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Theorem fin1a2lem12 8037
Description: Lemma for fin1a2 8041. (Contributed by Stefan O'Rear, 8-Nov-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 17-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
fin1a2lem12  |-  ( ( ( A  C_  ~P B  /\ [ C.]  Or  A  /\  -.  U. A  e.  A )  /\  ( A  C_  Fin  /\  A  =/=  (/) ) )  ->  -.  B  e. FinIII )

Proof of Theorem fin1a2lem12
Dummy variables  d 
e  f are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 447 . . 3  |-  ( ( ( ( A  C_  ~P B  /\ [ C.]  Or  A  /\  -.  U. A  e.  A )  /\  ( A  C_  Fin  /\  A  =/=  (/) ) )  /\  B  e. FinIII )  ->  B  e. FinIII )
2 simpll1 994 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  C_  ~P B  /\ [ C.]  Or  A  /\  -.  U. A  e.  A )  /\  ( A  C_  Fin  /\  A  =/=  (/) ) )  /\  B  e. FinIII )  ->  A  C_ 
~P B )
32adantr 451 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( A 
C_  ~P B  /\ [ C.]  Or  A  /\  -.  U. A  e.  A )  /\  ( A  C_  Fin  /\  A  =/=  (/) ) )  /\  B  e. FinIII )  /\  e  e.  om )  ->  A  C_  ~P B
)
4 ssrab2 3258 . . . . . . . 8  |-  { f  e.  A  |  f  ~<_  e }  C_  A
5 uniss 3848 . . . . . . . 8  |-  ( { f  e.  A  | 
f  ~<_  e }  C_  A  ->  U. { f  e.  A  |  f  ~<_  e }  C_  U. A )
64, 5ax-mp 8 . . . . . . 7  |-  U. {
f  e.  A  | 
f  ~<_  e }  C_  U. A
7 sspwuni 3987 . . . . . . . 8  |-  ( A 
C_  ~P B  <->  U. A  C_  B )
87biimpi 186 . . . . . . 7  |-  ( A 
C_  ~P B  ->  U. A  C_  B )
96, 8syl5ss 3190 . . . . . 6  |-  ( A 
C_  ~P B  ->  U. {
f  e.  A  | 
f  ~<_  e }  C_  B )
103, 9syl 15 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( A 
C_  ~P B  /\ [ C.]  Or  A  /\  -.  U. A  e.  A )  /\  ( A  C_  Fin  /\  A  =/=  (/) ) )  /\  B  e. FinIII )  /\  e  e.  om )  ->  U. { f  e.  A  |  f  ~<_  e }  C_  B )
11 elpw2g 4174 . . . . . 6  |-  ( B  e. FinIII  ->  ( U. {
f  e.  A  | 
f  ~<_  e }  e.  ~P B  <->  U. { f  e.  A  |  f  ~<_  e }  C_  B )
)
1211ad2antlr 707 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( A 
C_  ~P B  /\ [ C.]  Or  A  /\  -.  U. A  e.  A )  /\  ( A  C_  Fin  /\  A  =/=  (/) ) )  /\  B  e. FinIII )  /\  e  e.  om )  ->  ( U. { f  e.  A  |  f  ~<_  e }  e.  ~P B 
<-> 
U. { f  e.  A  |  f  ~<_  e }  C_  B )
)
1310, 12mpbird 223 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( A 
C_  ~P B  /\ [ C.]  Or  A  /\  -.  U. A  e.  A )  /\  ( A  C_  Fin  /\  A  =/=  (/) ) )  /\  B  e. FinIII )  /\  e  e.  om )  ->  U. { f  e.  A  |  f  ~<_  e }  e.  ~P B
)
14 eqid 2283 . . . 4  |-  ( e  e.  om  |->  U. {
f  e.  A  | 
f  ~<_  e } )  =  ( e  e. 
om  |->  U. { f  e.  A  |  f  ~<_  e } )
1513, 14fmptd 5684 . . 3  |-  ( ( ( ( A  C_  ~P B  /\ [ C.]  Or  A  /\  -.  U. A  e.  A )  /\  ( A  C_  Fin  /\  A  =/=  (/) ) )  /\  B  e. FinIII )  ->  (
e  e.  om  |->  U. { f  e.  A  |  f  ~<_  e }
) : om --> ~P B
)
16 vex 2791 . . . . . . . . . . 11  |-  d  e. 
_V
1716sucex 4602 . . . . . . . . . 10  |-  suc  d  e.  _V
18 sssucid 4469 . . . . . . . . . 10  |-  d  C_  suc  d
19 ssdomg 6907 . . . . . . . . . 10  |-  ( suc  d  e.  _V  ->  ( d  C_  suc  d  -> 
d  ~<_  suc  d )
)
2017, 18, 19mp2 17 . . . . . . . . 9  |-  d  ~<_  suc  d
21 domtr 6914 . . . . . . . . 9  |-  ( ( f  ~<_  d  /\  d  ~<_  suc  d )  ->  f  ~<_  suc  d )
2220, 21mpan2 652 . . . . . . . 8  |-  ( f  ~<_  d  ->  f  ~<_  suc  d
)
2322a1i 10 . . . . . . 7  |-  ( f  e.  A  ->  (
f  ~<_  d  ->  f  ~<_  suc  d ) )
2423ss2rabi 3255 . . . . . 6  |-  { f  e.  A  |  f  ~<_  d }  C_  { f  e.  A  |  f  ~<_  suc  d }
25 uniss 3848 . . . . . 6  |-  ( { f  e.  A  | 
f  ~<_  d }  C_  { f  e.  A  | 
f  ~<_  suc  d }  ->  U. { f  e.  A  |  f  ~<_  d }  C_  U. { f  e.  A  |  f  ~<_  suc  d } )
2624, 25mp1i 11 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( A 
C_  ~P B  /\ [ C.]  Or  A  /\  -.  U. A  e.  A )  /\  ( A  C_  Fin  /\  A  =/=  (/) ) )  /\  B  e. FinIII )  /\  d  e.  om )  ->  U. { f  e.  A  |  f  ~<_  d }  C_  U. { f  e.  A  |  f  ~<_  suc  d } )
27 id 19 . . . . . 6  |-  ( d  e.  om  ->  d  e.  om )
28 pwexg 4194 . . . . . . . . 9  |-  ( B  e. FinIII  ->  ~P B  e. 
_V )
2928adantl 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  C_  ~P B  /\ [ C.]  Or  A  /\  -.  U. A  e.  A )  /\  ( A  C_  Fin  /\  A  =/=  (/) ) )  /\  B  e. FinIII )  ->  ~P B  e.  _V )
30 ssexg 4160 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  C_  ~P B  /\  ~P B  e.  _V )  ->  A  e.  _V )
312, 29, 30syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  C_  ~P B  /\ [ C.]  Or  A  /\  -.  U. A  e.  A )  /\  ( A  C_  Fin  /\  A  =/=  (/) ) )  /\  B  e. FinIII )  ->  A  e.  _V )
32 rabexg 4164 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  _V  ->  { f  e.  A  |  f  ~<_  d }  e.  _V )
33 uniexg 4517 . . . . . . 7  |-  ( { f  e.  A  | 
f  ~<_  d }  e.  _V  ->  U. { f  e.  A  |  f  ~<_  d }  e.  _V )
3431, 32, 333syl 18 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  C_  ~P B  /\ [ C.]  Or  A  /\  -.  U. A  e.  A )  /\  ( A  C_  Fin  /\  A  =/=  (/) ) )  /\  B  e. FinIII )  ->  U. {
f  e.  A  | 
f  ~<_  d }  e.  _V )
35 breq2 4027 . . . . . . . . 9  |-  ( e  =  d  ->  (
f  ~<_  e  <->  f  ~<_  d ) )
3635rabbidv 2780 . . . . . . . 8  |-  ( e  =  d  ->  { f  e.  A  |  f  ~<_  e }  =  {
f  e.  A  | 
f  ~<_  d } )
3736unieqd 3838 . . . . . . 7  |-  ( e  =  d  ->  U. {
f  e.  A  | 
f  ~<_  e }  =  U. { f  e.  A  |  f  ~<_  d }
)
3837, 14fvmptg 5600 . . . . . 6  |-  ( ( d  e.  om  /\  U. { f  e.  A  |  f  ~<_  d }  e.  _V )  ->  (
( e  e.  om  |->  U. { f  e.  A  |  f  ~<_  e }
) `  d )  =  U. { f  e.  A  |  f  ~<_  d } )
3927, 34, 38syl2anr 464 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( A 
C_  ~P B  /\ [ C.]  Or  A  /\  -.  U. A  e.  A )  /\  ( A  C_  Fin  /\  A  =/=  (/) ) )  /\  B  e. FinIII )  /\  d  e.  om )  ->  ( ( e  e. 
om  |->  U. { f  e.  A  |  f  ~<_  e } ) `  d
)  =  U. {
f  e.  A  | 
f  ~<_  d } )
40 peano2 4676 . . . . . 6  |-  ( d  e.  om  ->  suc  d  e.  om )
41 rabexg 4164 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  _V  ->  { f  e.  A  |  f  ~<_  suc  d }  e.  _V )
42 uniexg 4517 . . . . . . 7  |-  ( { f  e.  A  | 
f  ~<_  suc  d }  e.  _V  ->  U. { f  e.  A  |  f  ~<_  suc  d }  e.  _V )
4331, 41, 423syl 18 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  C_  ~P B  /\ [ C.]  Or  A  /\  -.  U. A  e.  A )  /\  ( A  C_  Fin  /\  A  =/=  (/) ) )  /\  B  e. FinIII )  ->  U. {
f  e.  A  | 
f  ~<_  suc  d }  e.  _V )
44 breq2 4027 . . . . . . . . 9  |-  ( e  =  suc  d  -> 
( f  ~<_  e  <->  f  ~<_  suc  d
) )
4544rabbidv 2780 . . . . . . . 8  |-  ( e  =  suc  d  ->  { f  e.  A  |  f  ~<_  e }  =  { f  e.  A  |  f  ~<_  suc  d } )
4645unieqd 3838 . . . . . . 7  |-  ( e  =  suc  d  ->  U. { f  e.  A  |  f  ~<_  e }  =  U. { f  e.  A  |  f  ~<_  suc  d } )
4746, 14fvmptg 5600 . . . . . 6  |-  ( ( suc  d  e.  om  /\ 
U. { f  e.  A  |  f  ~<_  suc  d }  e.  _V )  ->  ( ( e  e.  om  |->  U. {
f  e.  A  | 
f  ~<_  e } ) `
 suc  d )  =  U. { f  e.  A  |  f  ~<_  suc  d } )
4840, 43, 47syl2anr 464 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( A 
C_  ~P B  /\ [ C.]  Or  A  /\  -.  U. A  e.  A )  /\  ( A  C_  Fin  /\  A  =/=  (/) ) )  /\  B  e. FinIII )  /\  d  e.  om )  ->  ( ( e  e. 
om  |->  U. { f  e.  A  |  f  ~<_  e } ) `  suc  d )  =  U. { f  e.  A  |  f  ~<_  suc  d } )
4926, 39, 483sstr4d 3221 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( A 
C_  ~P B  /\ [ C.]  Or  A  /\  -.  U. A  e.  A )  /\  ( A  C_  Fin  /\  A  =/=  (/) ) )  /\  B  e. FinIII )  /\  d  e.  om )  ->  ( ( e  e. 
om  |->  U. { f  e.  A  |  f  ~<_  e } ) `  d
)  C_  ( (
e  e.  om  |->  U. { f  e.  A  |  f  ~<_  e }
) `  suc  d ) )
5049ralrimiva 2626 . . 3  |-  ( ( ( ( A  C_  ~P B  /\ [ C.]  Or  A  /\  -.  U. A  e.  A )  /\  ( A  C_  Fin  /\  A  =/=  (/) ) )  /\  B  e. FinIII )  ->  A. d  e.  om  ( ( e  e.  om  |->  U. {
f  e.  A  | 
f  ~<_  e } ) `
 d )  C_  ( ( e  e. 
om  |->  U. { f  e.  A  |  f  ~<_  e } ) `  suc  d ) )
51 fin34i 8007 . . 3  |-  ( ( B  e. FinIII  /\  ( e  e.  om  |->  U. { f  e.  A  |  f  ~<_  e } ) : om --> ~P B  /\  A. d  e.  om  ( ( e  e.  om  |->  U. {
f  e.  A  | 
f  ~<_  e } ) `
 d )  C_  ( ( e  e. 
om  |->  U. { f  e.  A  |  f  ~<_  e } ) `  suc  d ) )  ->  U. ran  ( e  e. 
om  |->  U. { f  e.  A  |  f  ~<_  e } )  e.  ran  ( e  e.  om  |->  U. { f  e.  A  |  f  ~<_  e }
) )
521, 15, 50, 51syl3anc 1182 . 2  |-  ( ( ( ( A  C_  ~P B  /\ [ C.]  Or  A  /\  -.  U. A  e.  A )  /\  ( A  C_  Fin  /\  A  =/=  (/) ) )  /\  B  e. FinIII )  ->  U. ran  ( e  e.  om  |->  U. { f  e.  A  |  f  ~<_  e }
)  e.  ran  (
e  e.  om  |->  U. { f  e.  A  |  f  ~<_  e }
) )
53 fin1a2lem11 8036 . . . . . 6  |-  ( ( [
C.]  Or  A  /\  A  C_  Fin )  ->  ran  ( e  e.  om  |->  U. { f  e.  A  |  f  ~<_  e }
)  =  ( A  u.  { (/) } ) )
5453adantrr 697 . . . . 5  |-  ( ( [
C.]  Or  A  /\  ( A  C_  Fin  /\  A  =/=  (/) ) )  ->  ran  ( e  e.  om  |->  U. { f  e.  A  |  f  ~<_  e }
)  =  ( A  u.  { (/) } ) )
55543ad2antl2 1118 . . . 4  |-  ( ( ( A  C_  ~P B  /\ [ C.]  Or  A  /\  -.  U. A  e.  A )  /\  ( A  C_  Fin  /\  A  =/=  (/) ) )  ->  ran  ( e  e.  om  |->  U. { f  e.  A  |  f  ~<_  e }
)  =  ( A  u.  { (/) } ) )
5655adantr 451 . . 3  |-  ( ( ( ( A  C_  ~P B  /\ [ C.]  Or  A  /\  -.  U. A  e.  A )  /\  ( A  C_  Fin  /\  A  =/=  (/) ) )  /\  B  e. FinIII )  ->  ran  ( e  e.  om  |->  U. { f  e.  A  |  f  ~<_  e }
)  =  ( A  u.  { (/) } ) )
57 simpll3 996 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  C_  ~P B  /\ [ C.]  Or  A  /\  -.  U. A  e.  A )  /\  ( A  C_  Fin  /\  A  =/=  (/) ) )  /\  B  e. FinIII )  ->  -.  U. A  e.  A )
58 simplrr 737 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  C_  ~P B  /\ [ C.]  Or  A  /\  -.  U. A  e.  A )  /\  ( A  C_  Fin  /\  A  =/=  (/) ) )  /\  B  e. FinIII )  ->  A  =/=  (/) )
59 sspwuni 3987 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A 
C_  ~P (/)  <->  U. A  C_  (/) )
60 ss0b 3484 . . . . . . . . . . 11  |-  ( U. A  C_  (/)  <->  U. A  =  (/) )
6159, 60bitri 240 . . . . . . . . . 10  |-  ( A 
C_  ~P (/)  <->  U. A  =  (/) )
62 pw0 3762 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ~P (/)  =  { (/)
}
6362sseq2i 3203 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A 
C_  ~P (/)  <->  A  C_  { (/) } )
64 sssn 3772 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A 
C_  { (/) }  <->  ( A  =  (/)  \/  A  =  { (/) } ) )
6563, 64bitri 240 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A 
C_  ~P (/)  <->  ( A  =  (/)  \/  A  =  { (/)
} ) )
66 df-ne 2448 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  =/=  (/)  <->  -.  A  =  (/) )
67 0ex 4150 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  (/)  e.  _V
6867unisn 3843 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  U. { (/)
}  =  (/)
6967snid 3667 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  (/)  e.  { (/)
}
7068, 69eqeltri 2353 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  U. { (/)
}  e.  { (/) }
71 unieq 3836 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A  =  { (/) }  ->  U. A  =  U. { (/)
} )
72 id 19 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A  =  { (/) }  ->  A  =  { (/) } )
7371, 72eleq12d 2351 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A  =  { (/) }  ->  ( U. A  e.  A  <->  U. { (/) }  e.  { (/)
} ) )
7470, 73mpbiri 224 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  =  { (/) }  ->  U. A  e.  A )
7574orim2i 504 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  =  (/)  \/  A  =  { (/) } )  -> 
( A  =  (/)  \/ 
U. A  e.  A
) )
7675ord 366 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  =  (/)  \/  A  =  { (/) } )  -> 
( -.  A  =  (/)  ->  U. A  e.  A
) )
7766, 76syl5bi 208 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  =  (/)  \/  A  =  { (/) } )  -> 
( A  =/=  (/)  ->  U. A  e.  A ) )
7865, 77sylbi 187 . . . . . . . . . 10  |-  ( A 
C_  ~P (/)  ->  ( A  =/=  (/)  ->  U. A  e.  A ) )
7961, 78sylbir 204 . . . . . . . . 9  |-  ( U. A  =  (/)  ->  ( A  =/=  (/)  ->  U. A  e.  A ) )
8079com12 27 . . . . . . . 8  |-  ( A  =/=  (/)  ->  ( U. A  =  (/)  ->  U. A  e.  A ) )
8180con3d 125 . . . . . . 7  |-  ( A  =/=  (/)  ->  ( -.  U. A  e.  A  ->  -.  U. A  =  (/) ) )
8258, 57, 81sylc 56 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  C_  ~P B  /\ [ C.]  Or  A  /\  -.  U. A  e.  A )  /\  ( A  C_  Fin  /\  A  =/=  (/) ) )  /\  B  e. FinIII )  ->  -.  U. A  =  (/) )
83 ioran 476 . . . . . 6  |-  ( -.  ( U. A  e.  A  \/  U. A  =  (/) )  <->  ( -.  U. A  e.  A  /\  -.  U. A  =  (/) ) )
8457, 82, 83sylanbrc 645 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  C_  ~P B  /\ [ C.]  Or  A  /\  -.  U. A  e.  A )  /\  ( A  C_  Fin  /\  A  =/=  (/) ) )  /\  B  e. FinIII )  ->  -.  ( U. A  e.  A  \/  U. A  =  (/) ) )
85 uniun 3846 . . . . . . . 8  |-  U. ( A  u.  { (/) } )  =  ( U. A  u.  U. { (/) } )
8668uneq2i 3326 . . . . . . . 8  |-  ( U. A  u.  U. { (/) } )  =  ( U. A  u.  (/) )
87 un0 3479 . . . . . . . 8  |-  ( U. A  u.  (/) )  = 
U. A
8885, 86, 873eqtri 2307 . . . . . . 7  |-  U. ( A  u.  { (/) } )  =  U. A
8988eleq1i 2346 . . . . . 6  |-  ( U. ( A  u.  { (/) } )  e.  ( A  u.  { (/) } )  <->  U. A  e.  ( A  u.  { (/) } ) )
90 elun 3316 . . . . . 6  |-  ( U. A  e.  ( A  u.  { (/) } )  <->  ( U. A  e.  A  \/  U. A  e.  { (/) } ) )
9167elsnc2 3669 . . . . . . 7  |-  ( U. A  e.  { (/) }  <->  U. A  =  (/) )
9291orbi2i 505 . . . . . 6  |-  ( ( U. A  e.  A  \/  U. A  e.  { (/)
} )  <->  ( U. A  e.  A  \/  U. A  =  (/) ) )
9389, 90, 923bitri 262 . . . . 5  |-  ( U. ( A  u.  { (/) } )  e.  ( A  u.  { (/) } )  <-> 
( U. A  e.  A  \/  U. A  =  (/) ) )
9484, 93sylnibr 296 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  C_  ~P B  /\ [ C.]  Or  A  /\  -.  U. A  e.  A )  /\  ( A  C_  Fin  /\  A  =/=  (/) ) )  /\  B  e. FinIII )  ->  -.  U. ( A  u.  { (/)
} )  e.  ( A  u.  { (/) } ) )
95 unieq 3836 . . . . . 6  |-  ( ran  ( e  e.  om  |->  U. { f  e.  A  |  f  ~<_  e }
)  =  ( A  u.  { (/) } )  ->  U. ran  ( e  e.  om  |->  U. {
f  e.  A  | 
f  ~<_  e } )  =  U. ( A  u.  { (/) } ) )
96 id 19 . . . . . 6  |-  ( ran  ( e  e.  om  |->  U. { f  e.  A  |  f  ~<_  e }
)  =  ( A  u.  { (/) } )  ->  ran  ( e  e.  om  |->  U. { f  e.  A  |  f  ~<_  e } )  =  ( A  u.  { (/) } ) )
9795, 96eleq12d 2351 . . . . 5  |-  ( ran  ( e  e.  om  |->  U. { f  e.  A  |  f  ~<_  e }
)  =  ( A  u.  { (/) } )  ->  ( U. ran  ( e  e.  om  |->  U. { f  e.  A  |  f  ~<_  e }
)  e.  ran  (
e  e.  om  |->  U. { f  e.  A  |  f  ~<_  e }
)  <->  U. ( A  u.  {
(/) } )  e.  ( A  u.  { (/) } ) ) )
9897notbid 285 . . . 4  |-  ( ran  ( e  e.  om  |->  U. { f  e.  A  |  f  ~<_  e }
)  =  ( A  u.  { (/) } )  ->  ( -.  U. ran  ( e  e.  om  |->  U. { f  e.  A  |  f  ~<_  e }
)  e.  ran  (
e  e.  om  |->  U. { f  e.  A  |  f  ~<_  e }
)  <->  -.  U. ( A  u.  { (/) } )  e.  ( A  u.  {
(/) } ) ) )
9994, 98syl5ibrcom 213 . . 3  |-  ( ( ( ( A  C_  ~P B  /\ [ C.]  Or  A  /\  -.  U. A  e.  A )  /\  ( A  C_  Fin  /\  A  =/=  (/) ) )  /\  B  e. FinIII )  ->  ( ran  ( e  e.  om  |->  U. { f  e.  A  |  f  ~<_  e }
)  =  ( A  u.  { (/) } )  ->  -.  U. ran  (
e  e.  om  |->  U. { f  e.  A  |  f  ~<_  e }
)  e.  ran  (
e  e.  om  |->  U. { f  e.  A  |  f  ~<_  e }
) ) )
10056, 99mpd 14 . 2  |-  ( ( ( ( A  C_  ~P B  /\ [ C.]  Or  A  /\  -.  U. A  e.  A )  /\  ( A  C_  Fin  /\  A  =/=  (/) ) )  /\  B  e. FinIII )  ->  -.  U.
ran  ( e  e. 
om  |->  U. { f  e.  A  |  f  ~<_  e } )  e.  ran  ( e  e.  om  |->  U. { f  e.  A  |  f  ~<_  e }
) )
10152, 100pm2.65da 559 1  |-  ( ( ( A  C_  ~P B  /\ [ C.]  Or  A  /\  -.  U. A  e.  A )  /\  ( A  C_  Fin  /\  A  =/=  (/) ) )  ->  -.  B  e. FinIII )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    \/ wo 357    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   A.wral 2543   {crab 2547   _Vcvv 2788    u. cun 3150    C_ wss 3152   (/)c0 3455   ~Pcpw 3625   {csn 3640   U.cuni 3827   class class class wbr 4023    e. cmpt 4077    Or wor 4313   suc csuc 4394   omcom 4656   ran crn 4690   -->wf 5251   ` cfv 5255   [ C.] crpss 6276    ~<_ cdom 6861   Fincfn 6863  FinIIIcfin3 7907
This theorem is referenced by:  fin1a2s  8040
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-rpss 6277  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-wdom 7273  df-card 7572  df-fin4 7913  df-fin3 7914
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