Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fin1a2lem12 Unicode version

Theorem fin1a2lem12 8053
 Description: Lemma for fin1a2 8057. (Contributed by Stefan O'Rear, 8-Nov-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 17-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
fin1a2lem12 [] FinIII

Proof of Theorem fin1a2lem12
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 447 . . 3 [] FinIII FinIII
2 simpll1 994 . . . . . . 7 [] FinIII
32adantr 451 . . . . . 6 [] FinIII
4 ssrab2 3271 . . . . . . . 8
5 uniss 3864 . . . . . . . 8
64, 5ax-mp 8 . . . . . . 7
7 sspwuni 4003 . . . . . . . 8
87biimpi 186 . . . . . . 7
96, 8syl5ss 3203 . . . . . 6
103, 9syl 15 . . . . 5 [] FinIII
11 elpw2g 4190 . . . . . 6 FinIII
1211ad2antlr 707 . . . . 5 [] FinIII
1310, 12mpbird 223 . . . 4 [] FinIII
14 eqid 2296 . . . 4
1513, 14fmptd 5700 . . 3 [] FinIII
16 vex 2804 . . . . . . . . . . 11
1716sucex 4618 . . . . . . . . . 10
18 sssucid 4485 . . . . . . . . . 10
19 ssdomg 6923 . . . . . . . . . 10
2017, 18, 19mp2 17 . . . . . . . . 9
21 domtr 6930 . . . . . . . . 9
2220, 21mpan2 652 . . . . . . . 8
2322a1i 10 . . . . . . 7
2423ss2rabi 3268 . . . . . 6
25 uniss 3864 . . . . . 6
2624, 25mp1i 11 . . . . 5 [] FinIII
27 id 19 . . . . . 6
28 pwexg 4210 . . . . . . . . 9 FinIII
2928adantl 452 . . . . . . . 8 [] FinIII
30 ssexg 4176 . . . . . . . 8
312, 29, 30syl2anc 642 . . . . . . 7 [] FinIII
32 rabexg 4180 . . . . . . 7
33 uniexg 4533 . . . . . . 7
3431, 32, 333syl 18 . . . . . 6 [] FinIII
35 breq2 4043 . . . . . . . . 9
3635rabbidv 2793 . . . . . . . 8
3736unieqd 3854 . . . . . . 7
3837, 14fvmptg 5616 . . . . . 6
3927, 34, 38syl2anr 464 . . . . 5 [] FinIII
40 peano2 4692 . . . . . 6
41 rabexg 4180 . . . . . . 7
42 uniexg 4533 . . . . . . 7
4331, 41, 423syl 18 . . . . . 6 [] FinIII
44 breq2 4043 . . . . . . . . 9
4544rabbidv 2793 . . . . . . . 8
4645unieqd 3854 . . . . . . 7
4746, 14fvmptg 5616 . . . . . 6
4840, 43, 47syl2anr 464 . . . . 5 [] FinIII
4926, 39, 483sstr4d 3234 . . . 4 [] FinIII
5049ralrimiva 2639 . . 3 [] FinIII
51 fin34i 8023 . . 3 FinIII
521, 15, 50, 51syl3anc 1182 . 2 [] FinIII
53 fin1a2lem11 8052 . . . . . 6 []
5453adantrr 697 . . . . 5 []
55543ad2antl2 1118 . . . 4 []
5655adantr 451 . . 3 [] FinIII
57 simpll3 996 . . . . . 6 [] FinIII
58 simplrr 737 . . . . . . 7 [] FinIII
59 sspwuni 4003 . . . . . . . . . . 11
60 ss0b 3497 . . . . . . . . . . 11
6159, 60bitri 240 . . . . . . . . . 10
62 pw0 3778 . . . . . . . . . . . . 13
6362sseq2i 3216 . . . . . . . . . . . 12
64 sssn 3788 . . . . . . . . . . . 12
6563, 64bitri 240 . . . . . . . . . . 11
66 df-ne 2461 . . . . . . . . . . . 12
67 0ex 4166 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
6867unisn 3859 . . . . . . . . . . . . . . . 16
6967snid 3680 . . . . . . . . . . . . . . . 16
7068, 69eqeltri 2366 . . . . . . . . . . . . . . 15
71 unieq 3852 . . . . . . . . . . . . . . . 16
72 id 19 . . . . . . . . . . . . . . . 16
7371, 72eleq12d 2364 . . . . . . . . . . . . . . 15
7470, 73mpbiri 224 . . . . . . . . . . . . . 14
7574orim2i 504 . . . . . . . . . . . . 13
7675ord 366 . . . . . . . . . . . 12
7766, 76syl5bi 208 . . . . . . . . . . 11
7865, 77sylbi 187 . . . . . . . . . 10
7961, 78sylbir 204 . . . . . . . . 9
8079com12 27 . . . . . . . 8
8180con3d 125 . . . . . . 7
8258, 57, 81sylc 56 . . . . . 6 [] FinIII
83 ioran 476 . . . . . 6
8457, 82, 83sylanbrc 645 . . . . 5 [] FinIII
85 uniun 3862 . . . . . . . 8
8668uneq2i 3339 . . . . . . . 8
87 un0 3492 . . . . . . . 8
8885, 86, 873eqtri 2320 . . . . . . 7
8988eleq1i 2359 . . . . . 6
90 elun 3329 . . . . . 6
9167elsnc2 3682 . . . . . . 7
9291orbi2i 505 . . . . . 6
9389, 90, 923bitri 262 . . . . 5
9484, 93sylnibr 296 . . . 4 [] FinIII
95 unieq 3852 . . . . . 6
96 id 19 . . . . . 6
9795, 96eleq12d 2364 . . . . 5
9897notbid 285 . . . 4
9994, 98syl5ibrcom 213 . . 3 [] FinIII
10056, 99mpd 14 . 2 [] FinIII
10152, 100pm2.65da 559 1 [] FinIII
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 176   wo 357   wa 358   w3a 934   wceq 1632   wcel 1696   wne 2459  wral 2556  crab 2560  cvv 2801   cun 3163   wss 3165  c0 3468  cpw 3638  csn 3653  cuni 3843   class class class wbr 4039   cmpt 4093   wor 4329   csuc 4410  com 4672   crn 4706  wf 5267  cfv 5271   [] crpss 6292   cdom 6877  cfn 6879  FinIIIcfin3 7923 This theorem is referenced by:  fin1a2s  8056 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-rpss 6293  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-wdom 7289  df-card 7588  df-fin4 7929  df-fin3 7930
 Copyright terms: Public domain W3C validator