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Theorem fin1a2lem12 8053
Description: Lemma for fin1a2 8057. (Contributed by Stefan O'Rear, 8-Nov-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 17-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
fin1a2lem12  |-  ( ( ( A  C_  ~P B  /\ [ C.]  Or  A  /\  -.  U. A  e.  A )  /\  ( A  C_  Fin  /\  A  =/=  (/) ) )  ->  -.  B  e. FinIII )

Proof of Theorem fin1a2lem12
Dummy variables  d 
e  f are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 447 . . 3  |-  ( ( ( ( A  C_  ~P B  /\ [ C.]  Or  A  /\  -.  U. A  e.  A )  /\  ( A  C_  Fin  /\  A  =/=  (/) ) )  /\  B  e. FinIII )  ->  B  e. FinIII )
2 simpll1 994 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  C_  ~P B  /\ [ C.]  Or  A  /\  -.  U. A  e.  A )  /\  ( A  C_  Fin  /\  A  =/=  (/) ) )  /\  B  e. FinIII )  ->  A  C_ 
~P B )
32adantr 451 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( A 
C_  ~P B  /\ [ C.]  Or  A  /\  -.  U. A  e.  A )  /\  ( A  C_  Fin  /\  A  =/=  (/) ) )  /\  B  e. FinIII )  /\  e  e.  om )  ->  A  C_  ~P B
)
4 ssrab2 3271 . . . . . . . 8  |-  { f  e.  A  |  f  ~<_  e }  C_  A
5 uniss 3864 . . . . . . . 8  |-  ( { f  e.  A  | 
f  ~<_  e }  C_  A  ->  U. { f  e.  A  |  f  ~<_  e }  C_  U. A )
64, 5ax-mp 8 . . . . . . 7  |-  U. {
f  e.  A  | 
f  ~<_  e }  C_  U. A
7 sspwuni 4003 . . . . . . . 8  |-  ( A 
C_  ~P B  <->  U. A  C_  B )
87biimpi 186 . . . . . . 7  |-  ( A 
C_  ~P B  ->  U. A  C_  B )
96, 8syl5ss 3203 . . . . . 6  |-  ( A 
C_  ~P B  ->  U. {
f  e.  A  | 
f  ~<_  e }  C_  B )
103, 9syl 15 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( A 
C_  ~P B  /\ [ C.]  Or  A  /\  -.  U. A  e.  A )  /\  ( A  C_  Fin  /\  A  =/=  (/) ) )  /\  B  e. FinIII )  /\  e  e.  om )  ->  U. { f  e.  A  |  f  ~<_  e }  C_  B )
11 elpw2g 4190 . . . . . 6  |-  ( B  e. FinIII  ->  ( U. {
f  e.  A  | 
f  ~<_  e }  e.  ~P B  <->  U. { f  e.  A  |  f  ~<_  e }  C_  B )
)
1211ad2antlr 707 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( A 
C_  ~P B  /\ [ C.]  Or  A  /\  -.  U. A  e.  A )  /\  ( A  C_  Fin  /\  A  =/=  (/) ) )  /\  B  e. FinIII )  /\  e  e.  om )  ->  ( U. { f  e.  A  |  f  ~<_  e }  e.  ~P B 
<-> 
U. { f  e.  A  |  f  ~<_  e }  C_  B )
)
1310, 12mpbird 223 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( A 
C_  ~P B  /\ [ C.]  Or  A  /\  -.  U. A  e.  A )  /\  ( A  C_  Fin  /\  A  =/=  (/) ) )  /\  B  e. FinIII )  /\  e  e.  om )  ->  U. { f  e.  A  |  f  ~<_  e }  e.  ~P B
)
14 eqid 2296 . . . 4  |-  ( e  e.  om  |->  U. {
f  e.  A  | 
f  ~<_  e } )  =  ( e  e. 
om  |->  U. { f  e.  A  |  f  ~<_  e } )
1513, 14fmptd 5700 . . 3  |-  ( ( ( ( A  C_  ~P B  /\ [ C.]  Or  A  /\  -.  U. A  e.  A )  /\  ( A  C_  Fin  /\  A  =/=  (/) ) )  /\  B  e. FinIII )  ->  (
e  e.  om  |->  U. { f  e.  A  |  f  ~<_  e }
) : om --> ~P B
)
16 vex 2804 . . . . . . . . . . 11  |-  d  e. 
_V
1716sucex 4618 . . . . . . . . . 10  |-  suc  d  e.  _V
18 sssucid 4485 . . . . . . . . . 10  |-  d  C_  suc  d
19 ssdomg 6923 . . . . . . . . . 10  |-  ( suc  d  e.  _V  ->  ( d  C_  suc  d  -> 
d  ~<_  suc  d )
)
2017, 18, 19mp2 17 . . . . . . . . 9  |-  d  ~<_  suc  d
21 domtr 6930 . . . . . . . . 9  |-  ( ( f  ~<_  d  /\  d  ~<_  suc  d )  ->  f  ~<_  suc  d )
2220, 21mpan2 652 . . . . . . . 8  |-  ( f  ~<_  d  ->  f  ~<_  suc  d
)
2322a1i 10 . . . . . . 7  |-  ( f  e.  A  ->  (
f  ~<_  d  ->  f  ~<_  suc  d ) )
2423ss2rabi 3268 . . . . . 6  |-  { f  e.  A  |  f  ~<_  d }  C_  { f  e.  A  |  f  ~<_  suc  d }
25 uniss 3864 . . . . . 6  |-  ( { f  e.  A  | 
f  ~<_  d }  C_  { f  e.  A  | 
f  ~<_  suc  d }  ->  U. { f  e.  A  |  f  ~<_  d }  C_  U. { f  e.  A  |  f  ~<_  suc  d } )
2624, 25mp1i 11 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( A 
C_  ~P B  /\ [ C.]  Or  A  /\  -.  U. A  e.  A )  /\  ( A  C_  Fin  /\  A  =/=  (/) ) )  /\  B  e. FinIII )  /\  d  e.  om )  ->  U. { f  e.  A  |  f  ~<_  d }  C_  U. { f  e.  A  |  f  ~<_  suc  d } )
27 id 19 . . . . . 6  |-  ( d  e.  om  ->  d  e.  om )
28 pwexg 4210 . . . . . . . . 9  |-  ( B  e. FinIII  ->  ~P B  e. 
_V )
2928adantl 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  C_  ~P B  /\ [ C.]  Or  A  /\  -.  U. A  e.  A )  /\  ( A  C_  Fin  /\  A  =/=  (/) ) )  /\  B  e. FinIII )  ->  ~P B  e.  _V )
30 ssexg 4176 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  C_  ~P B  /\  ~P B  e.  _V )  ->  A  e.  _V )
312, 29, 30syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  C_  ~P B  /\ [ C.]  Or  A  /\  -.  U. A  e.  A )  /\  ( A  C_  Fin  /\  A  =/=  (/) ) )  /\  B  e. FinIII )  ->  A  e.  _V )
32 rabexg 4180 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  _V  ->  { f  e.  A  |  f  ~<_  d }  e.  _V )
33 uniexg 4533 . . . . . . 7  |-  ( { f  e.  A  | 
f  ~<_  d }  e.  _V  ->  U. { f  e.  A  |  f  ~<_  d }  e.  _V )
3431, 32, 333syl 18 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  C_  ~P B  /\ [ C.]  Or  A  /\  -.  U. A  e.  A )  /\  ( A  C_  Fin  /\  A  =/=  (/) ) )  /\  B  e. FinIII )  ->  U. {
f  e.  A  | 
f  ~<_  d }  e.  _V )
35 breq2 4043 . . . . . . . . 9  |-  ( e  =  d  ->  (
f  ~<_  e  <->  f  ~<_  d ) )
3635rabbidv 2793 . . . . . . . 8  |-  ( e  =  d  ->  { f  e.  A  |  f  ~<_  e }  =  {
f  e.  A  | 
f  ~<_  d } )
3736unieqd 3854 . . . . . . 7  |-  ( e  =  d  ->  U. {
f  e.  A  | 
f  ~<_  e }  =  U. { f  e.  A  |  f  ~<_  d }
)
3837, 14fvmptg 5616 . . . . . 6  |-  ( ( d  e.  om  /\  U. { f  e.  A  |  f  ~<_  d }  e.  _V )  ->  (
( e  e.  om  |->  U. { f  e.  A  |  f  ~<_  e }
) `  d )  =  U. { f  e.  A  |  f  ~<_  d } )
3927, 34, 38syl2anr 464 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( A 
C_  ~P B  /\ [ C.]  Or  A  /\  -.  U. A  e.  A )  /\  ( A  C_  Fin  /\  A  =/=  (/) ) )  /\  B  e. FinIII )  /\  d  e.  om )  ->  ( ( e  e. 
om  |->  U. { f  e.  A  |  f  ~<_  e } ) `  d
)  =  U. {
f  e.  A  | 
f  ~<_  d } )
40 peano2 4692 . . . . . 6  |-  ( d  e.  om  ->  suc  d  e.  om )
41 rabexg 4180 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  _V  ->  { f  e.  A  |  f  ~<_  suc  d }  e.  _V )
42 uniexg 4533 . . . . . . 7  |-  ( { f  e.  A  | 
f  ~<_  suc  d }  e.  _V  ->  U. { f  e.  A  |  f  ~<_  suc  d }  e.  _V )
4331, 41, 423syl 18 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  C_  ~P B  /\ [ C.]  Or  A  /\  -.  U. A  e.  A )  /\  ( A  C_  Fin  /\  A  =/=  (/) ) )  /\  B  e. FinIII )  ->  U. {
f  e.  A  | 
f  ~<_  suc  d }  e.  _V )
44 breq2 4043 . . . . . . . . 9  |-  ( e  =  suc  d  -> 
( f  ~<_  e  <->  f  ~<_  suc  d
) )
4544rabbidv 2793 . . . . . . . 8  |-  ( e  =  suc  d  ->  { f  e.  A  |  f  ~<_  e }  =  { f  e.  A  |  f  ~<_  suc  d } )
4645unieqd 3854 . . . . . . 7  |-  ( e  =  suc  d  ->  U. { f  e.  A  |  f  ~<_  e }  =  U. { f  e.  A  |  f  ~<_  suc  d } )
4746, 14fvmptg 5616 . . . . . 6  |-  ( ( suc  d  e.  om  /\ 
U. { f  e.  A  |  f  ~<_  suc  d }  e.  _V )  ->  ( ( e  e.  om  |->  U. {
f  e.  A  | 
f  ~<_  e } ) `
 suc  d )  =  U. { f  e.  A  |  f  ~<_  suc  d } )
4840, 43, 47syl2anr 464 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( A 
C_  ~P B  /\ [ C.]  Or  A  /\  -.  U. A  e.  A )  /\  ( A  C_  Fin  /\  A  =/=  (/) ) )  /\  B  e. FinIII )  /\  d  e.  om )  ->  ( ( e  e. 
om  |->  U. { f  e.  A  |  f  ~<_  e } ) `  suc  d )  =  U. { f  e.  A  |  f  ~<_  suc  d } )
4926, 39, 483sstr4d 3234 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( A 
C_  ~P B  /\ [ C.]  Or  A  /\  -.  U. A  e.  A )  /\  ( A  C_  Fin  /\  A  =/=  (/) ) )  /\  B  e. FinIII )  /\  d  e.  om )  ->  ( ( e  e. 
om  |->  U. { f  e.  A  |  f  ~<_  e } ) `  d
)  C_  ( (
e  e.  om  |->  U. { f  e.  A  |  f  ~<_  e }
) `  suc  d ) )
5049ralrimiva 2639 . . 3  |-  ( ( ( ( A  C_  ~P B  /\ [ C.]  Or  A  /\  -.  U. A  e.  A )  /\  ( A  C_  Fin  /\  A  =/=  (/) ) )  /\  B  e. FinIII )  ->  A. d  e.  om  ( ( e  e.  om  |->  U. {
f  e.  A  | 
f  ~<_  e } ) `
 d )  C_  ( ( e  e. 
om  |->  U. { f  e.  A  |  f  ~<_  e } ) `  suc  d ) )
51 fin34i 8023 . . 3  |-  ( ( B  e. FinIII  /\  ( e  e.  om  |->  U. { f  e.  A  |  f  ~<_  e } ) : om --> ~P B  /\  A. d  e.  om  ( ( e  e.  om  |->  U. {
f  e.  A  | 
f  ~<_  e } ) `
 d )  C_  ( ( e  e. 
om  |->  U. { f  e.  A  |  f  ~<_  e } ) `  suc  d ) )  ->  U. ran  ( e  e. 
om  |->  U. { f  e.  A  |  f  ~<_  e } )  e.  ran  ( e  e.  om  |->  U. { f  e.  A  |  f  ~<_  e }
) )
521, 15, 50, 51syl3anc 1182 . 2  |-  ( ( ( ( A  C_  ~P B  /\ [ C.]  Or  A  /\  -.  U. A  e.  A )  /\  ( A  C_  Fin  /\  A  =/=  (/) ) )  /\  B  e. FinIII )  ->  U. ran  ( e  e.  om  |->  U. { f  e.  A  |  f  ~<_  e }
)  e.  ran  (
e  e.  om  |->  U. { f  e.  A  |  f  ~<_  e }
) )
53 fin1a2lem11 8052 . . . . . 6  |-  ( ( [
C.]  Or  A  /\  A  C_  Fin )  ->  ran  ( e  e.  om  |->  U. { f  e.  A  |  f  ~<_  e }
)  =  ( A  u.  { (/) } ) )
5453adantrr 697 . . . . 5  |-  ( ( [
C.]  Or  A  /\  ( A  C_  Fin  /\  A  =/=  (/) ) )  ->  ran  ( e  e.  om  |->  U. { f  e.  A  |  f  ~<_  e }
)  =  ( A  u.  { (/) } ) )
55543ad2antl2 1118 . . . 4  |-  ( ( ( A  C_  ~P B  /\ [ C.]  Or  A  /\  -.  U. A  e.  A )  /\  ( A  C_  Fin  /\  A  =/=  (/) ) )  ->  ran  ( e  e.  om  |->  U. { f  e.  A  |  f  ~<_  e }
)  =  ( A  u.  { (/) } ) )
5655adantr 451 . . 3  |-  ( ( ( ( A  C_  ~P B  /\ [ C.]  Or  A  /\  -.  U. A  e.  A )  /\  ( A  C_  Fin  /\  A  =/=  (/) ) )  /\  B  e. FinIII )  ->  ran  ( e  e.  om  |->  U. { f  e.  A  |  f  ~<_  e }
)  =  ( A  u.  { (/) } ) )
57 simpll3 996 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  C_  ~P B  /\ [ C.]  Or  A  /\  -.  U. A  e.  A )  /\  ( A  C_  Fin  /\  A  =/=  (/) ) )  /\  B  e. FinIII )  ->  -.  U. A  e.  A )
58 simplrr 737 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  C_  ~P B  /\ [ C.]  Or  A  /\  -.  U. A  e.  A )  /\  ( A  C_  Fin  /\  A  =/=  (/) ) )  /\  B  e. FinIII )  ->  A  =/=  (/) )
59 sspwuni 4003 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A 
C_  ~P (/)  <->  U. A  C_  (/) )
60 ss0b 3497 . . . . . . . . . . 11  |-  ( U. A  C_  (/)  <->  U. A  =  (/) )
6159, 60bitri 240 . . . . . . . . . 10  |-  ( A 
C_  ~P (/)  <->  U. A  =  (/) )
62 pw0 3778 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ~P (/)  =  { (/)
}
6362sseq2i 3216 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A 
C_  ~P (/)  <->  A  C_  { (/) } )
64 sssn 3788 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A 
C_  { (/) }  <->  ( A  =  (/)  \/  A  =  { (/) } ) )
6563, 64bitri 240 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A 
C_  ~P (/)  <->  ( A  =  (/)  \/  A  =  { (/)
} ) )
66 df-ne 2461 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  =/=  (/)  <->  -.  A  =  (/) )
67 0ex 4166 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  (/)  e.  _V
6867unisn 3859 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  U. { (/)
}  =  (/)
6967snid 3680 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  (/)  e.  { (/)
}
7068, 69eqeltri 2366 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  U. { (/)
}  e.  { (/) }
71 unieq 3852 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A  =  { (/) }  ->  U. A  =  U. { (/)
} )
72 id 19 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A  =  { (/) }  ->  A  =  { (/) } )
7371, 72eleq12d 2364 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A  =  { (/) }  ->  ( U. A  e.  A  <->  U. { (/) }  e.  { (/)
} ) )
7470, 73mpbiri 224 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  =  { (/) }  ->  U. A  e.  A )
7574orim2i 504 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  =  (/)  \/  A  =  { (/) } )  -> 
( A  =  (/)  \/ 
U. A  e.  A
) )
7675ord 366 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  =  (/)  \/  A  =  { (/) } )  -> 
( -.  A  =  (/)  ->  U. A  e.  A
) )
7766, 76syl5bi 208 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  =  (/)  \/  A  =  { (/) } )  -> 
( A  =/=  (/)  ->  U. A  e.  A ) )
7865, 77sylbi 187 . . . . . . . . . 10  |-  ( A 
C_  ~P (/)  ->  ( A  =/=  (/)  ->  U. A  e.  A ) )
7961, 78sylbir 204 . . . . . . . . 9  |-  ( U. A  =  (/)  ->  ( A  =/=  (/)  ->  U. A  e.  A ) )
8079com12 27 . . . . . . . 8  |-  ( A  =/=  (/)  ->  ( U. A  =  (/)  ->  U. A  e.  A ) )
8180con3d 125 . . . . . . 7  |-  ( A  =/=  (/)  ->  ( -.  U. A  e.  A  ->  -.  U. A  =  (/) ) )
8258, 57, 81sylc 56 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  C_  ~P B  /\ [ C.]  Or  A  /\  -.  U. A  e.  A )  /\  ( A  C_  Fin  /\  A  =/=  (/) ) )  /\  B  e. FinIII )  ->  -.  U. A  =  (/) )
83 ioran 476 . . . . . 6  |-  ( -.  ( U. A  e.  A  \/  U. A  =  (/) )  <->  ( -.  U. A  e.  A  /\  -.  U. A  =  (/) ) )
8457, 82, 83sylanbrc 645 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  C_  ~P B  /\ [ C.]  Or  A  /\  -.  U. A  e.  A )  /\  ( A  C_  Fin  /\  A  =/=  (/) ) )  /\  B  e. FinIII )  ->  -.  ( U. A  e.  A  \/  U. A  =  (/) ) )
85 uniun 3862 . . . . . . . 8  |-  U. ( A  u.  { (/) } )  =  ( U. A  u.  U. { (/) } )
8668uneq2i 3339 . . . . . . . 8  |-  ( U. A  u.  U. { (/) } )  =  ( U. A  u.  (/) )
87 un0 3492 . . . . . . . 8  |-  ( U. A  u.  (/) )  = 
U. A
8885, 86, 873eqtri 2320 . . . . . . 7  |-  U. ( A  u.  { (/) } )  =  U. A
8988eleq1i 2359 . . . . . 6  |-  ( U. ( A  u.  { (/) } )  e.  ( A  u.  { (/) } )  <->  U. A  e.  ( A  u.  { (/) } ) )
90 elun 3329 . . . . . 6  |-  ( U. A  e.  ( A  u.  { (/) } )  <->  ( U. A  e.  A  \/  U. A  e.  { (/) } ) )
9167elsnc2 3682 . . . . . . 7  |-  ( U. A  e.  { (/) }  <->  U. A  =  (/) )
9291orbi2i 505 . . . . . 6  |-  ( ( U. A  e.  A  \/  U. A  e.  { (/)
} )  <->  ( U. A  e.  A  \/  U. A  =  (/) ) )
9389, 90, 923bitri 262 . . . . 5  |-  ( U. ( A  u.  { (/) } )  e.  ( A  u.  { (/) } )  <-> 
( U. A  e.  A  \/  U. A  =  (/) ) )
9484, 93sylnibr 296 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  C_  ~P B  /\ [ C.]  Or  A  /\  -.  U. A  e.  A )  /\  ( A  C_  Fin  /\  A  =/=  (/) ) )  /\  B  e. FinIII )  ->  -.  U. ( A  u.  { (/)
} )  e.  ( A  u.  { (/) } ) )
95 unieq 3852 . . . . . 6  |-  ( ran  ( e  e.  om  |->  U. { f  e.  A  |  f  ~<_  e }
)  =  ( A  u.  { (/) } )  ->  U. ran  ( e  e.  om  |->  U. {
f  e.  A  | 
f  ~<_  e } )  =  U. ( A  u.  { (/) } ) )
96 id 19 . . . . . 6  |-  ( ran  ( e  e.  om  |->  U. { f  e.  A  |  f  ~<_  e }
)  =  ( A  u.  { (/) } )  ->  ran  ( e  e.  om  |->  U. { f  e.  A  |  f  ~<_  e } )  =  ( A  u.  { (/) } ) )
9795, 96eleq12d 2364 . . . . 5  |-  ( ran  ( e  e.  om  |->  U. { f  e.  A  |  f  ~<_  e }
)  =  ( A  u.  { (/) } )  ->  ( U. ran  ( e  e.  om  |->  U. { f  e.  A  |  f  ~<_  e }
)  e.  ran  (
e  e.  om  |->  U. { f  e.  A  |  f  ~<_  e }
)  <->  U. ( A  u.  {
(/) } )  e.  ( A  u.  { (/) } ) ) )
9897notbid 285 . . . 4  |-  ( ran  ( e  e.  om  |->  U. { f  e.  A  |  f  ~<_  e }
)  =  ( A  u.  { (/) } )  ->  ( -.  U. ran  ( e  e.  om  |->  U. { f  e.  A  |  f  ~<_  e }
)  e.  ran  (
e  e.  om  |->  U. { f  e.  A  |  f  ~<_  e }
)  <->  -.  U. ( A  u.  { (/) } )  e.  ( A  u.  {
(/) } ) ) )
9994, 98syl5ibrcom 213 . . 3  |-  ( ( ( ( A  C_  ~P B  /\ [ C.]  Or  A  /\  -.  U. A  e.  A )  /\  ( A  C_  Fin  /\  A  =/=  (/) ) )  /\  B  e. FinIII )  ->  ( ran  ( e  e.  om  |->  U. { f  e.  A  |  f  ~<_  e }
)  =  ( A  u.  { (/) } )  ->  -.  U. ran  (
e  e.  om  |->  U. { f  e.  A  |  f  ~<_  e }
)  e.  ran  (
e  e.  om  |->  U. { f  e.  A  |  f  ~<_  e }
) ) )
10056, 99mpd 14 . 2  |-  ( ( ( ( A  C_  ~P B  /\ [ C.]  Or  A  /\  -.  U. A  e.  A )  /\  ( A  C_  Fin  /\  A  =/=  (/) ) )  /\  B  e. FinIII )  ->  -.  U.
ran  ( e  e. 
om  |->  U. { f  e.  A  |  f  ~<_  e } )  e.  ran  ( e  e.  om  |->  U. { f  e.  A  |  f  ~<_  e }
) )
10152, 100pm2.65da 559 1  |-  ( ( ( A  C_  ~P B  /\ [ C.]  Or  A  /\  -.  U. A  e.  A )  /\  ( A  C_  Fin  /\  A  =/=  (/) ) )  ->  -.  B  e. FinIII )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    \/ wo 357    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696    =/= wne 2459   A.wral 2556   {crab 2560   _Vcvv 2801    u. cun 3163    C_ wss 3165   (/)c0 3468   ~Pcpw 3638   {csn 3653   U.cuni 3843   class class class wbr 4039    e. cmpt 4093    Or wor 4329   suc csuc 4410   omcom 4672   ran crn 4706   -->wf 5267   ` cfv 5271   [ C.] crpss 6292    ~<_ cdom 6877   Fincfn 6879  FinIIIcfin3 7923
This theorem is referenced by:  fin1a2s  8056
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-rpss 6293  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-wdom 7289  df-card 7588  df-fin4 7929  df-fin3 7930
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