  =  U. { c  e.  A  |  c  ~<_  b }  <->  d  e.  ( A  u.  {
(/) } ) ) )
103102abbi1dv 2399 . 2  |-  ( ( [
C.]  Or  A  /\  A  C_  Fin )  ->  { d  |  E. b  e.  om  d  =  U. { c  e.  A  |  c  ~<_  b } }  =  ( A  u.  { (/) } ) )
1042, 103syl5eq 2327 1  |-  ( ( [
C.]  Or  A  /\  A  C_  Fin )  ->  ran  ( b  e.  om  |->  U. { c  e.  A  |  c  ~<_  b }
)  =  ( A  u.  { (/) } ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    \/ wo 357    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   {cab 2269    =/= wne 2446   A.wral 2543   E.wrex 2544   {crab 2547    u. cun 3150    C_ wss 3152   (/)c0 3455   {csn 3640   U.cuni 3827   class class class wbr 4023    e. cmpt 4077    Or wor 4313   omcom 4656   ran crn 4690   ` cfv 5255   [ C.] crpss 6276    ~~ cen 6860    ~<_ cdom 6861   Fincfn 6863   cardccrd 7568
This theorem is referenced by:  fin1a2lem12  8037
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-rpss 6277  df-1o 6479  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-card 7572
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